第04讲 等边三角形的性质和判定（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第05讲 等边三角形的性质和判定 知识点1：等边三角形的概念和性质 知识点2：等边三角形的判定 知识点3：含30°的直角三角形 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型1：利用等边三角形的性质求边长】 【典例 1】如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】如图，在等边三角形中，，垂足为，点在线段上，连接，若，则等于（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，再证明，从而可得答案． 【详解】解：在等边三角形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A 【变式2】如图，等边的边长为2，点、分别在边、上（不与的顶点重合），将沿翻折，点落在点处，则三个阴影三角形的周长和为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，应用转化思想是解题的关键． 由折叠的性质可得，再把三个阴影三角形的周长和转化成等边的三边之和，即可解答． 【详解】解：∵由折叠的性质可得：， ∴三个阴影三角形的周长和为：， ∵，， ∴三个阴影三角形的周长和， 故选：B． 【变式3】如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题的关键．连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【题型2：利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 【答案】A 【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，等边的顶点A、B分别在直线a，b上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ； ∵是等边三角形， ， ． 故选：A． 【变式2】如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3】如图，在等边三角形中，，于相交于点P，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质，正确找出两个全等三角形是解题关键． 先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型3：等边三角形的判定】 【典例3】下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 【变式1】下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式2】若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查非负性和等边三角形的判定，根据非负性得到，从而得出，即可得出结果． 【详解】解： ∴ ∴，即是等边三角形． 故选：C． 【变式3】如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．先证明是线段的垂直平分线，推出，，再根据等边三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：∵是的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 当添加时， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 当添加时，则， ∴是等边三角形； 故选：D． 【题型4：等边三角形的判定与性质】 【典例4】如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】如图，点C是线段上除点A、B外的任意一点，分别以为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于M，连接交于N，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明，得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：等边和等边， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ，， ． 【变式2】如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到， （2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为和， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，是等边三角形，，，垂足分别为D、E，、相交于点O，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，，即可解决问题． （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，所，再根据直角三角形中，的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形，，， ∴，，， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，，， ∴、分别是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，在直角三角形中，的锐角所对的直角边等于斜边的一半，做题的关键是掌握在直角三角形中，的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型5：含30°角的直角三角形的性质】 【典例5】如图，在中，，，，则的长为（    ） A．30 B．15 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质．直接根据30度角的性质作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 故选：C 【变式1】如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A．62 B．54 C．64 D．74 【答案】A 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．过作于，过作于，则可和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， ， 则中，()， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为()， 故选：A． 【变式2】如图，在中，，，于点D，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，根据所对的直角边等于斜边的一半可得；同理可得，最后根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式3】某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果． 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 故答案为：． 一、单选题 1．已知等腰三角形的一边长为，且其有一个内角的度数为，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，当等腰三角形有一个内角为时，该三角形必为等边三角形．因此，无论已知边长为的是底边还是腰，其余两边均为，周长可直接计算． 【详解】解：一个等腰三角形的一个内角为， 该等腰三角形是等边三角形， 又其一边长为， 它的周长是． 故选：B． 2．如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在中，，．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选B． 4．如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．60米 B．45米 C．30米 D．15米 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，根据 30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，米， 则米， 故选：D． 5．如图，在中，，垂直平分为垂足，交于点E，若，则的长为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角定理，含角的直角三角形的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 先利用线段垂直平分线的性质和外角定理得出，再利用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，作交于点M，证明是等边三角形，进而证明，得出，，即可求出结论． 【详解】解：作交于点M， 在等边三角形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 故选：B． 二、填空题 7．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．在中，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 9．如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由等边三角形三角形的性质推出垂直平分． 由等边三角形的性质推出垂直平分，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 10．已知等边中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、角形的内角和定理等知识点，掌握折叠后的对应角相等及三角形内角和定理是解题关键． 由题意可得，由折叠可知，又，所以，，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵三角形为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点． 先根据证明，再由三角形的外角性质即求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 12．如图，在中，． (1)尺规作图：过点C作斜边边上的高，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)3 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据同角的余角相等，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．如图，中，交于点D， (1)求证：． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质， （1）根据等腰三角形的性质得，再求出，进而得出，然后根据直角三角形的性质得，则答案可得；   （2）作，根据直角三角形的性质得，再由（1）得，然后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵交于点D， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴， 由（1）可知， ∴． 14．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)过点A作，求线段与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质得到，推出，结合即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，分别以的边、向外作等边三角形、等边三角形，和相交于点M． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（）根据等边三角形性质得出，，，求出，根据证即可； （）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和，即可求出答案； 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用，熟练掌握这些知识，学会运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）知：， ∴， ∴， ∴在中， ； ∴ 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A． B． C． D． 【变式2】若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【变式3】如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【题型4：等边三角形的判定与性质】 【典例4】如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【变式1】如图，点C是线段上除点A、B外的任意一点，分别以为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于M，连接交于N，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； 【变式2】如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 【变式3】如图，是等边三角形，，，垂足分别为D、E，、相交于点O，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 含30°角的直角三角形的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【题型5：含30°角的直角三角形的性质】 【典例5】如图，在中，，，，则的长为（    ） A．30 B．15 C．12 D．10 【变式1】如图1是某地铁站入口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（    ） A．62 B．54 C．64 D．74 【变式2】如图，在中，，，于点D，且，则 ． 【变式3】某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 一、单选题 1．已知等腰三角形的一边长为，且其有一个内角的度数为，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．15 C．18 D．20 2．如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 4．如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（   ） A．60米 B．45米 C．30米 D．15米 5．如图，在中，，垂直平分为垂足，交于点E，若，则的长为（    ） A．5 B． C．10 D． 6．如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 7．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接，若平分，，则的长为 ． 8．在中，，，则 ． 9．如图，在等边三角形中，，垂足为点D，点E在线段上，，则 ． 10．已知等边中，点，分别在边，上，把沿直线翻折，使点落在点处，，分别交边于点，，若，则的度数为 ． 三、解答题 11．如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，求的度数． 12．如图，在中，． (1)尺规作图：过点C作斜边边上的高，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 13．如图，中，交于点D， (1)求证：． (2)若，求的面积． 14．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)过点A作，求线段与的数量关系． 15．如图，分别以的边、向外作等边三角形、等边三角形，和相交于点M． (1)求证：． (2)求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$