21.1 一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版数学上册

21.1 一元二次方程 同步练习 （考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2+x＝y2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1） 2．一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 3．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+2＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C． D．6 4．若关于x的方程（4﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a≠4 C．a＜4 D．a＞4 5．如果x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 6．若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 7．若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足a+b+c＝0，则方程必有根（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1 8．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　） A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2 C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是　 　 ．（写出一个即可） 10．一元二次方程3x2＝x+2的一次项系数是 　 　 ． 11．关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 12．小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：x2﹣＝0．已知一个根x1＝3，则另一个根x2＝　 　 ． 13．已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m＝ 　 　 ． 14．已知m是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根，则﹣4m﹣2m2+10的值为　 　 ． 15．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若9a﹣3b+c＝0，则该方程的一个根是　 　 ． 16．若两个关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0和x2+x+m﹣4＝0有且只有一个相同的实数根，则m的值为　 　 ． 三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．本小题分)把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）（x﹣5）2＝36； （2）3y（y+1）＝2（y+1）． 18．本小题分)（1）填表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 x2﹣4x 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）观察表格，一元二次方程x2﹣4x＝﹣3的根有哪些？ 19．本小题分)将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式． 20．本小题分)已知关于x的方程（k2﹣4）x2+（k﹣2）x＝0． （1）当k为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 21． 本小题已知a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求a2﹣2017a的值． 22．本小题分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 答案与解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B A B B B 一．选择题（共8小题） 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2+x＝y2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1） 【解答】解：A、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、x2+x＝y2﹣1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、3（x+1）2＝2（x+1），即3x2+4x+1＝0是一元二次方程，符合题意， 故选：D． 2．一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 【解答】解：一元二次方程方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数是3，一次项系数﹣4、常数项﹣5， 故选：C． 3．若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣kx+k+2＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C． D．6 【解答】解：把x＝﹣2代入程x2﹣kx+k+2＝0得4+2k+k+2＝0， 解得k＝﹣2． 故选：A． 4．若关于x的方程（4﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a≠4 C．a＜4 D．a＞4 【解答】解：∵关于x的方程（4﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程， ∴4﹣a≠0，解得：a≠4， 故选：B． 5．如果x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根， ∴1+m+3＝0， ∴m＝﹣4． 故选：A． 6．若a为方程2x2+x﹣4＝0的解，则6a2+3a﹣9的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣4 D．﹣9 【解答】解：把x＝a代入方程得：2a2+a﹣4＝0， 则2a2+a＝4， 则6a2+3a﹣9＝3（2a2+a）﹣9＝12﹣9＝3． 故选：B． 7．若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足a+b+c＝0，则方程必有根（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1 【解答】解：∵当x＝1方程ax2+bx+c＝0可化为a+b+c＝0； 故选：B． 8．如表是代数式x2+12x﹣15的部分值的情况． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程x2+12x﹣15＝0的一个正根x1的判断正确的是（　　） A．x1＜1.1 B．1.1＜x1＜1.2 C．1.2＜x1＜1.3 D．1.3＜x1＜1.4 【解答】解：由表可知，当x＝1.1时，x2+12x﹣15＜0，当x＝1.2时，x2+12x﹣15＞0， ∴x2+12x﹣15＝0正根x1的范围是1.1＜x1＜1.2； 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是　x2+x﹣6＝0（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【解答】解：由题意可得，方程可以为：（x+3）（x﹣2）＝0， 即x2+x﹣6＝0． 故答案为：x2+x﹣6＝0（答案不唯一）． 10．一元二次方程3x2＝x+2的一次项系数是 　﹣1　 ． 【解答】解：化成一般形式，得3x2﹣x﹣2＝0， ∴一次项系数是﹣1． 故答案为：﹣1． 11．关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　﹣3　 ． 【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+3x﹣2＝0是一元二次方程， ∴|m+1|＝2，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 12．小马同学在解方程时，等号左边的一个数字不小心被墨水污染了，如右式：x2﹣＝0．已知一个根x1＝3，则另一个根x2＝　﹣3　 ． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣＝0．已知一个根是x1＝3， ∴将x＝3代入x2﹣＝0中，得9﹣＝0，解得＝9， ∴解一元二次方程x2﹣9＝0，得x＝3或﹣3， ∴方程的另一个根为﹣3， 故答案为：﹣3． 13．已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m＝ 　2　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1， ∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0， ∴1﹣3+m＝0， 解得，m＝2． 故答案为：2． 14．已知m是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根，则﹣4m﹣2m2+10的值为　0　 ． 【解答】解：由条件可得m2+2m﹣5＝0，即m2+2m＝5， ∴﹣4m﹣2m2+10＝﹣2（m2+2m）+10＝﹣2×5+10＝0． 故答案为：0． 15．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若9a﹣3b+c＝0，则该方程的一个根是　x＝﹣3　 ． 【解答】解：∵当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＝0， ∴x＝﹣3是该方程的一个根， 故答案为：x＝﹣3． 16．若两个关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0和x2+x+m﹣4＝0有且只有一个相同的实数根，则m的值为　2　 ． 【解答】解：∵两个关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0和x2+x+m﹣4＝0有且只有一个相同的实数根， ∴可设相同实数根为x＝p， 得到p2+pm﹣3＝0，① P2+P+m﹣4＝0，② ①﹣②得：p（m﹣1）＝m﹣1， 当m﹣1＝0时， 解得m＝1（不合题意舍去）， 当m﹣1≠0时， 解得p＝1， 将p＝1代入①，得1+m﹣3＝0， 解得m＝2， 即m的值为2， 故答案为：2． 三．解答题（共6小题） 17．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）（x﹣5）2＝36； （2）3y（y+1）＝2（y+1）． 【解答】解：（1）一元二次方程（x﹣5）2＝36的一般形式是：x2﹣10x﹣11＝0， 二次项系数是1、一次项系数是﹣10，常数项是﹣11； （2）一元二次方程3y（y+1）＝2（y+1）的一般形式是：3y2+y﹣2＝0， 二次项系数3、一次项系数是1，常数项是﹣2． 18．（1）填表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 x2﹣4x 　21　 　12　 　5　 　0　 　﹣3　 　﹣4　 　﹣3　 　0　 （2）观察表格，一元二次方程x2﹣4x＝﹣3的根有哪些？ 【解答】解：（1）填表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 x2﹣4x 21 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 故答案为：21，12，5，0，﹣3，﹣4，﹣3，0； （2）观察表格，一元二次方程x2﹣4x＝﹣3的根有x＝1和x＝3． 19．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式． 【解答】解：根据题意，得（x+1）•2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22， 整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22， 即x2+2x﹣18＝0， 它符合一元二次方程的定义． 20．已知关于x的方程（k2﹣4）x2+（k﹣2）x＝0． （1）当k为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【解答】解：（1）根据题意，得k2﹣4＝0且k﹣2≠0． 解得k＝﹣2． 所以当k＝﹣2时，此方程是一元一次方程； （2）根据题意，得k2﹣4≠0． 解得k≠±2． 此时一元二次方程的二次项系数是k2﹣4、一次项系数是k﹣2，常数项是0． 21．已知a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求a2﹣2017a的值． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2018a+1＝0， ∴a2＝2018a﹣1， ∴a2﹣2017a2018a﹣1﹣2017a ＝a﹣1 1 1 ＝2018﹣1 ＝2017． 22．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 【解答】解：（1）是美妙方方程． ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣8， ∴3a﹣2b+c＝6﹣（﹣2）+（﹣8）＝0． 故此方程为美妙方程． （2）将x＝﹣1代入原方程得， a﹣2+c＝0①， ∵此方程为美妙方方程， ∴3a﹣4+c＝0②， 由①②得， ∴这个美妙方程为x2+2x+1＝0． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$