专题03 相似三角形的经典模型13大模型（专项训练）数学北京版九年级上册

专题03 相似三角形的经典模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、A字型相似 1 题型二、8字型相似 2 题型三、AX字型相似 3 题型四、母子型相似 5 题型五、三角形内接矩形相似 6 题型六、射影定理相似 8 题型七、旋转相似 8 题型八、k字型相似 8 题型九、折叠相似 8 题型十、一线三等角型相似 8 题型十一、手拉手型相似 8 题型十二、动态相似 9 题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型）（难点） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一 A字型相似 1．如图，在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，分别在的边，上，且，，若的面积是4，则四边形的面积是 ． 3．如图，已知，，和边的高分别为和，连接，若，则 ． 4．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 题型二 8字型相似 5．如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为 ． 8．如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)证明：； (2)当平行四边形的面积为12时，直接写出的面积． 题型三 AX型相似 9．如图，E、F是的边上的两点，连接，交于点O, 的面积为1，的面积为9，四边形的面积为5，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B． C． D．9 10．如图，点是正方形边的中点，点是边延长线上一点，，连结的延长线交于点交于点，则 ， ． 11．如图，E为平行四边形的对角线上的一点，且，，连接并延长，过点D作，与的延长线相较于点F，则的长为 ． 12．如图，已知，，，点E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平行四边形的面积是32，求线段的长 题型四 母子型相似 13．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 14．如图，在中，于，求证：． 15．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 16．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 题型五 三角形内接矩形相似 17．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 18．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 19．如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 20．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 题型六 射影定理相似 21．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为D． （1）求证：； （2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接．当时，请判断的形状，并说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．线段的长为 （直接写结果）． 22．阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 24．【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． (1)请证明“射影定理”中的结论③． (2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． ①求证：． ②若，求的长． 题型七 旋转相似 25．【问题情境】已知正方形和正方形，其中，． 【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合． ①填空：与的数量关系是________； ②求证：； 【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转． ①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长； ②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值． 26．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 27．【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究和的数量关系和位置关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出和的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）如图2，当时，（1）中位置关系的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，请直接写出的长． 28．【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题： 将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，，点F在内，连接并延长到点E，使，连接，，．探究线段与的关系． 【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系； “善思小组”的解题思路：结合F为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）请你写出线段与的数量关系________，位置关系________，并证明线段与的数量关系（写出一种方法即可）； 【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： （2）如图4，在中，，，D为上一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，O为中点，连接并延长交的延长线于点F，若，探究，，之间的数量关系__________，并说明理由； 【能力提升】 （3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出的值（参考图5、图6）． 题型八 折叠相似 29．综合与实践． 在数学综合与实践课上，老师组织同学们进行以“图形折叠”为主题的探究活动，素材是矩形和正方形纸片． 环节一：矩形纸片的折叠操作 （1）现有矩形纸片，执行以下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，随后将纸片展平； 操作二：在边上选取一点，沿着折叠纸片，使得点落在矩形内部的点处，展平后连接和． 如图①，当点刚好落在折痕上时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 环节二：正方形纸片的折叠延伸探究 （2）如图②，小慧将矩形纸片替换为正方形纸片，重复上述环节一中的操作步骤，并且延长与相交于点，连接．探究与的数量关系，并说明理由． 环节三：折叠问题的拓展应用 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 30．综合与实践 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的点D处，折线交于点E，则． （理由：______）， ． 这说明在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角越大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法． 【类比探究】 类似地，应用上述方法探究： （1）如图2，在中，，判断：______（填“>”“=”或“<”），请证明你的判断． 【拓展运用】 （2）如图3，在中，D为上的一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 31．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 32．数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 (1)如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 (2)如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 (3)将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 题型九 一线三等角型相似 33．九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 34．阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 35．在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 36．阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：， 又， 故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 题型十 手拉手型相似 37．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．    【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请直接写出之间的数量关系：______； 【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图4，在中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______； 38．我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 39．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 40．综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 题型十一 动态相似 41．如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 42．如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 43．矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            44．【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 题型十二 k字型相似 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 45、【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 46．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 47．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 48．如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 49．【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 50．【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 51．如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 52．如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 1．（2025·河南开封·一模）如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． ∴， 解得：， ∴， 2．（2025·北京西城·一模）如图，在菱形中，，，点在对角线上，且．作关于直线对称的，延长交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在正方形中，，E是边的中点，连接交对角线于点F，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D． 4．（2025·北京·一模）如图，的中线交于点，连结，设的面积为的面积为的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河北石家庄·一模）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法：一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则 ． （2）过点作，交于点，交于点，若、，则正方形的边长是 ． 6．（2025·四川成都·一模）如图，在中，对角线和相交于点O， ．延长至点E，连接交于点F，其反向延长线交于点H，若，则的值为 ． 7．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ． 8．（2025·北京海淀·一模）如图1，已知是正方形的边上一点，连接，延长至点，使，连接交于点． （1）若，则 ；（用含有的代数式表示） （2）如图2，连接交于点．若，则 ． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，点E为线段上一个动点，过点E作交线段于点F，，，． (1)求的长； (2)连接交于点G，求的长． 10．如图四边形是矩形，点E，F分别在边，上，且于点H．    (1)当时，求证：； (2)若，时，求的值． 11．如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 12．如图，已知四边形中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．于点E．设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)当t为何值时，以A，D，P为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 13．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为 ． (2)如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的经典模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、A字型相似 1 题型二、8字型相似 2 题型三、AX字型相似 3 题型四、母子型相似 5 题型五、三角形内接矩形相似 6 题型六、射影定理相似 8 题型七、旋转相似 8 题型八、k字型相似 8 题型九、折叠相似 8 题型十、一线三等角型相似 8 题型十一、手拉手型相似 8 题型十二、动态相似 9 题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型）（难点） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一 A字型相似 1．如图，在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，先由，，则，，又，所以，然后根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴ 故选：C． 2．如图，点，分别在的边，上，且，，若的面积是4，则四边形的面积是 ． 【答案】21 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ∵，的面积是4， ∴， ∴， 解得， ∴四边形的面积， 故答案为：21． 3．如图，已知，，和边的高分别为和，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，，证明，从而可得结论． 【详解】解：∵，和边的高分别为和， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 4．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质. （1）由可知，则，将数据代入计算即可； （2）由（1）知，根据计算即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 题型二 8字型相似 5．如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加平行线辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．过点作交于点，先证明得到，再证明得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查格点三角形与三角形相似，掌握格点三角形的特点，相似三角形的性质是解题的关键． 本题运用相似三角形的判定与性质求出对应线段的比例关系，再结合已知线段长度求出相关线段长度，最后利用三角形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】如图： 过点作交于点，延长交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 7．如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】先由相似三角形的判定得到，由相似比代值求解得到，过点分别作于点于点，如图所示，由正方形的判定与性质，进而得到，由相似比代值求解得到，最后在Rt中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 过点分别作于点于点，如图所示： 平分， ， ， 四边形为正方形， ， ，， ， ，即， ， 在Rt中，，，，由勾股定理得． 故答案为： 【点睛】本题考查求线段长，涉及角平分线定义、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质并灵活运算相似及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 8．如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)证明：； (2)当平行四边形的面积为12时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方进行几何计算．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质． （1）先根据平行四边形的性质得到，所以，然后根据“”可证明，从而得到； （2）先根据平行四边形的性质得到，，则，再证，根据相似三角形的性质得到，接着由得到，所以，从而得到． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型三 AX型相似 9．如图，E、F是的边上的两点，连接，交于点O, 的面积为1，的面积为9，四边形的面积为5，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8 B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．连接．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出．得出的面积，推出的面积．从而推出结果． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 10．如图，点是正方形边的中点，点是边延长线上一点，，连结的延长线交于点交于点，则 ， ． 【答案】 【分析】利用正方形性质找全等三角形，通过全等三角形对应角相等及角的互余关系推导 求得．借助正方形对边平行得相似三角形，利用相似三角形性质及线段比例关系求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴； ∵四边形是正方形，，， ∴， ∵是中点，即， ∴， ∴设，则， ． ∵为中点， ∴， 设正方形的边长为，则． ∴， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等和相似三角形的判定及性质是解题的关键． 11．如图，E为平行四边形的对角线上的一点，且，，连接并延长，过点D作，与的延长线相较于点F，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造平行四边形和相似三角形，延长交于点，易得四边形为平行四边形，进而推出，证明，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 延长交于点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 12．如图，已知，，，点E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平行四边形的面积是32，求线段的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，则，可证四边形是平行四边形，根据，结论得证； （2）如图，由，，可得，则，证明是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，即，，在中，由勾股定理求的值，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵矩形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型四 母子型相似 13．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，构造全等三角形，一线三直角模型是解题关键．以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形，结合矩形的性质，证明四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，从而推出，求出，，再证明，即可求出的长． 【详解】解：如图，以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形， ，，，，， 是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在中，于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：证明，列出比例式即可求证． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 16．马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究： 如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点； （1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积； 如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【分析】本题主要考查了矩形与相似三角形．熟练掌握矩形性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． （1）根据矩形性质得，得，得，得；当时，，得，得； （2）作交于G，得，得四边形是平行四边形，根据，运用勾股定理求出，即得； （3）由已知可得，证明，得，可得，证明 和,得，即得； （4）在上取，连接，求出,，根据，得的最小值为， ，，得，，即得的最小值为． 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2；； （2）不变．作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴,不变； （3）当时 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）在上取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型五 三角形内接矩形相似 17．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长． 【答案】 【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， 四边形是正方形， ， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 18．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 【答案】 【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，设高AM交GF于H点， ∵四边形DEFG为正方形， ∴GF∥DE，即：GF∥BC， ∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC， ∴， 设正方形的边长为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键． 19．如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，进而推出，再利用矩形的判定即可证明； （2）设，表示出、的长，通过证明得到，代入数据求出的值，再根据矩形的性质得到，再分别在和中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为矩形． （2）解：如图， 由（1）得，， 设， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 20．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 题型六 射影定理相似 21．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为D． （1）求证：； （2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接．当时，请判断的形状，并说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．线段的长为 （直接写结果）． 【答案】（1）见解析（2）是直角三角形，理由见解析（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、四点共圆、构造相似三角形、垂线段最短等知识点，善于运用相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）通过角度的转换得到，即可证得，再由相似三角形的性质即可证明结论； （2）通过角度的转换得到，可推出A，C，B，E四点共圆可得，即可判定三角形的形状； （3）以点A为圆心，2为半径作，则C，D都在上，延长至点，使得，交于点，通过构造相似三角形，得到点E在过点且与垂直的直线上运动．因为点B固定，再由垂线段最短，可得到最小值的情况，并通过勾股定理求此时的长． 【详解】证明：∵在中，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵， ∴，即， ∴， ∴A，C，B，E四点共圆， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，以点A为圆心，2为半径作，则C，D都在上，延长至点，使得，交于点， ∴， ，则． ∵， ∴， ∴， ∴点E在过点且与垂直的直线上运动． 如图：过点B作，垂足为，即为最短的，连接． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴． 故答案为：． 22．阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据两角分别对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似证明，据此即可解答； 任务二：（3）根据射影定理得，，，即可证明． 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似； （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ； （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ． 23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______； (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理； (3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；若，则 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定于性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质进行推理证明； （1）根据题意，写出答案即可； （2）利用同角的余角相等证明即可证明与相似，再列出比例式即可； （3）作，证明与全等，再利用射影定理求出线段长即可． 【详解】（1）解：根据投影的定义可知线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：，． （2）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：作， ∵点O是对角线、的交点，， ∴    ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为15，，， 由射影定理可知，，即， ，由勾股定理，得：， 则，， 所以 故答案为：． 24．【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． (1)请证明“射影定理”中的结论③． (2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． ①求证：． ②若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②． 【分析】（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题； （2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明； ②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可． 【详解】（1）证明： （2）①四边形ABCD是正方形 ②在中， 在， ． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 题型七 旋转相似 25．【问题情境】已知正方形和正方形，其中，． 【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合． ①填空：与的数量关系是________； ②求证：； 【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转． ①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长； ②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值． 【答案】[初步探究]（1）①；②，见解析 [拓展探索]（2）①；② 【分析】[初步探究]（1）①先利用正方形的性质得出，，再结合，求得； ②先利用正方形的性质得出，列出比例式，证得，从而有结论成立； [拓展探索]（2）①先证明，通过相似得出比例式，，求得，再得出，然后利用勾股定理求得，再求出； ②先证得，得出，再证明，得出，，再利用等腰直角三角形的性质得了，从而可得出结果． 【详解】解：[初步探究]（1）①∵正方形和正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵正方形和正方形，正方形的边，分别与正方形的边，重合， ∴， ∴， ∴， ∴； [拓展探索]（2）①延长，，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ②如图，在上取点，使得，连接． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴（）， ∴， ∵， ∴（）， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是找准相似三角形，列出比例式求出相关线段． 26．【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 27．【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究和的数量关系和位置关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出和的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）如图2，当时，（1）中位置关系的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点在线段上时，当点在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）延长交于点，如图， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立，理由如下： 如图延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在线段上时，连接，如图所示； 设，则， 根据（2）可知， ， ， 根据（2）可知，， ， 根据勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 此时； 当点在线段上时，连接，如图所示， 设，则， 根据（2）可知， ， ， 根据（2）可知， ， 根据勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 此时； 综上，或． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、解一元二次方程和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法和分类讨论． 28．【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题： 将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，，点F在内，连接并延长到点E，使，连接，，．探究线段与的关系． 【思路探究】“勤学小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系； “善思小组”的解题思路：结合F为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）请你写出线段与的数量关系________，位置关系________，并证明线段与的数量关系（写出一种方法即可）； 【思维训练】王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题： （2）如图4，在中，，，D为上一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接，，O为中点，连接并延长交的延长线于点F，若，探究，，之间的数量关系__________，并说明理由； 【能力提升】 （3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若F为平面内一点，，，，其他条件不变，请直接写出的值（参考图5、图6）． 【答案】（1）证明过程详见解答；（2）；（3）． 【分析】（1）勤学小组的解法：将线段借助平行线进行平移，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系，即可得证；“善思小组”的解法：结合F为的中点构造三角形的中位线，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系，即可得证． （2）延长至，使，可证得C、B、E、D共圆，从而，，可证得，从而，进一步得出结果； （3）当点在内部时，可证得C、D、F共线，根据可求得，进而得出结果；同样求得当点在外部时的结果． 【详解】解：（1）方法一，如图1， ，，理由如下： 连接，延长，交的延长线于点，交于点O， ， ∴ ∵ ∴ ，， 由旋转可得，， ，， ， ∵ ∴ ， ， ， ∴，， ， ， ， 方法二，如图2， 延长至，使，连接，延长，交于， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）如图3， 延长至，使， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 点、、、共圆， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）设，如图4， 当点在内部时，由（1）知，，，， ， ， ， ， 、、共线， ， ， ， ，（舍去）， ， ， 如图5， 当点在外部时， ， ， ， 、、共线， ， ， ， ，（舍去）， ， 综上所述：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据题意画出图形． 题型八 折叠相似 29．综合与实践． 在数学综合与实践课上，老师组织同学们进行以“图形折叠”为主题的探究活动，素材是矩形和正方形纸片． 环节一：矩形纸片的折叠操作 （1）现有矩形纸片，执行以下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，随后将纸片展平； 操作二：在边上选取一点，沿着折叠纸片，使得点落在矩形内部的点处，展平后连接和． 如图①，当点刚好落在折痕上时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 环节二：正方形纸片的折叠延伸探究 （2）如图②，小慧将矩形纸片替换为正方形纸片，重复上述环节一中的操作步骤，并且延长与相交于点，连接．探究与的数量关系，并说明理由． 环节三：折叠问题的拓展应用 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用翻折的性质得出，然后利用全等三角形的性质得出相等的边和角，求出，利用含角的直角三角形的性质即可求解； （2）利用翻折的性质得出全等三角形，得出对应边相等，然后证明即可得出结论； （3）设，则，，利用全等三角形表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，假设与的交点为, 在矩形中，由折叠的性质和可知，，点为线段中点 则点为中点，， 在直角三角形中，， ， ∵， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）得 ∴， 在正方形中， , 由题意可知，在和中， ∴， ； （3），理由如下： 假设，则，， ，点为线段中点， ， ， ，， 由勾股定理得 即 解得， ∴． 30．综合与实践 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的点D处，折线交于点E，则． （理由：______）， ． 这说明在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角越大．从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究边与角之间的不等问题转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法． 【类比探究】 类似地，应用上述方法探究： （1）如图2，在中，，判断：______（填“>”“=”或“<”），请证明你的判断． 【拓展运用】 （2）如图3，在中，D为上的一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】回归教材：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．（1）．证明见解析；（2）．理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略． （1）在内作，交于点，根据等角对等边可得，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，可得，由等角对等边易得，即可得，再证明，可得，由此证明结论． （3）由已知易得，设相似比为，可得，，，通过求差法比较和的大小即可 【详解】解：【回归教材】理由：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． （1）． 证明：如图，在内作，交AB于点D， ， ． ， ． （2）． 理由：，， ， ． 设与相似比为k， ，，， ． ， ，， ，， ，，即， ， ， 即． 31．如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处； (1)求证：； (2)若是中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、矩形与折叠问题、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和折叠的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据折叠的性质可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 设， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 32．数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 (1)如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 (2)如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 (3)将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 【答案】(1)90 (2)① 45；②正确，理由见解析 (3)1或 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． （2）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：∵将边长为2的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴． 当点F在的延长线上时，设与交于E， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当点F在上时， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型九 一线三等角型相似 33．九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 34．阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【分析】（1）由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解； （2）①由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明，可得，即可求解； ②由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证，可得，，通过证明，可求，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图1，作，交于，， ，， ， ， ， ，， ； （2）解：①如图2，作，交于，， ，， ， ，， ，， ，，， ，， ， ， ， ，（舍去）， 即的长为6； ②在中，，，， ， ，， ， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，求函数关系式等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 36．阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：， 又， 故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)15 【分析】（1）由可证，由可证，进一步可证； （2）过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证∴，于是，得解点C到的距离为； （3）以点D为端点，作线段，交延长线于点M，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，． ∴． 在与中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，      ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． 即点C到的距离为； （3）解：以点D为端点，作线段，交延长线于点M， 则． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 题型十 手拉手型相似 37．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．    【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请直接写出之间的数量关系：______； 【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图4，在中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______； 【答案】（1）（2）成立，理由见解析（3），理由见解析（4） 【分析】（1）证即可求解；（2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解；（3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解；（4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题以“手拉手”模型为几何背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，旨在考查学生的推理论证能力和“举一反三”的能力． 38．我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3)（或）， 【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． （2），M为中点，，，，证明，即可求解． （3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点D作于点F， ∵与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵M为中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴C，M，N三点共线． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴； 连接， ∵，M为中点， ∴CM⊥AB，，， ∴， ∴， ∵，N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生改变． （2）延长交于点H，连接， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用． 39．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 【答案】（1），证明见解析（2）成立，理由见解析（3），理由见解析（4） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）证即可求解； （2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解； （3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解； （4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】 解：（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 40．综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）， 【分析】（1）只需要利用SAS证明即可得到，，再证，即可推出即可证明，． （2）同理可证△ABD≌△ACE，则CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3，可以推出BE=6利用勾股定理求出，证明△AEC∽△FEB，求出，则； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，求出，则，利用勾股定理即可求出；求出，证明∠CBE=90°，则，同理可证△ACE≌△ABD，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． （2）同理可证△ABD≌△ACE， ∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3， ∴BE=6 ∵∠BAD=90°，AD=3，AB=6， ∴， 又∵∠AEC=∠BEF， ∴△AEC∽△FEB， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H， ∵∠ABE=45°， ∴∠HEB=45°=∠HBE， ∴BH=EH， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°，， ∴∠CBE=90°， ∴， 同理可证△ACE≌△ABD， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 题型十一 动态相似 41．如图，矩形中P为对角线上一动点，过P点作交于于点E，作交于点F，连接、．    (1)若， ①求证：平分； ②求证： (2)已知， 且P为的中点， 求矩形的周长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①由矩形得到，然后根据等边对等角和平行线得到，等量代换得到，然后结合即可求解； ②证明出，得到，然后等量代换即可证明； （2）如图所示，过点D作，由相似得到，代数求出，利用三线合一求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∵（矩形的性质），，， ∴， ∴， ∴ ∴整理得，； （2）解：如图所示，过点D作，    ∵，且为的中点， ∴，（矩形的性质）， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 42．如图，中，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)是否存在某一时刻，使的面积是面积的？若存在求出相应的值，若不存在，请说明理由． (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在．理由见解析 (2)存在或或时，使是等腰三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）过P作，由得，再代入相关的数据即可求得t的值，再进行判断即可． （2）分三种情况讨论，利用等腰三角形与相似三角形的性质即可求得t值． 【详解】（1）解：过P作， 因，则． ∴， ∴，又， ∴． ∴． 又． 根据题意，若存在某一时刻t，使， 则有：． 解得：（另一解因不满足，故舍去）， ∴存在这样的，使的面积是面积的． （2）解：若要使是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，，解得：． ②当时，过P作，垂足为点H（参考上图），则， 由知，，即， 解得：． ③当时，自点M作，则， 由得， ∴，即，解得：． 综合以上三种情况可知，存在或或时，使是等腰三角形． 43．矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            【答案】（）详见解析；（）；（） 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）证明：连接，    由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，    当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点，    ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 44．【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或. 【分析】（1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】（1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 题型十二 k字型相似 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 45、【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 46．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 47．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 48．如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设，则，可得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 49．【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点F作交延长线于点，则，证明，则，故，则，在中，由勾股定理得，继而； （2）在上取点，使得，连接，同上可知，则可证明，则，设，则，设，故，在中，由勾股定理得，解得，那么，故； （3）在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则，可证明，则，，设菱形的边长为，则，在中，，则，，可求出，由，得到，求出，，在中，设，则，，那么，则，故，则． 【详解】解：过点F作交延长线于点，则， 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （2）解：在上取点，使得，连接， 同上可知， ∴ ∴， ∴设， 则， ∵， 设， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 化简得：， ∴ ∴； （3）解：在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 同上可得：， ∵， ∴， ∴， 设菱形的边长为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设 ∵，则， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，难度较大，解题的关键是在于构造全等三角形和相似三角形． 50．【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，“度比坐标”为 (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，再由，，即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴于，连接，根据点到关于点的“度比坐标”为，求出点的坐标为；再由若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同，推出，即可推出，证明，求出，得到点的坐标为，由此求解即可； （3）分两种情况，①如图所示，过点作轴于，过点作轴于，根据点到关于点的“度比坐标”为，得到，；证明，得到，设点的坐标为则，，求出点的坐标为，则，②当在第三象限，在第四象限时，如图过点作轴于点，过作轴于点，同第一种情况，设点的坐标为，则，，同理算出点的坐标为，再代入直线的解析式，得到的值，进而得到点坐标，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线：分别与轴，轴相交于，两点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到关于点的“度比坐标”为； （2）如图所示，过点作轴于，连接， ∵点到关于点的“度比坐标”为． ∴， ∴， ∴点的坐标为； ∵若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同． ∴，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）有两种情况， ①当在第二象限，在第一象限时，如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵点到关于点的“度比坐标”为， ∴，； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为则，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． ②当在第三象限，在第四象限时，如图，过点作轴于点，过作轴于点， 同第一种情况，可设点的坐标为，则，， 同理可得到点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴综上点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，解题的关键在于能够准确理解题意并分类讨论求解． 51．如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据相似三角形的判定与性质即可求解； （）根据相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：同理可证：，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ∴． 52．如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 【答案】证明： 分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G 则（模型结论）． 1．（2025·河南开封·一模）如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：A． 2．（2025·北京西城·一模）如图，在菱形中，，，点在对角线上，且．作关于直线对称的，延长交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，勾股定理，根据题意找出相似三角形是解题关键．连接交于点，与交于点，根据菱形和轴对称的性质，先证明，从而设，则，利用勾股定理列方程，求出，再证明，利用相似三角形对应边成比例求的长即可． 【详解】解：如图，连接交于点，与交于点， 在菱形中，，，， ，，，， ，，， 由轴对称的性质可知，，， 又， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：，（舍）， ， ，， ， ， ， 故选：C 3．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在正方形中，，E是边的中点，连接交对角线于点F，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，求得，并且证明是解题的关键． 由正方形的性质得，，，则，求得，由，证明，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形，，是边的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（2025·北京·一模）如图，的中线交于点，连结，设的面积为的面积为的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形中线性质，推出点为的重心，以及，进而证明，，得到，，再结合三角形中线性质，三角形重心性质推出与的数量关系，即可得解． 【详解】解：的中线交于点， ，点为的重心， ，， ，， ，即， ； 由中线性质可知，， 又， ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中线性质，三角形中位线性质和判定，三角形重心性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 5．（2025·河北石家庄·一模）欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何的开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法：一小片段：如图，中，，分别以的三边为边长，向外作正方形、、． （1）连接、，若，，则 ． （2）过点作，交于点，交于点，若、，则正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用正方形的性质证明，然后利用勾股定理即可求解； （2）根据平行得出四边形为矩形，然后根据相等的角得出，最后根据对应线段成比例和勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形和四边形为正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ， 由直角三角形和正方形组合可知，点在同一条直线上， ∴由勾股定理得，， ， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，, ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即， 由勾股定理得，， 所以，正方形的边长为， 故答案为：． 6．（2025·四川成都·一模）如图，在中，对角线和相交于点O， ．延长至点E，连接交于点F，其反向延长线交于点H，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理证明，可得，证明是菱形，设 中点G，连接，可得是的中位线，得到，进一步求出，即得，再由，可得，最后证明，得到，即可求解． 【详解】解：在中，，， 又， 在中，， ， 即， 是菱形， ， 设 中点G，连接， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 先证明， 可求， 由等腰三角形的性质可求，通过证明， 可得，可求，即可求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ， ， 则， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 8．（2025·北京海淀·一模）如图1，已知是正方形的边上一点，连接，延长至点，使，连接交于点． （1）若，则 ；（用含有的代数式表示） （2）如图2，连接交于点．若，则 ． 【答案】 / / 【分析】（1）根据正方形的性质得到，再根据等边对等角得到，由三角形内角和定理即可求解； （2）作交于点，则，根据正方形 中，，得到，证明，得到，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解． 【详解】解：（1）在正方形 中，， ∵， ； （2）作交于点，则， ∵在正方形 中，， ∴， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ． 故答案为：、． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，点E为线段上一个动点，过点E作交线段于点F，，，． (1)求的长； (2)连接交于点G，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，结合勾股定理，解答即可． （2）过点E作交于点H，得到，，，解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点E作交于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 10．如图四边形是矩形，点E，F分别在边，上，且于点H．    (1)当时，求证：； (2)若，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）由矩形的性质及正方形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 掌握矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的判定及性质，勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， 在中， ． 11．如图，中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连接，并延长交于点，过点作于点，交于点，于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查正方形的判定定理及性质定理，平行线分线段成比例，勾股定理，相似三角形的判定及性质． （1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得，即可得到结论； （2）作于，交于，根据的面积为，求出，，，设，则，，由证得，即可求出． 【详解】（1）证明：，，， 四边形为矩形， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，而， ， 四边形为正方形； （2）解：作于，交于，如图， 的面积，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，得， 即的长为． 12．如图，已知四边形中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．于点E．设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)当t为何值时，以A，D，P为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，见解析 (4)存在，， 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1），过D作于点E，则四边形是矩形，可得，由勾股定理可得；证明，由平行线分线段成比例定理得到，即，则．    （2）证明，由相似三角形的性质得到，．再分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）．，则，据此利用判别式求解即可； （4）可证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过D作于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴ ∴当时，则， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，．    当时， ∴，即， ∴（已检验，符合题意）．   当时， ∴，即 ∴（已检验，符合题意）．   ∴当或时，以A，D，P为顶点的三角形与相似． （3）解：不存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分，理由如下： ． ， ∴． ∵， ∴方程无实根． ∴不存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分． （4）解：∵， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，     ∴， 解得，（已检验）． 13．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对四边形做了如下探究． (1)如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的两点，连接、，，则的值为 ． (2)如图2，在矩形中，，，点E、F分别是、上的两点，连接、，，求的值． (3)如图3，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点G，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）过点C作交的延长线于点H，证明，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）设与交于点G，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点作交的延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$