精品解析：北京市延庆区2025-2026学年高二下学期期末数学试题

2026北京延庆高二（下）期末数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. {或} B. C. {或} D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（） A. B. C. D. 5. 已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 如果函数定义在区间上连续，在区间内可导，则“在上单调递增”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在的展开式中，下面关于各项的描述正确的是（ ） A. 第一项是含的项 B. 第二项是常数项 C. 第三项是 D. 各项的系数和为 8. 为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 240人 120人 180人 未达到预期 160人 140人 260人 240人 假设所有教师的评价相互独立．用频率估计概率．若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为0．记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 9. 现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为__________． 12. 在等差数列中，已知，与的等差中项为，是与的等比中项，则通项公式__________；前项和__________． 13. 函数的值域为__________． 14. 已知方程的两根分别为，，则__________；__________． 15. 已知函数，给出下面四个结论： ①，使得函数有最小值； ②，函数都有一个极值； ③，函数都有一个零点； ④时，函数在上单调递减． 其中所有正确的结论序号为__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在锐角中，，，． （1）求及； （2）求的值及面积． 17. 求下列函数的导数． （1）①；②；③． （2）①；②． （3）①；②；③． 18. 求满足下列条件的直线的方程． （1）为曲线在点处的切线； （2）的斜率为且与曲线相切； （3）过原点且与曲线相切． 19. 求下列函数的单调区间． （1）； （2）． 20. 已知函数，． （1）求的极值点以及极值、最值点以及最值； （2）证明：； （3）证明：． 21. 已知数列，记集合． （1）若数列为，写出集合； （2）若，是否存在，，使得？若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由； （3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，，，，，若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京延庆高二（下）期末数学 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. {或} B. C. {或} D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合或，而集合， 所以或. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以的虚部为1. 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，因此命题：，是真命题； 取，得，因此命题：，是假命题，是真命题， 所以和都是真命题. 4. 已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A：成立的条件是，，已知，但未限制符号，例如，时不等式不成立，故A不正确. 对于选项B：由得，，若，则，即， 例如，满足，但，，此时，故B不正确. 对于选项C：由不能直接推出， 例如，满足，但，，此时，故C不正确. 对于选项D：因为指数函数在上单调递增，由可得，故D正确. 5. 已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 6. 如果函数定义在区间上连续，在区间内可导，则“在上单调递增”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由在上单调递增，得， 反之取函数，满足，此时函数在上不单调， 所以“在上单调递增”是“”的充分而不必要条件. 7. 在的展开式中，下面关于各项的描述正确的是（ ） A. 第一项是含的项 B. 第二项是常数项 C. 第三项是 D. 各项的系数和为 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理，结合通项公式及赋值法求解即可. 【详解】展开式通项公式为. 对于A，第一项，代入得，A正确. 对于B，第二项，代入得，B错误. 对于C，第三项，代入得，C错误. 对于D，令，则，所以各项的系数和为729，D错误. 8. 为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 240人 120人 180人 未达到预期 160人 140人 260人 240人 假设所有教师的评价相互独立．用频率估计概率．若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为0．记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出，，比较它们的大小即可. 【详解】对甲学区，男教师420人，女教师380人，共800人. 用频率估计概率，从甲学区选一名教师，能“达到预期”的概率为. 设从甲学区选一名教师，赋分为，则的分布列为： 0 5 所以，，即. 从甲学区选一名教师，能“达到预期”的概率为. 同理可得，. 所以. 9. 现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【详解】设截去的小正方形边长为米， 则长方体形的无盖容器的容积， 当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米. 10. 若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，. 所以. 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数唯一的极小值点为. 由且为函数定义域的子集. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求函数的定义域为. 12. 在等差数列中，已知，与的等差中项为，是与的等比中项，则通项公式__________；前项和__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】设等差数列的公差为,由得. 与的等差中项为,即,得. 是与的等比中项,即. 由韦达定理,与是方程的两根. 解得,. 结合及,得,. 由,即,得. 故. 因此通项公式,即. 前项和. 13. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【详解】当 时， . 由于底数 ， 该函数在 上单调递增. 最小值为 ，最大值为 . 故此段值域为 . 当 时， . 幂指数 ， 该函数在 上单调递增. 当 时， ，最大值为 时， . 故此段值域为 . 综上， 函数的值域为 . 14. 已知方程的两根分别为，，则__________；__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由方程的两根分别为，，得， 所以；. 15. 已知函数，给出下面四个结论： ①，使得函数有最小值； ②，函数都有一个极值； ③，函数都有一个零点； ④时，函数在上单调递减． 其中所有正确的结论序号为__________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①，采用换元法，结合二次函数的性质判断即可；对于②④，根据导数与单调性及极值的关系判断即可；对于③，对进行分情况讨论，结合零点存在定理及一元二次方程根的判别式判断即可. 【详解】函数的定义域为， ①令，则， 函数转化为， 当时，，在上单调递增，最小值为，对应，此时有最小值. 当时，是开口向下的二次函数，时，，无最小值. 当时，是开口向上的二次函数，对称轴，在上单调递增，最小值为， 对应，此时有最小值. 综上，，使得函数有最小值，①正确； ②， 当时，恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，令，即，则，此时有一个极值点. 因此，并非对都有极值，②错误； ③令，即， 当时，，解得，函数有唯一零点； 当时，若，左边，右边，无解； 若，则，即，，方程有一正根一负根， 则正根为函数唯一的零点； 当时，若，左边，右边，无解； 若，易知在上单调递增， 且，， 由零点存在定理，在上有唯一零点. 综上，，函数都有一个零点，③正确； ④， 当时，，则. 若，则，函数在上单调递减； 若，令，即，解得，此时. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故当时，函数在上不一定单调递减，④错误. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在锐角中，，，． （1）求及； （2）求的值及面积． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角形的形状，可求角，的值. （2）利用余弦定理求边，利用三角形的面积公式求面积． 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以或． 又因为是锐角三角形，所以． 所以． 【小问2详解】 因为， 所以，即， 因此． 因为，所以，即． 所以的面积为． 17. 求下列函数的导数． （1）①；②；③． （2）①；②． （3）①；②；③． 【答案】（1）①；②；③ （2）①；② （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）（2）利用导数的运算法则求出导数. （3）利用复合函数导数运算法则求出导数. 【小问1详解】 ①；②；③. 【小问2详解】 ①；②. 【小问3详解】 ①；②； ③. 18. 求满足下列条件的直线的方程． （1）为曲线在点处的切线； （2）的斜率为且与曲线相切； （3）过原点且与曲线相切． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以． 又因为，所以所求切线方程为，即． 【小问2详解】 设切点为，因为，所以切线的斜率为． 所以． 因为，所以切点为． 所以切线方程为，即的方程为． 【小问3详解】 设切点为，因为，所以切线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为， 将原点代入上式并整理，可得，解得， 因此切点为，切线方程为，即的方程为． 19. 求下列函数的单调区间． （1）； （2）． 【答案】（1）增区间为，单调减区间为． （2）当时，函数的减区间为，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负性来确定函数的单调区间； （2）同样先对函数求导，再根据的取值范围讨论导数的正负性，进而确定函数的单调区间. 【小问1详解】 函数的定义域为． 因为， 令，可得，因为恒成立， 所以，即解得或， 因此可知函数的单调增区间为， 令，可得，解得． 因此函数的单调减区间为． 【小问2详解】 函数的定义域为． 因为， 当时， 在区间，，则此时函数在上单调递减； 在区间，，则此时函数在上单调递增； 当时， 在区间，，函数为增函数； 在区间，，函数为减函数； 在区间，，函数为增函数. 当时， 在区间，，函数为增函数； 在区间，，函数为减函数； 在区间，，函数为增函数. 当时， ，恒成立，函数在为增函数. 综上可知，当时，函数的减区间为，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间. 20. 已知函数，． （1）求的极值点以及极值、最值点以及最值； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1）函数在处取得极大值，无极小值；在处取得最小值，在处取得最大值. （2）当时，不等式， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 因此，即，则， 所以. （3）令函数，求导得， 函数在上单调递增，， 因此，由（2）知， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间，进而求出极值、极值点及最值、最值点. （2）将所证不等式等价变形，再构造函数并利用导数求出最小值即可. （3）结合（2）构造函数，利用导数求出函数最小值即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，， 所以函数在处取得极大值，无极小值； 在处取得最小值，在处取得最大值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 已知数列，记集合． （1）若数列为，写出集合； （2）若，是否存在，，使得？若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由； （3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，，，，，若，求的最大值． 【答案】（1） （2）不存在 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意给出的集合的新定义，直接计算所有可能的即可得出答案. （2）使用假设法，假设存在，使得，将其转化为，分析两因子的奇偶性与取值范围，发现与的因子性质矛盾，从而得出结论. （3）由，根据集合的新定义得.令，，分析与的奇偶关系，讨论中元素的特征，得出由所有非的正整数次幂的正整数构成，进而求出满足条件的的最大值. 【小问1详解】 由题意得数列为，所有可能的有： ，时，； ，时，； ，时，. 因此. 【小问2详解】 若，则. 设，则. 由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同. 又，. 而，没有大于等于的奇数因子，矛盾. 故不存在，使得. 【小问3详解】 若，则. 令，，则. 且与奇偶性不同，故为偶数，为整数. 若,则,仅分解,代入方程组无正整数,故； 中的元素恰为所有不是的正整数次幂的正整数，即. 要求，即从到的整数中去掉的幂. 的幂不超过的有，共个. 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $