第七章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026届高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第七章 立体几何与空间向量 第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 与平面有关的基本事实及推论★★★☆☆ 考点2 空间点、直线、平面之间的位置关系★★★☆☆ 考点3 基本事实4和等角定理★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.与平面有关的基本事实及推论★★★☆☆ (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l (2)三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 2.空间点、直线、平面之间的位置关系★★★☆☆ 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 独有关系 图形语言 符号语言 a,b是 异面直线 a⊂α 3.基本事实4和等角定理★★★☆☆ (1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:. 【名师点拨】 1.过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.(　　) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(　　) (4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】 (1)两条平行直线也没有公共点,故错误. (2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故错误. (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故错误. (4)由于a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交,故平面α内有与a相交的直线,故错误. 2.(人教A必修二P128T2改编)下列命题正确的是(　　) A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.空间两两相交的三条直线确定一个平面 D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【解析】A中,空间不共线的三点确定一个平面,A错; B中,只有点在直线外时才能确定一个平面,B错; C中,空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面,C错;故只有选项D正确. 3.(人教A必修二P147【典例】1改编)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=BC=1,AA′=2,则异面直线BA′与AC所成角的余弦值为　　　　.  【答案】 【解析】如图,连接CD′, 易知CD′綉BA′, 则∠ACD′或其补角是异面直线BA′与AC所成的角, 连接AD′,在△ACD′中, AC=,AD′=CD′=, 设AC的中点为O,则D′O⊥AC, 故cos∠ACD′==. 4.(苏教必修二P175T15改编)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为菱形;  (2)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为正方形.  【答案】 (1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD 【解析】 (1)要使四边形EFGH为菱形,应有EF=EH, ∵EF綉AC,EH綉BD,∴AC=BD. (2)要使四边形EFGH为正方形, 应有EF=EH且EF⊥EH, ∵EF綉AC,EH綉BD, ∴AC=BD且AC⊥BD. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　基本事实与推论的应用 【典例】1 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q. 求证:(1)D,B,E,F四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线; (3)DE,BF,CC1三线交于一点. 【证明】(1)如图所示,连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD, 所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面, 即D,B,E,F四点共面. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C, 设A1,C,C1确定的平面为α,又设平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1,所以Q∈α. 又Q∈EF,所以Q∈β, 所以Q是α与β的公共点, 同理,P是α与β的公共点. 所以α∩β=PQ. 又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β. 则R∈PQ,故P,Q,R三点共线. (3)因为EF∥BD且EF<BD, 所以DE与BF相交, 设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1, 同理,M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1, 所以M∈CC1. 所以DE,BF,CC1三线交于一点. 【思维建模】共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证明两平面重合. (2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点的方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 【变式训练】1 (1)在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩HG=P,则点P(　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上 【答案】B 【解析】因为EF∩HG=P,E,F,G,H四点分别是AB,BC,CD,DA上的点, 所以EF在平面ABC内,HG在平面ACD内, 所以P既在平面ABC内,又在平面ACD内, 所以P在平面ABC和平面ACD的交线上, 又平面ABC∩平面ACD=AC, 所以P∈AC. (2)如图,P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则在下列图形中,这四个点不共面的一个图是(　　) 【答案】D 【解析】A中,由PQ与SR相交,知P,Q,R,S四点共面; B中,由QR与PS相交,知P,Q,R,S四点共面; C中,由PQ∥SR,知P,Q,R,S四点共面; D中,由QR和PS是异面直线,并且任意两个点的连线既不平行也不相交,知四点不共面. 考点二　空间两直线位置关系的判断 【典例】2 (1)(2025·湖州模拟)已知a,b,c是三条不同的直线,有下列三个命题: ①若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线; ②若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交; ③若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】对于①,若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c相交不是异面直线,如图,故①为假命题; 对于②,若a和b相交,b和c相交,则a和c可能相交、平行、异面,故②为假命题; 对于③,若a和b共面,b和c共面,则a和c共面,错误,如上图,AA′(a)与AB(b)共面,AB(b)与BC(c)共面,但AA′(a)与BC(c)异面,故③为假命题.故真命题的个数为0.故选A. (2)(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线A1M与BN是相交直线 【答案】CD 【解析】因为点A在平面CDD1C1外, 点M在平面CDD1C1内, 直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M, 所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误; 取DD1的中点E,连接AE(图略), 则BN∥AE,但AE与AM相交, 所以AM与BN不平行,故B错误; 因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内, 点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1, 所以BN与MB1是异面直线,故C正确;同理D正确. 【思维建模】 1.要判断空间中两条直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断;二是利用排除法. 2.异面直线的判定方法:(1)反证法;(2)直接法. 【变式训练】2 (1)空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 【答案】D 【解析】根据条件作出示意图,得到以下三种可能的情况, 如图可知AB,CD有相交、平行、异面三种情况,故选D. (2)已知α,β,γ是三个不同的平面,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a∩b=O,则下列结论正确的是(　　) A.直线b与直线c可能是异面直线 B.直线a与直线c可能平行 C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点) D.直线c与平面α可能平行 【答案】C 【解析】如图,因为α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=O, 所以O∈α,O∈β,O∈γ. 因为β∩γ=c, 所以O∈c,所以直线a,b,c必然交于一点(即三线共点),故A,B错误,C正确; 假设直线c与平面α平行,由于O∈c,可知O∉α, 这与O∈α矛盾,故假设不成立,D错误. 考点三　求异面直线所成的角 【典例】3 (1)(2025·山西联合模拟)在正四面体A-BCD中,=3,则异面直线AD与CE所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图,在棱AB上取点M, 使得=3,连接ME,CM. 因为=3,所以EM∥AD,所以∠MEC或其补角为异面直线AD与CE所成的角, 不妨设AB=3,则EM=AD=2. 在△DEC中,CD=3,DE=1,∠CDE=, 由余弦定理可得CE2=DE2+DC2-2DE·DC·cos∠EDC=7,则CE=. 同理可得CM=. 在△MEC中,由余弦定理的推论可得 cos∠MEC===, 由于异面直线所成角的范围为, 所以异面直线AD与CE所成角的余弦值为. (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1的面上补一相同的长方体CDEF-C1D1E1F1,连接DE1,B1E1. 易知AD1∥DE1, 则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角(或其补角). 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=BC=1,AA1=, 所以DE1===2, DB1==, B1E1===, 在△B1DE1中,由余弦定理的推论, 得cos∠B1DE1==, 即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 【思维建模】求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交形成三角形.平移直线的方法有:(1)直接平移;(2)中位线平移;(3)补形平移. 【变式训练】3 (1)如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面展开图是边长为4的正方形,则在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AK和LM所成的角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】D 【解析】根据题意还原正四棱柱的直观图,如图所示, 取AA1的中点G,连接KG,则有KG∥LM, 所以∠AKG或其补角为异面直线AK和LM所成的角. 由题知AG=2,AK=KG==, 则有AK2+KG2=AG2, 所以∠AKG=90°, 即异面直线AK和LM所成的角为90°. (2)(2025·许昌调研)正四棱锥S-ABCD的所有棱长都相等,E为SC的中点,则异面直线BE与SA所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示,连接AC,取AC的中点为O,连接OB,OE, 因为E为SC的中点,所以SA∥OE,则∠OEB或其补角为异面直线BE与SA所成的角. 因为正四棱锥S-ABCD的所有棱长都相等, 所以设棱长为2, 则OE=1,BE=,OB=, 则OE2+OB2=BE2,所以OB⊥OE, 所以cos∠OEB===. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.若直线上有两个点在平面外,则(　　) A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内 【答案】D 【解析】根据题意,两点确定一条直线,那么由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内. 2.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由m,n,l在同一平面内,可能有m,n,l两两平行, 所以m,n,l可能没有公共点,所以不能推出m,n,l两两相交. 由m,n,l两两相交且m,n,l不经过同一点, 可设l∩m=A,l∩n=B,m∩n=C,且A∉n, 所以点A和直线n确定平面α,而B,C∈n, 所以B,C∈α,所以l,m⊂α, 所以m,n,l在同一平面内. 综上,“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的必要不充分条件. 3.已知平面α∩平面β=l,点A,C∈α,点B∈β,且B∉l,又AC∩l=M,过A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是(　　) A.直线CM B.直线BM C.直线AB D.直线BC 【答案】B 【解析】已知过A,B,C三点确定的平面为γ, 则AC⊂γ. 又AC∩l=M,则M∈γ,又平面α∩平面β=l, 则l⊂α,l⊂β,又因为AC∩l=M, 所以M∈β,因为B∈β,B∈γ, 所以β∩γ=BM. 4.已知平面外一点P和平面内不共线三点A,B,C,A′,B′,C′分别在PA,PB,PC上,若延长A′B′,B′C′,A′C′与平面分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点(　　) A.成钝角三角形 B.成锐角三角形 C.成直角三角形 D.在一条直线上 【答案】D 【解析】D,E,F为已知平面与平面A′B′C′的公共点,由基本事实知,D,E,F共线. 5.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,M为A1C1的中点,则AM与BC1所成角的余弦值为(　　) A. 　　B. C. 　　D. 【答案】D 【解析】如图,取AC的中点D,连接DC1,BD,易知AM∥DC1, 所以∠BC1D或其补角为异面直线AM与BC1所成的角, 因为直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,可设三棱柱的棱长都为2,则DC1=, BD=,BC1=2, 则在△BDC1中,由余弦定理的推论可得 cos∠BC1D==, 即异面直线AM与BC1所成角的余弦值为. 6.如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中错误的是(　　) A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形 【答案】D 【解析】因为M,N分别是AB,BC的中点, 所以MN∥AC,且MN=AC, 同理,QP∥AC,且QP=AC, 所以MN∥QP,且MN=QP, 所以四边形MNPQ为平行四边形, 所以M,N,P,Q四点共面,故A正确,D错误; 由等角定理知,∠QME=∠DBC,故B正确; 所以由等角定理可知,∠QME=∠DBC,∠QEM=∠DCB,∠MQE=∠BDC, 所以△BCD∽△MEQ,故C正确. 7.已知α,β是两个不同的平面,a,b,l是三条不同的直线,A,B,C是三个不同的点,则下列说法错误的是(　　) A.若α∩β=l,A∈α且A∈β,则A∈l B.若A,B,C是平面α内不共线的三点,A∈β,B∈β,则C∉β C.若a⊂α,b⊂β,则a与b为异面直线 D.若A∈α,且B∈α,则AB⊂α 【答案】C 【解析】对于A,由A∈α且A∈β,得A是平面α和平面β的公共点,又α∩β=l,所以由基本事实3可得A∈l,故A正确; 对于B,由基本事实1及点A,B,C不共线,A∈β,B∈β,且A,B,C∈α,得C∉β,故B正确; 对于C,因为平面α和平面β的位置关系不确定,所以直线a与直线b的位置关系亦不确定,故C错误; 对于D,由基本事实2及A∈α且B∈α,得AB⊂α,故D正确. 8.在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,E,F,G分别为AB,PC,AD的中点,直线BF与EG所成角的余弦值为,则三棱锥P-EFG的体积为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图1,连接BD,AC,DF,OF, 设AC与BD的交点O, 由BD∥EG,得∠FBD即为BF与EG所成的角, 由题意知△DFB为等腰三角形,且O为BD的中点, 在Rt△OFB中,cos∠FBD===, 解得BF=, 在等腰△BPC中,设FC=x, 则PC=2FC=2x, cos∠PCB===, 解得x=1,则PC=2. 如图2, 连接PG,PE,FG,FE, 因为F为PC的中点, 故V三棱锥P-EFG=V三棱锥C-EFG=V三棱锥F-ECG, 因为PA2+PC2=AC2,PA=PC, 所以△PAC为等腰直角三角形, 则在等腰直角三角形PAC中,易求得点P到AC的距离即点P到底面的距离为=, 故点F到平面CEG的距离为, S△ECG=S正方形ABCD-S△AEG-S△CDG-S△CEB =2×2-×1×1-×2×1-×1×2 =4--1-1=, 故所求三棱锥的体积为××=. 二、多选题 9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　) A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1共面 C.A,M,C,O共面 D.B,B1,O,M共面 【答案】ABC 【解析】∵M∈A1C,A1C⊂平面A1ACC1, ∴M∈平面A1ACC1, 又∵M∈平面AB1D1, ∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上,即A,M,O三点共线, ∴A,M,O,A1共面且A,M,C,O共面, ∵平面BB1D1D∩平面AB1D1=B1D1, ∴M在平面BB1D1D外, 即B,B1,O,M不共面,故选ABC. 10.如图,G,H,M,N是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有(　　) 【答案】BD 【解析】对于A,连接GM, ∵G,M为所在棱的中点, ∴GM∥HN,∴直线GH与MN共面,故A错误; 对于B,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN, ∴直线GH与MN异面,故B正确; 对于C,如图,连接GM, ∵G,M为所在棱的中点, ∴GM∥AB,又AB∥HN, ∴GM∥HN, ∴直线GH与MN共面,故C错误; 对于D,G,M,N共面,但H∉平面GMN, ∴GH与MN异面,故D正确. 11.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,则在这个正四面体中(　　) A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线 C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直 【答案】BCD 【解析】把平面展开图还原成正四面体A-DEF,如图所示, 其中H与N重合,A,B,C三点重合, 易知GH与EF异面,BD与MN异面, 连接GM,∵△GMH为等边三角形, ∴GH与MN成60°角. 由图易得DE⊥AF, 又MN∥AF,∴MN⊥DE, 因此正确的选项是BCD. 三、填空题 12.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　　　　.  【答案】4 【解析】因为AB∥CD,由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面,与另外四个侧面相交. 13.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对.  【答案】3 【解析】把平面展开图还原为原正方体如图, 易知异面直线有(AB,GH),(AB,CD),(GH,EF),共有3对. 14.如图,AB和CD是异面直线,AB=CD=3,E,F分别为线段AD,BC上的点,且==,EF=,则AB与CD所成角的大小为　　　　.  【答案】60° 【解析】在平面ABD中,过E作EG∥AB,交DB于点G,连接GF,如图, ∵=,∴=, 又=,∴=, 则GF∥CD, ∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成的角, 在△EGF中,EG=AB=2,GF=CD=1, EF=, ∴cos∠EGF==-, ∴∠EGF=120°, ∴AB与CD所成角的大小为60°. 四、解答题 15.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2. (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线. 【证明】 (1)因为E,F分别为AB,AD的中点, 所以EF∥BD. 在△BCD中,==, 所以GH∥BD,所以EF∥GH, 所以E,F,G,H四点共面. (2)因为EG∩FH=P,P∈EG,EG⊂平面ABC, 所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. 所以P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈AC, 所以P,A,C三点共线. 16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,边长为4,E为AB的中点,PE⊥平面ABCD. (1)若△PAB为等边三角形,求四棱锥P-ABCD的体积; (2)若CD的中点为F,PF与平面ABCD所成角为45°,求PC与AD所成角的正切值. 【解析】 (1)∵正方形ABCD的边长为4,且△PAB为等边三角形,E为AB的中点, ∴PE=PB·sin∠PBE=AB·sin 60°=2, 又PE⊥平面ABCD, ∴四棱锥P-ABCD的体积 VP-ABCD=×42×2=. (2)如图,连接EF, ∵AD∥BC, ∴∠PCB(或其补角)即PC与AD所成的角. ∵PE⊥平面ABCD,EF,BC⊂平面ABCD, ∴PE⊥EF,PE⊥BC, 又PF与平面ABCD所成角为45°, 即∠PFE=45°, ∴PE=EF·tan ∠PFE=4, ∴PB===2. 又BC⊥AB,PE∩AB=E,PE,AB⊂平面PAB, ∴BC⊥平面PAB, 又PB⊂平面PAB,∴BC⊥PB, ∴tan ∠PCB==, ∴PC与AD所成角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 立体几何与空间向量 第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1 与平面有关的基本事实及推论★★★☆☆ 考点2 空间点、直线、平面之间的位置关系★★★☆☆ 考点3 基本事实4和等角定理★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.与平面有关的基本事实及推论★★★☆☆ (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l (2)三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 2.空间点、直线、平面之间的位置关系★★★☆☆ 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 独有关系 图形语言 符号语言 a,b是 异面直线 a⊂α 3.基本事实4和等角定理★★★☆☆ (1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (2)等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:. 【名师点拨】 1.过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.(　　) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(　　) (4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.(　　) 2.(人教A必修二P128T2改编)下列命题正确的是(　　) A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.空间两两相交的三条直线确定一个平面 D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面 3.(人教A必修二P147【典例】1改编)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=BC=1,AA′=2,则异面直线BA′与AC所成角的余弦值为　　　　.  4.(苏教必修二P175T15改编)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为菱形;  (2)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为正方形.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　基本事实与推论的应用 【典例】1 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q. 求证:(1)D,B,E,F四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线; (3)DE,BF,CC1三线交于一点. 【变式训练】1 (1)在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩HG=P,则点P(　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上 (2)如图,P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则在下列图形中,这四个点不共面的一个图是(　　) 考点二　空间两直线位置关系的判断 【典例】2 (1)(2025·湖州模拟)已知a,b,c是三条不同的直线,有下列三个命题: ①若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线; ②若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交; ③若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线A1M与BN是相交直线 【变式训练】2 (1)空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 (2)已知α,β,γ是三个不同的平面,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a∩b=O,则下列结论正确的是(　　) A.直线b与直线c可能是异面直线 B.直线a与直线c可能平行 C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点) D.直线c与平面α可能平行 考点三　求异面直线所成的角 【典例】3 (1)(2025·山西联合模拟)在正四面体A-BCD中,=3,则异面直线AD与CE所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【变式训练】3 (1)如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面展开图是边长为4的正方形,则在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AK和LM所成的角的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° (2)(2025·许昌调研)正四棱锥S-ABCD的所有棱长都相等,E为SC的中点,则异面直线BE与SA所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.若直线上有两个点在平面外,则(　　) A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内 2.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知平面α∩平面β=l,点A,C∈α,点B∈β,且B∉l,又AC∩l=M,过A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是(　　) A.直线CM B.直线BM C.直线AB D.直线BC 4.已知平面外一点P和平面内不共线三点A,B,C,A′,B′,C′分别在PA,PB,PC上,若延长A′B′,B′C′,A′C′与平面分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点(　　) A.成钝角三角形 B.成锐角三角形 C.成直角三角形 D.在一条直线上 5.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,M为A1C1的中点,则AM与BC1所成角的余弦值为(　　) A. 　　B. C. 　　D. 6.如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中错误的是(　　) A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形 7.已知α,β是两个不同的平面,a,b,l是三条不同的直线,A,B,C是三个不同的点,则下列说法错误的是(　　) A.若α∩β=l,A∈α且A∈β,则A∈l B.若A,B,C是平面α内不共线的三点,A∈β,B∈β,则C∉β C.若a⊂α,b⊂β,则a与b为异面直线 D.若A∈α,且B∈α,则AB⊂α 8.在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,E,F,G分别为AB,PC,AD的中点,直线BF与EG所成角的余弦值为,则三棱锥P-EFG的体积为(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　) A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1共面 C.A,M,C,O共面 D.B,B1,O,M共面 10.如图,G,H,M,N是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有(　　) 11.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,则在这个正四面体中(　　) A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线 C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直 三、填空题 12.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　　　　.  13.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对.  14.如图,AB和CD是异面直线,AB=CD=3,E,F分别为线段AD,BC上的点,且==,EF=,则AB与CD所成角的大小为　　　　.  四、解答题 15.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2. (1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线. 16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,边长为4,E为AB的中点,PE⊥平面ABCD. (1)若△PAB为等边三角形,求四棱锥P-ABCD的体积; (2)若CD的中点为F,PF与平面ABCD所成角为45°,求PC与AD所成角的正切值. 学科网（北京）股份有限公司 $$