1.2.4 反比例函数在求图形面积中的应用 专项训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）（2012）九年级数学上册

第一章 反比例函数 2.4 反比例函数在求图形面积中的应用 应用1 反比例函数的比例系数k与面积的关系 1.如图,点 A 在双曲线 上，点 B在双曲线 上,且AB∥x轴,C,D在x轴上, 若四边形 ABCD为矩形，则它的面积为____________. 2.如图,点 B(3,m)是直线AB与反比例函数 图象的两个交点，AC⊥x轴,垂足为点 C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC. (1)求反比例函数和直线AB的表达式： (2)△ABC 和△ABD的面积分别为 S₁,S₂,求S₂-S₁. 应用2 已知三角形的面积求点的坐标 3.如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于点A，与x轴交于点B(5,0),连接OA,若OB = AB,且 (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点 P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点 P的坐标. 应用3 已知三角形面积求函数表达式 4.如图,在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，与反比例函数 的图象交于点 C,连接OC.已知点 B(0,4), △BOC的面积是2. (1)求b、k的值; (2)求△AOC的面积. 应用4 已知四边形面积求函数表达式 5.如图,矩形ABOD的顶点 A是函数y=-x-(k+1)的图象与函数 在第二象限的图象的交点，B，D 两点在坐标轴上，且矩形ABOD的面积为3. (1)求两函数的表达式； (2)求两函数图象的交点A，C 的坐标； (3)若点P是y轴上一动点，且 求点P的坐标. 应用5 已知反比例函数表达式求图形的面积 题型1 利用函数表达式求面积 6.如图，直线y=2x与反比例函数 x>0)的图象交于点A(1,a),点 B是此反比例函数图象上任意一点(不与点 A 重合)，BC⊥x轴于点 C. (1)求k的值; (2)求△OBC的面积. 题型2 利用对称性求面积 7.如图,反比例函数 0)与正比例函数 y=mx(m≠0)的图象交于点A(-1,2)和点 B,点 C是点A关于y轴的对称点,连接AC,BC. (1)求该反比例函数的表达式； (2)求△ABC的面积; (3)请结合函数图象，直接写出不等式 的解集. 题型3 利用点的坐标及面积公式求面积 8.如图,在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象都经过A(2,-4),B(-4,m)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C,连接BC,求△ABC的面积. 参考答案 1.2 【点拨】过点 A作AE⊥y轴,垂足为E.∵点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，四边形ABCD为矩形，∴矩形AEOD的面积为1，矩形BEOC的面积为3.∴矩形ABCD的面积为3-1=2. 2.【解】(1)∵点 在反比例函数 的图象上， ∴反比例函数的表达式为 将点B(3,m)代入 得m=2,∴B(3,2). 设直线AB的表达式为y=hx+b，把点A，B的坐标分别代入， 得 解得 ∴直线AB的表达式为 (2)由点A坐标得AC=4,点 B到AC的距离为3- 设AB与y轴的交点为 E,易得E(0,6).∴DE=6-1=5. 3.【解】(1)如图,过点 A作AD⊥x轴于点 D. ∵B(5,0),∴OB=5. ∴AD=3.∵OB=AB,∴AB=5. 在 Rt△ADB中, ∴OD=OB+BD=9. ∴A(9,3).将点A 的坐标代入 得m=9×3=27， ∴反比例函数的表达式为 将点 A,B的坐标分别代入 y = kx+b,得: 解得 ∴一次函数的表达式为 (2)由(1)知AB=5.分三种情况讨论: ①当AB=PB时,PB=5.∴P(0,0)或P(10,0). ②当AB=AP时,如图.由(1)知BD=4,AD⊥x轴,易知点P与点 B关于直线AD对称, ∴DP=BD=4.∴OP=5+4+4=13,∴P(13,0). ③当BP=AP 时,设P(a,0),∵A(9,3),B(5,0),∴AP²=(9-a)²+9,BP²=(5-a)². ∴(9-a)²+9=(5-a)²,解得 综上,满足条件的点 P的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或 4.【解】(1)∵一次函数y=2x+b的图象交y轴于点B(0,4),∴b=4,OB=4, ∴一次函数的表达式为y=2x+4.设点 C(m,n). ∵△BOC的面积是 解得m=1. ∵点C在一次函数图象上，∴n=2+4=6,∴点 C(1,6). 把点 C(1,6)的坐标代入 得k=6. (2)对于y=2x+4,当y=0时,0=2x+4,解得x=-2, ∴点 5.【解】(1)由图象知k<0,由已知条件得|k|=3,∴k= -3. ∴反比例函数的表达式为 一次函数的表达式为y=-x+2. (2)由 解得 ∵点A在第二象限，点C在第四象限，∴点A,C的坐标分别为(-1,3),(3,-1). (3)设点P的坐标为(0,m),直线y=-x+2与y轴的交点为 M,则点 M的坐标为(0,2). 即 或 ∴点P的坐标为 或 6.【解】(1)∵直线y=2x与反比例函数 x>0)的图象交于点A(1,a), ∴将A(1,a)的坐标代入 y=2x,得a=2,∴A(1,2). 将A(1，2)的坐标代入反比例函数 中,得k=2. (2)∵点B是反比例函数 图象上的点，且BC⊥x轴于点C, ∴△OBC 的面积为 7.【解】(1)把点 A(-1,2)的坐标代入 0),得 ∴该反比例函数的表达式为 (2)易知点 B(1,-2). ∵点C是点A关于y轴的对称点，∴C(1,2),∴CA=2,CA⊥CB, (3)根据图象得不等式 的解集为x<-1或0<x<1. 8.【解】(1)将点A(2,-4)的坐标代入 得到则k=-8. ∴反比例函数的表达式为 将点B(-4,m)的坐标代入 得 ∴B(-4,2). 将点A,B的坐标分别代入y=ax+b,得 解得 ∴一次函数的表达式为y=-x-2. (2)如图,设AB交x轴于点 D,连接CD,过点 A 作 AE⊥CD交 CD 延长线于点E,作BF⊥CD交CD于点 F. 令y=-x-2=0,则x= -2,∴点D的坐标为(-2,0). ∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C， ∴A(2,-4)与点 C关于原点对称,∴点C(-2,4), ∴点C、点D横坐标相同,∴CD∥y轴, 1 学科网（北京）股份有限公司 $