第1章《有理数》同步练习（考点内容：1.1—1.4） 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

**基本信息** 以“考点基础—情境应用—综合探究”分层设计，通过古代数学情境与生活实例结合，构建从单一概念到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |考点同步练习|正数负数、数轴、相反数、绝对值基础概念|结合刘徽、《九章算术》等历史情境，设置选择与填空题，强化符号意识| |师生互动|数轴动点、实际问题应用|以蜗牛移动、外卖送餐等生活场景，设计解答题，发展几何直观与应用意识| |探究应用|绝对值几何意义、规律推理|通过阅读材料（拆项法、数轴距离公式），设置拓展题，培养推理能力与创新意识|

第1章《有理数》考点汇编（考点内容：1.1—1.4） ( 考点汇编 ) 考点1：正数和负数 例1、中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家，2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升3kg记作，那么体重下降2kg可以记作（    ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家、若元表示收入5元，则支出7元可记作（     ） A、元 B、元 C、元 D、元 2、某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作，那么低于标准质量0.02g记作（    ） A、 B、 C、 D、 3、我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”。如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（     ） A、运出30吨粮食 B、亏损30吨粮食 C、卖掉30吨粮食 D、吃掉30吨粮食 4、《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数。若气温为零上，则记作，则表示气温为（     ） A、零上 B、零下 C、零上 D、零下 5、1700多年前，我国数学家刘徽（今山东滨州人）首次明确地提出了正数和负数的概念、他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。例 如： ( 红色算筹 +34 黑色算筹 - 25 ) 这个记载比国外早了近八百年、根据上述材料，下列选项所示的算筹，表示的是（    ） ( A B C D ) 6、我国古代数学著作《九章算术》最早引入了负数，魏晋时期数学家刘徽在注解中写道“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数、黑色算筹表示负数、若水库水位上升0.3米记作米，则水位下降0.2米应记作________. 考点2：数轴 例2、在数轴上，点A表示，将点A向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点B，则点B表示的数是（     ） A、 B、0 C、6 D、 【同步练习】 1、下列关于数轴的图示，画法正确的是（    ） ( 2 A 1 0 - 1 - 2 5 B 4 3 2 1 2 C 1 0 - 1 2 D 1 0 - 1 ) 2、点A，点B，点C在同一数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是6，以点C为折点，将数轴向右对折，点A落到点D处，若，则点C表示的数是（     ） A、 B、 C、或 D、或 3、在数轴上的点A到表示的点的距离是5，那么点A表示的数是（    ） A、5 B、3 C、 D、3或 考点3：相反数 例3、的相反数是（      ） A、 B、2026 C、 D、 【同步练习】 1、下列各数中，与互为相反数的是（      ） A、3 B、 C、 D、 2、的相反数是（    ） A、2023 B、 C、 D、 3、化简下列各数： （1）   ；（2）； 4、化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；；；； （2）当前面有99个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有100个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：. 考点4：绝对值 例4、的绝对值是（      ） A、 B、2026 C、 D、 【同步练习】 1、若，则______； 2、若，则的值为________. ( 师生互动 ) 1、一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位长度，第二次向反方向移动2个单位长度，第三次向正方向移动3个单位长度，第四次向反方向移动4个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第2025次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（     ） A、1010 B、0 C、 D、 2、如图，点A在数轴上，点B在数轴上A点右侧6个单位长度的位置，点M在数轴上与点B距离2个单位长度，则点M表示的数是________； ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 A ) 3、如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么n的值是__________. ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 A 3 A 1 A A 2 ) 4、某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售、如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0， （1）你能求出销售后的总额吗？ （2）该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？盈利（亏损）多少？ 5、外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 （1）求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单； （2）外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元。求外卖小哥这一周工资收入多少元。 6、某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） （1）收工时该检修小组距离A地多远？ （2）该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 7、为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，， （1）守门员最后是否回到了初始位置？ （2）本次练习中守门员共跑了多少米？ ( 探究应用 ) 1、阅读材料解决问题 （1）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴时，我们发现有许多重要的规律： 例如，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点M表示的数为.若在数轴上，点A，B表示的数分别为，20，则根据上面的材料可知_________线段AB的中点M表示的数为_________（直接写出结果）； （2）数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法. 请仿照上面的方式计算： （3）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①_______； ②计算： 2、阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离。 ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 ) （1）_________，_________； （2）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得 3、在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C （1）画出数轴，标出A、B、C三点在数轴上的位置； （2）根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ （3）若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数。 4、阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义、若在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为.如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离。 ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 ) 根据上述材料，回答下列问题： （1）与3的距离是_________； （2）式子的最小值是多少？ （3）应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在_________，才能使这2014户居民到点P的距离总和最小。 5、【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；， （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________； 【拓广应用】 （2）用合适的方法计算：_________________； （3）请利用你探究的结论计算： 第1章《有理数》考点汇编（考点内容：1.1—1.4）——————第 6 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章《有理数》考点汇编（考点内容：1.1—1.4）参考答案 ( 考点汇编 ) 考点1：正数和负数 例1、中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家，2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升3kg记作，那么体重下降2kg可以记作（   A  ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、魏晋时期的中国古代数学家刘徽最早提出了正负数的概念，也使中国成为最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家、若元表示收入5元，则支出7元可记作（   A   ） A、元 B、元 C、元 D、元 2、某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作，那么低于标准质量0.02g记作（  A   ） A、 B、 C、 D、 3、我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”。如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ A     ） A、运出30吨粮食 B、亏损30吨粮食 C、卖掉30吨粮食 D、吃掉30吨粮食 4、《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”意思是：两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数。若气温为零上，则记作，则表示气温为（  D    ） A、零上 B、零下 C、零上 D、零下 5、1700多年前，我国数学家刘徽（今山东滨州人）首次明确地提出了正数和负数的概念、他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。例 如： ( 红色算筹 +34 黑色算筹 - 25 ) 这个记载比国外早了近八百年、根据上述材料，下列选项所示的算筹，表示的是（   D ） ( A B C D ) 6、我国古代数学著作《九章算术》最早引入了负数，魏晋时期数学家刘徽在注解中写道“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数、黑色算筹表示负数、若水库水位上升0.3米记作米，则水位下降0.2米应记作________.【答案】 考点2：数轴 例2、在数轴上，点A表示，将点A向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点B，则点B表示的数是（    A  ） A、 B、0 C、6 D、 【同步练习】 1、下列关于数轴的图示，画法正确的是（ D   ） ( 2 A 1 0 - 1 - 2 5 B 4 3 2 1 2 C 1 0 - 1 2 D 1 0 - 1 ) 2、点A，点B，点C在同一数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是6，以点C为折点，将数轴向右对折，点A落到点D处，若，则点C表示的数是（   D  ） A、 B、 C、或 D、或 3、在数轴上的点A到表示的点的距离是5，那么点A表示的数是（  D   ） A、5 B、3 C、 D、3或 考点3：相反数 例3、的相反数是（    B  ） A、 B、2026 C、 D、 【同步练习】 1、下列各数中，与互为相反数的是（   B    ） A、3 B、 C、 D、 2、的相反数是（  A   ） A、2023 B、 C、 D、 3、化简下列各数： （1）   ；（2）；【答案】，10 4、化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；；；； （2）当前面有99个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有100个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：. 【答案】（1）2，，，4.5；（2） 总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身， 故答案为：，； （3）根据（2）的规律可得， 考点4：绝对值 例4、的绝对值是（     D  ） A、 B、2026 C、 D、 【同步练习】 1、若，则______；【答案】13 2、若，则的值为________.【答案】5 ( 师生互动 ) 1、一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位长度，第二次向反方向移动2个单位长度，第三次向正方向移动3个单位长度，第四次向反方向移动4个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第2025次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（   A  ） A、1010 B、0 C、 D、 2、如图，点A在数轴上，点B在数轴上A点右侧6个单位长度的位置，点M在数轴上与点B距离2个单位长度，则点M表示的数是________；【答案】1或5 ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 A ) 3、如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么n的值是__________.【答案】114或117 ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 A 3 A 1 A A 2 ) 4、某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售。如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0， （1）你能求出销售后的总额吗？ （2）该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？盈利（亏损）多少？ 【详解】（1）解：（元）； 即销售后的总额为517元； （2）解：∵ ∴该店卖出这8套运动服后是盈利 盈利元． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 5、外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 （1）求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单、 （2）外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元。求外卖小哥这一周工资收入多少元。 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为： （单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 【详解】本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键。 6、某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） （1）收工时该检修小组距离A地多远？ （2）该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【详解】（1）解：（千米） 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米） 答：该检修小组这一天行驶的总路程为45千米． 7、为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：m）：，，，，，， （1）守门员最后是否回到了初始位置？ （2）本次练习中守门员共跑了多少米？ 【详解】（1）解： （米） 答：守门员最后回到了初始位置． （2）解：（米） 答：本次练习中守门员共跑了54米． 【点评】本题考查了正负数的应用、有理数加减混合运算的应用、绝对值的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键． （1）将练习记录的七个数字相加即可得； （2）将练习记录的七个数字的绝对值相加即可得。 ( 探究应用 ) 1、阅读材料解决问题 （1）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴时，我们发现有许多重要的规律： 例如，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点M表示的数为.若在数轴上，点A，B表示的数分别为，20，则根据上面的材料可知_________线段AB的中点M表示的数为_________（直接写出结果）； （2）数学李老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫做拆项法. 请仿照上面的方式计算： （3）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时，当时，根据以上阅读完成： ①_______； ②计算： 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别为，20 ∴，线段AB的中点M表示的数为； （2）解： ； （3）解：①∵ ∴； ②，，，同理， ． 2、阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离。 ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 ) （1）_________，_________； （2）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得 【详解】（1）解：，； （2）因为 所以表示在数轴上表示数x与的两点之间的距离等于5 因此整数x的值为2或； （3）因为 所以表示在数轴上表示数x的点分别与表示数，的两点之间的距离之和 因此所有符合条件的整数x的值为，，，0，1，2． 3、在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C （1）画出数轴，标出A、B、C三点在数轴上的位置； （2）根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ （3）若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数。 【详解】（1）解：略． （2）解：点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度，故点D表示的数为． 【点评】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键。 （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定A、B、C三点对应的数，再在数轴上标出位置； （2）先计算点C对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度； （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点D表示的数。 4、阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义。若在数轴上有理数a对应的点为A，有理数b对应的点为B，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为.如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离。 ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 ) 根据上述材料，回答下列问题： （1）与3的距离是_________； （2）式子的最小值是多少？ （3）应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在_________，才能使这2014户居民到点P的距离总和最小。 【详解】（1）解：，故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 ) ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． …… 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想。 5、【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；， （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________； 【拓广应用】 （2）用合适的方法计算：_________________； （3）请利用你探究的结论计算： 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 第1章《有理数》考点汇编（考点内容：1.1—1.4）——————第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $