专题04 相似形章末易错压轴题型13易错+8压轴（专项训练）数学北京版九年级上册

专题04 相似形章末易错压轴题型（13易错+8压轴） 目录 易错题型一、比例线段 易错题型二、黄金分割 易错题型三、平行线分三角形两边成比例 易错题型四、相似多边形 易错题型五、相似多边形的性质 易错题型六、相似三角形的判定 易错题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 易错题型八、相似三角形的判定综合 易错题型九、利用相似三角形的性质求解 易错题型十、利用相似求坐标 易错题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 易错题型十二、重心的有关性质 易错题型十三、相似三角形的实际应用 压轴题型一、黄金分割综合应用 压轴题型二、相似三角形的判定综合 压轴题型三、相似三角形的性质综合 压轴题型四、相似三角形的动点问题 压轴题型五、重心的综合应用 压轴题型六、相似三角形的实际应用综合 压轴题型七、相似三角形的模型问题 压轴题型八、相似三角形的综合大题 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、比例线段 1．（24-25九年级上·北京石景山·期末）若，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京房山·期末）如果，那么的值是（） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 4．（24-25九年级上·北京通州·期中）如果，那么的值是 ． 5．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 易错题型二、黄金分割 6．（24-25九年级上·北京房山·期中）如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（   ） A． B． C． D．0.618 7．（24-25九年级上·北京通州·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·北京石景山·期中）古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 9．（23-24九年级上·北京顺义·期中）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ，且“■■”： ．（比值写精确值，非近似值）    10．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 易错题型三、平行线分三角形两边成比例 11．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·北京通州·阶段练习）如图，直线交于点O，．若，，．则的值为（    ）． A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 14．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，是的中线，点E在边上，交于点F，若，，则的长度为 cm.    15．（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 易错题型四、相似多边形 16．（24-25九年级上·江西上饶·期末）下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 17．（2024九年级上·全国·专题练习）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ． 19．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是 20．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 易错题型五、相似多边形的性质 21．（24-25九年级下·浙江·假期作业）已知正五边形与正五边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，已知矩形矩形，矩形的长为90，宽为60，矩形 的宽为40，则x的值为 ． 24．（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 25．（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 易错题型六、相似三角形的判定 26．（2025·甘肃定西·三模）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 28．（10-11九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 29．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 30．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，，． 求证：．    易错题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 31．（2024·上海普陀·一模）如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件： ．（只填写一个） 34．（24-25九年级上·北京房山·期中）如图，是的边上的一点，连接，要使，还需要添加一个条件是 （写出一个即可） 35．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 易错题型八、相似三角形的判定综合 36．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，，，，； (2)，，，． 37．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 38．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点E，连接，使； (2)在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为． 39．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 40．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 易错题型九、利用相似三角形的性质求解 41．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，且． (1)求证：； (2)若，且的周长为12，求的周长． 42．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)，，求的长． 43．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，D是边上一点，且．    (1)求证：． (2)求的长． 44．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，是的高，点分别在上，点在上，四边形是正方形，，．    (1)求证：与相似． (2)求正方形的边长． 45．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，与交于B，且．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 易错题型十、利用相似求坐标 46．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    47．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 48．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 49．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 50．（24-25九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 易错题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 51．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 52．（2025·江苏泰州·二模）如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则 ． 53．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中以为底边画一个等腰直角三角形； (2)在图②中画线段（点E、F不与点A、B重合），使与线段相交，且它们所夹锐角的度数为． (3)在图③中线段左侧作一点P，连结，使且的面积为． 54．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 55．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 易错题型十二、重心的有关性质 56．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 57．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（   ） A． B． C． D． 58．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图在中，是三角形的重心，，，则的长为 ． 59．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，网格小正方形边长为1，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为，则的长度为（    ） A． B． C． D． 60．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，点是重心，点在上且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 易错题型十三、相似三角形的实际应用 61．（24-25九年级下·山东烟台·期末）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（    ） A．1.49米 B．0.015米 C．0.149米 D．0.15米 62．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 63．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱中的高（点到点的距离）为米，踏板长（点到点的距离）为米，支撑点到踏脚的距离为米，原来捣头点着地，现在踏脚点着地，则捣头点上升了 米．（点下面部分的弯头长度忽略不计） 64．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）西安地处陕西肥沃的关中平原中部，素有“八水绕长安”之美称．某数学兴趣小组测量灞河支流某段宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测避灞河支流某段的宽度（河中不易到达） 活动过程 步骤一 找准参照物，拟定测量方案，并画出测量方案示意图 如图，甲同学站在点O处，对面河岸边有两棵相距330米的大树M、N，乙、丙两位同学依次站在河岸边E、F两点处时，O、E、M三点共线，O、F、N三点也共线，河两岸互相平行，于点A．    步骤二 进行实地测量，记录测量数据，并计算出测量数据的平均值    步骤三 依据测量数据的平均值，计算灞河支流这段的宽度 请结合以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为________； (2)请完成步骤三：计算灞河支流这段的宽度． 65．（2025·陕西咸阳·一模）铜川重兴寺塔为六棱七层仿木建筑结构，密檐式实心砖塔，对研究中国古塔建筑历史艺术、佛教活动、当时的经济与社会发展水平具有重要的价值．数学兴趣小组的同学们开展了测量重兴寺塔高度的实践活动． 课题 测量重兴寺塔的高度 工具 皮尺、小平面镜等 示意图 说明 如图，在阳光下某一时刻，小辉站在B处，发现他的影子顶端与塔的影子顶端重合于点C；小刚在D处放置一平面镜，在直线上来回移动，在处刚好从点D处的平面镜中看到塔的顶端M的像，已知，，，点N、B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内 测量数据 米，米，米，米，米 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出该塔的高．（平面镜的大小忽略不计） 压轴题型一、黄金分割综合应用 66．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 67．（2024·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 68．（2024·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 压轴题型二、相似三角形的判定综合 69．（24-25九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连结，使； (2)在图②中的边上确定一点，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点，边BC上确定一点，连结、、，使的周长最小． 70．（23-24九年级上·河南·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 71．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形中，，，对角线，相交于点O，且，平分． (1)求证：； (2)如图2，过点D作，使，连接，取中点 F，连接，求证：． 压轴题型三、相似三角形的性质综合 72．（2025·四川宜宾·三模）如图，在等腰中，，，是的中线，，，则（    ） A． B． C． D． 73．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，在等腰中，，，于点D，点P是边上的一个动点，以为边向右作，连接，则 ，的最小值为 ． 74．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，已知点，点，点是第一象限内的动点，且点的纵坐标为，若和相似，则符合条件的点坐标为 ． 压轴题型四、相似三角形的动点问题 75．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当点与点重合时，的值为________； (2)用含的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值； (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 76．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 77．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型五、重心的综合应用 78．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． (1)①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； (2)在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 79．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题呈现： 如图，是等边的中心，经过点的直线分别交边于点．设，探究的值． 问题探究： （1）如图（2），先将问题特殊化，若，求的值； （2）如图（1），在一般情形下，试判断（1）中的结果是否仍然成立？请证明你的判断； 问题拓展： （3）若，直接写出的值． 80．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： (1)若是的一条中线（如图1），是上一点，且满足，试判断______的重心（填“是”或者“不是”）； (2)若是的重心（如图2），连接并延长交于．证明：； (3)若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（如图3）令，，设，请求出与的关系式． 压轴题型六、相似三角形的实际应用综合 81．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 82．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 83．（2025·广东广州·二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 压轴题型七、相似三角形的模型问题 84．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 85．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 86．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形中，点是边的中点，连接，点N是边上一点． (1)如图1，若， ①在图1中，尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (2)如图2，连接．若，求的长． 压轴题型八、相似三角形的综合大题 87．（2025·广东深圳·二模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形? 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．     88．（24-25八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一点，连接，为内一点，且，点关于直线的对称点为点，与交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 89．（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 相似形章末易错压轴题型（13易错+8压轴） 目录 易错题型一、比例线段 易错题型二、黄金分割 易错题型三、平行线分三角形两边成比例 易错题型四、相似多边形 易错题型五、相似多边形的性质 易错题型六、相似三角形的判定 易错题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 易错题型八、相似三角形的判定综合 易错题型九、利用相似三角形的性质求解 易错题型十、利用相似求坐标 易错题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 易错题型十二、重心的有关性质 易错题型十三、相似三角形的实际应用 压轴题型一、黄金分割综合应用 压轴题型二、相似三角形的判定综合 压轴题型三、相似三角形的性质综合 压轴题型四、相似三角形的动点问题 压轴题型五、重心的综合应用 压轴题型六、相似三角形的实际应用综合 压轴题型七、相似三角形的模型问题 压轴题型八、相似三角形的综合大题 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、比例线段 1．（24-25九年级上·北京石景山·期末）若，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断． 【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意； B．因为，所以，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，故D不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·北京房山·期末）如果，那么的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的性质，科学记数法，设、两地的实际距离是米，根据比例尺的性质列出方程，求出的值，再用科学记数法表示出答案．解题的关键是根据题意列出方程． 【详解】解：设、两地的实际距离是米， 比例尺为，、两地的图上距离是0.15米， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京通州·期中）如果，那么的值是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查比例的性质，利用比例的性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 5．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 【答案】15 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，求出k的值，进而得出a、b、c的值，即可解答． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 易错题型二、黄金分割 6．（24-25九年级上·北京房山·期中）如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（   ） A． B． C． D．0.618 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，即点满足， ∴为较长线段， 由，得， 故选：A． 7．（24-25九年级上·北京通州·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点，进行判断即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点（）， ∴； 故选A． 8．（23-24九年级上·北京石景山·期中）古希腊人认为，最美人体是肚跻至足底的长度与人体的身高之比是，称为黄金分割比，著名的断臂维纳斯雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚跻至足底的长度为 ， 则此人身高大约为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的定义，即可求解． 【详解】解：依题意，此人身高大约为 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 9．（23-24九年级上·北京顺义·期中）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ，且“■■”： ．（比值写精确值，非近似值）    【答案】 / 【分析】根据作图可知，，，设，则，根据勾股定理得，，求出，得出，即可得出结论． 【详解】解：根据作图可知，，， 设，则， 根据勾股定理得，， ， ， 以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出． 10．（24-25九年级上·河南郑州·期中）把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 易错题型三、平行线分三角形两边成比例 11．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，直线，直线被所截得线段，直线被所截得线段，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：， 直线被所截得线段， 直线被所截得线段， ，，， 无法证明A成立，故A选项符合题意， 故选： A． 12．（23-24九年级上·北京通州·阶段练习）如图，直线交于点O，．若，，．则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键． 13．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期末）如图，是的中线，点E在边上，交于点F，若，，则的长度为 cm.    【答案】1.2 【分析】过D点作交于G点，如图，利用得到，则，所以，再利用得到，然后利用比例的性质求． 【详解】解：过D点作交于G点，如图，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为1.2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作为解题的关键． 15．（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 易错题型四、相似多边形 16．（24-25九年级上·江西上饶·期末）下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等和等腰三角形，等边三角形，正方形的性质是解决此题的关键．根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、两个正方形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； B、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； C、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是，而另一个等腰三角形的顶角是，则两个三角形就不相似，所以不一定相似，符合题意； D、各有一个角是的两个等腰三角形，的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，不符合题意； 故选：C． 17．（2024九年级上·全国·专题练习）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形．根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断． 【详解】解：①两个矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形； ②两个正方形，对应角度数相等，对应边成比例，是相似图形； ③两个等腰三角形，对应边的比、对应角的度数不一定相等，不一定是相似图形； ④两个等边三角形，对应边的比、对应角的度数一定相等，是相似图形； ⑤两个直角三角形，锐角不一定相等，不一定是相似三角形； ⑥四个角对应相等的两个等腰梯形，对应边的比不一定相等，不一定是相似图形； ⑦有一个角为的两个菱形，边的比一定相等，且对应角一定对应相等，是相似图形； ∴有3个相似图形． 故选：C． 18．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比是解题的关键．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意，设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴新正方形与原正方形的相似比， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了相似四边形的判定，根据任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似；三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似；四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，逐项判断即可，熟练掌握四边形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似，故①说法错误，不符合题意； 三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似，故②说法错误，不符合题意，③说法正确，符合题意； 四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，故④说法正确，符合题意； 综上所述，真命题的序号是③④， 故答案为：③④． 20．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】(1)不相似，见解析； (2)是相似图形，见解析． 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； （2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 易错题型五、相似多边形的性质 21．（24-25九年级下·浙江·假期作业）已知正五边形与正五边形的面积比为，则它们的相似比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质； 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：设它们的相似比为， 根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：， ∴， 故选：C． 22．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，设原来矩形的长为，宽为，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案． 【详解】解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得． 故选：B． 23．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，已知矩形矩形，矩形的长为90，宽为60，矩形 的宽为40，则x的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得． 故答案为：15． 24．（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 25．（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案． 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 易错题型六、相似三角形的判定 26．（2025·甘肃定西·三模）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，∴，即，结合可推出，故不符合题意； C、∵，，∴，故不符合题意； D、，不能推出，故符合题意； 故选：D． 27．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三角形的一个角为判断即可．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 28．（10-11九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或 故答案为：2或 29．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角的和差关系得到，即可证明出． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 30．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，，． 求证：．    【答案】见解析 【分析】由，得到，再由即可得到． 【详解】解：，， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． 易错题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 31．（2024·上海普陀·一模）如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A. ，能使与相似，不符合题意； B. ，能使与相似，不符合题意； C. ，不能使与相似，符合题意； D. ，能使与相似，不符合题意． 故选：C． 32．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，且，则，故选项A不符合题意； 若，且，则，故选项B不符合题意； 若，且，则无法证明，故选项C符合题意； 若，且，则，故选项D不符合题意； 故选：C． 33．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知，若添加一个条件使得与相似，则可添加一个条件： ．（只填写一个） 【答案】（或或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：（或或）（答案不唯一）． 34．（24-25九年级上·北京房山·期中）如图，是的边上的一点，连接，要使，还需要添加一个条件是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定进行添加条件即可． 【详解】解：由题意知， 添加，则， 故答案为：（答案不唯一）． 35．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 易错题型八、相似三角形的判定综合 36．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，通过计算得出两角对应相等即可证明． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 37．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 38．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点E，连接，使； (2)在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定： （1）作于E，一个公共角以及另一组对应角为，即可作答； （2）作出，的中点，即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点，点即为所求． 39．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定． （1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可． （2）根据三角形相似的判定解答即可． 【详解】（1）根据基本步骤作图如下： 则即为所求． （2）∵ 的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 40．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由是的中线可得，即，结合可得从而得证； （2）由（1）可得对应边成比例，从而求出，根据勾股定理即可求出，再由可得，代入数据即可求出． 【详解】（1）证明：是的中线， 即， ， ， ， ； （2）， ，即， 解得， 是的中线， ， ， ， ，即， 解得． 易错题型九、利用相似三角形的性质求解 41．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，且． (1)求证：； (2)若，且的周长为12，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比，是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，即可求证； （2）根据，得出，再根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为12， ∴的周长为32． 42．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是： （1）由得到，然后得到； （2）利用勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，代入已知数据可得结果． 【详解】（1）解：证明：于点，， ， ， ； （2）∵，，， ∴， ， ，即， ∴． 43．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，，D是边上一点，且．    (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； （1）根据两角对应相等的两个三角形相似可得结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例列出比例式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴（舍去负值）． 44．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，是的高，点分别在上，点在上，四边形是正方形，，．    (1)求证：与相似． (2)求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)正方形边长为 【分析】（1）由四边形是正方形，可得，即可证得； （2）设正方形的边长为，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，列方程并解此方程即可求得答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ； （2）解：设正方形边长为，如图：    ， ， ，，， ， 解得：， 正方形边长为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键． 45．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，与交于B，且．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据两组边对应成比例，且夹角相等即可证明； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：证明：，， ； （2）， ， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键． 易错题型十、利用相似求坐标 46．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 47．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【答案】 平行 【分析】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可． （2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图所示，延长至H，使得，连接 绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上 ，， ， 那么在和中 (SAS) ， 那么在和中 (SAS) 三点共线 （2）如图所示，过作于M，过作于N ， 设AB所在直线解析式为 带入， ，解得 设 在中， ，解得 故答案为：平行； 【点睛】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解． 48．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据直线恒经过点，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解． 【详解】解：∵直线，即恒过点， 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作轴交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， 即，， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴，即， ， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 49．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 50．（24-25九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 易错题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 51．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图，相似三角形的判定和性质． （1）找一格点F，构造两个包含点的的矩形方格，并使，在上找一格点O，使，延长与交于点E，由于，则，故点E就是符合条件的点． （2）观察直角三角形，其两条直角边之比为，于是找到适当格点，构造，连结，相交于点E，由相似三角形的性质可得，于是可证，再由可知点D与点E到的距离相等，因此点D关于的对称点是点E，故点E就是符合条件的点． 【详解】（1）如图，点E即为所求； （2）如图，点E即为所求； 52．（2025·江苏泰州·二模）如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 过点D作交于点G，证出得，再证得，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． 53．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中以为底边画一个等腰直角三角形； (2)在图②中画线段（点E、F不与点A、B重合），使与线段相交，且它们所夹锐角的度数为． (3)在图③中线段左侧作一点P，连结，使且的面积为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图﹣运用与设计作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握以上知识． （1）根据等腰直角三角形的定义，作出图形即可． （2）根据等腰直角三角形的定义作出图形是等腰直角三角形，再利用网格线的特点作和平行与相交即可； （3）同理（2）作出图形是等腰直角三角形，由勾股定理求出，利用相似三角形的性质即在线段上找到点P，使得，则，即可得到，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，线段即为所求： （3）解：如图所示，点为所求： 54．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， ，， ， ，， ； （2）解：如图， ， ， ， ， 点即为所求作的点． 55．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形，相似三角形的性质和判定， 对于（1），延长至D，使，延长至E，使，连接，则是所求作的三角形.由，可得； 对于（2），在图中取点P，使，连接，交于点Q，由，得，进而得出，所以． 【详解】（1）如图所示．    （2）如图所示．    易错题型十二、重心的有关性质 56．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，也考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质．先根据三角形重心的性质得，为的中点，为的中点，根据中位线性质得出，证明，得出，得出，设，则，，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵点G是的重心， ，为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ． 故答案为：． 57．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了重心的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的关键．根据重心和等腰三角形的性质可得：，，，由可得，结合得到，推出，即可求解． 【详解】解：在中，，点是重心， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ， 故选：B． 58．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图在中，是三角形的重心，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质及其应用问题，延长交于点H，证明，，即可解决问题． 【详解】解：延长交于点H， 则H是的中点， ∴， 又∵是三角形的重心， ∴， 故答案为：． 59．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，网格小正方形边长为1，的三个顶点均在网格的格点上，中线的交点为，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，由此即可解决问题，关键是掌握三角形重心的性质． 【详解】取中点M，连接， ∵点分别是的中点，与交于O， ∴点O是的重心， ∴C，O，M，共线， ∵， ∴， 故选：B． 60．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，点是重心，点在上且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心的定义、中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题关键，根据重心的定义得出、是中线，根据，可求出的面积，根据中线的性质可求出的面积，根据可得，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点是重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 易错题型十三、相似三角形的实际应用 61．（24-25九年级下·山东烟台·期末）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上．如图所示，在射击时，小明有轻微抖动，致使准星A偏离到，若米，米，米，满足．则小明射击到的点偏离目标点B的长度为（    ） A．1.49米 B．0.015米 C．0.149米 D．0.15米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得， 即小明射击到的点偏离目标点B的长度为0.15米， 故选：D． 62．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 63．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱中的高（点到点的距离）为米，踏板长（点到点的距离）为米，支撑点到踏脚的距离为米，原来捣头点着地，现在踏脚点着地，则捣头点上升了 米．（点下面部分的弯头长度忽略不计） 【答案】 【分析】设点E的着地点为F，根据题意，得，则，列出比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的生活应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点E的着地点为F，根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 64．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）西安地处陕西肥沃的关中平原中部，素有“八水绕长安”之美称．某数学兴趣小组测量灞河支流某段宽度的活动报告如下： 活动报告 活动目的 测避灞河支流某段的宽度（河中不易到达） 活动过程 步骤一 找准参照物，拟定测量方案，并画出测量方案示意图 如图，甲同学站在点O处，对面河岸边有两棵相距330米的大树M、N，乙、丙两位同学依次站在河岸边E、F两点处时，O、E、M三点共线，O、F、N三点也共线，河两岸互相平行，于点A．    步骤二 进行实地测量，记录测量数据，并计算出测量数据的平均值    步骤三 依据测量数据的平均值，计算灞河支流这段的宽度 请结合以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为________； (2)请完成步骤三：计算灞河支流这段的宽度． 【答案】(1)20 (2)灞河支流这段的宽度为200米 【分析】本题考查平均数，平行线的判断与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平均数的定义计算，即可解答； （2）延长交MN于点B，易得分别为的高．由，得到， 可证，求出，即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为：20． （2）延长交MN于点B，如图． 易得分别为的高． 河两岸互相平行， ， ，                   ，         ， 解得米， 米， 即灞河支流这段的宽度为200米． 65．（2025·陕西咸阳·一模）铜川重兴寺塔为六棱七层仿木建筑结构，密檐式实心砖塔，对研究中国古塔建筑历史艺术、佛教活动、当时的经济与社会发展水平具有重要的价值．数学兴趣小组的同学们开展了测量重兴寺塔高度的实践活动． 课题 测量重兴寺塔的高度 工具 皮尺、小平面镜等 示意图 说明 如图，在阳光下某一时刻，小辉站在B处，发现他的影子顶端与塔的影子顶端重合于点C；小刚在D处放置一平面镜，在直线上来回移动，在处刚好从点D处的平面镜中看到塔的顶端M的像，已知，，，点N、B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内 测量数据 米，米，米，米，米 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出该塔的高．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】16米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，相似三角形的性质和判定， 先证明，可得，再说明，得，然后将上式代入可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴，     ∴， 即， ∴． ∵，， ∴，     ∴， 即，     ∴， 解得， ∴该塔的高为16米． 压轴题型一、黄金分割综合应用 66．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设， ∵黄金三角形的底与腰之比为， 由题意得， 同理，， ∵， ∴与全等， ∴， ∴是黄金三角形， ∴， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即，， ∴， 故答案为：． 67．（2024·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，         设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 68．（2024·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 压轴题型二、相似三角形的判定综合 69．（24-25九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连结，使； (2)在图②中的边上确定一点，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点，边BC上确定一点，连结、、，使的周长最小． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点即可； （2）取格点，连接交于点即可； （3）取格点，连接交于点；取格点，连接；取格点，连接；取格点、，连接，，，交于点；连接，分别交、于点、，连接，即可． 【详解】（1）解：取格点，连接交于点，取格点、，连接、、、， ∵如图是的正方形网格， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则点即为所作； （2）取格点，连接交于点，取格点、，连接、、、， ∵如图是的正方形网格， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则点即为所作； （3）取格点，连接交于点；取格点，连接；取格点，连接；取格点、，连接，，，交于点；连接，分别交、于点、，连接，， 由（1）知：，由（2）知：， ∵如图是的正方形网格， ∴，分别为由四个小正方形拼成的正方形的对角线且点，正方形的中心， ∴， ∵， ∴， ∴点和点关于对称， ∴， 又∵垂直平分， ∴点和点关于对称， ∴， ∴， 此时的周长最小，最小值为的长， 则点点、即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理，垂直平分线的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 70．（23-24九年级上·河南·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】①根据正方形和等边三角形的性质可得，然后根据三角形内角和求得即可判断；②证明是等边三角形，得出，在中，根据含直角三角形的性质即可求解；③根据，即可求解；④根据两角相等两个三角形相似即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴，故①正确； ∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 在中，， ∴， ∴，故③错误； 综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 71．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形中，，，对角线，相交于点O，且，平分． (1)求证：； (2)如图2，过点D作，使，连接，取中点 F，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）在上截取，连接，通过证明是正三角形，以及，即可推得结论正确； （2）延长，交于点 G，先证明，然后证明是正三角形，进一步推理得到，得出，最后利用，，即可证得结论． 【详解】（1），， 是正三角形， ，， ，平分， ， 在 上截取，连接， 则是正三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）延长，交于点 G， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 是正三角形， ， 又， ，， ， ， ， ，， ． 压轴题型三、相似三角形的性质综合 72．（2025·四川宜宾·三模）如图，在等腰中，，，是的中线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题关键．由等腰三角形的性质和勾股定理可表示出的长，通过证明，可得 ，即可求解． 【详解】解：，是的中线， ，，， ， 设，则 ， 点满足， ，且， ，且， ， ， 故选：A． 73．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，在等腰中，，，于点D，点P是边上的一个动点，以为边向右作，连接，则 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等边对等角，求出的度数，三线合一，结合勾股定理求出的长，作射线，证明，得到，得到点的轨迹，过点作，得到当点与点重合时，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 作射线，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在射线上移动， ∴当点与点重合时，最小即为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 74．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，已知点，点，点是第一象限内的动点，且点的纵坐标为，若和相似，则符合条件的点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键． 分和两种情况分别利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵点P的纵坐标为， ∴点P在直线上， ①当时，， ∴，即，解得：，则点P的纵坐标为， ∴， ∴，即点P的横坐标和A的横坐标相同，即为1 ∴； ②∵当时， ∴，即：；， ∴，即即点P的横坐标和A的横坐标相同，即为1， ∵ ∴，整理得：，解得： ， ∴点P的纵坐标为 ∴或， 综上所述，符合条件的点P的坐标为或或． 故答案为：或． 压轴题型四、相似三角形的动点问题 75．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当点与点重合时，的值为________； (2)用含的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值； (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 76．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 77．（24-25九年级上·四川眉山·期末）阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；3 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，结合图形找到相似三角形是解题的关键． （1）通过证明和是等腰直角三角形，即可解答； （2）先证明，利用相似三角形的面积比是相似比的平方，可得，再证明，得到，代入数据求出的长，即可求出t的值； （3）由（2）得，可得，，根据以P、O、E为顶点的三角形与相似，且，需要分4种情况①点P在线段上，且；②点P在线段上，且；③点P在延长线上，且；④点P在延长线上，且；分别利用相似三角形对应边成比例列出方程，求出t的值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：；3． （2）解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：， ， 运动时间t的值为． （3）解：存在， 由题意得，， 由（2）得，， ，即， ， ， 以P、O、E为顶点的三角形与相似，且， 下面分4种情况讨论： ①当点P在线段上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； ②当点P在线段上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ③当点P在延长线上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ④当点P在延长线上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； 综上所述，点P的坐标为或． 压轴题型五、重心的综合应用 78．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． (1)①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； (2)在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 【答案】(1)；10 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键． （1）①结合“妙点”的定义以及等边三角形的性质，得出点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故，运用勾股定理算出，再代入进行计算，即可作答． ②充分理解“妙点”的定义，且结合等边三角形的性质，进行作图，分类讨论，即可作答． （2）按照题干要求，逐个情况作图，结合“妙点”的定义，运用数形结合思想进行全面分析，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意， ∵点是边长为4的等边内部一个“妙点”， ∴点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故， 结合三线合一，得， ∴， 则， 故答案为：． ②当点P在三角形内部时，点P是边的垂直平分线的交点，是三角形的外心， 当点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图： 共有9个点符合要求， 则 ∴具有这种性质的点P共有10个． （2）解：依题意，第一种如图1（点在的右边）或图2（点在的左边）， ∵在中，是的一个“妙点”， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴， 第二种如图3， ∵是的一个“妙点”， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 则 同理得 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 则 ∴； 第三种如图4， 与第二种同理，得 ∴； 第四种如图5，． ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 综上：满足题意的的度数分别为． 【点睛】本题考查了新定义，三角形内角和性质，重心的应用，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 79．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题呈现： 如图，是等边的中心，经过点的直线分别交边于点．设，探究的值． 问题探究： （1）如图（2），先将问题特殊化，若，求的值； （2）如图（1），在一般情形下，试判断（1）中的结果是否仍然成立？请证明你的判断； 问题拓展： （3）若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接，并延长交于点，由是的中心，可得，再由可得，再求解即可； （2）过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接．先证明，可得．再由是的中位线，可得，再证得，再求解即可； （3）过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接．设，先证得，可得，再证得是等腰直角三角形，可得，从而得出，再求解即可． 【详解】（1）解：连接，并延长交于点． 是的中心， ， ， ； （2）一般情形下，（1）中结论仍然成立． 证明：过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接． ， ． 是的中点， ． 是的中位线， ． 是的中心，， ， ， ． 即； （3）解：过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接． 设， 是的中心， ，，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（2）得， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，行线分线段成比例性质及三角形中位线的性质是解决本题的关键． 80．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： (1)若是的一条中线（如图1），是上一点，且满足，试判断______的重心（填“是”或者“不是”）； (2)若是的重心（如图2），连接并延长交于．证明：； (3)若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（如图3）令，，设，请求出与的关系式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． （1）如图2，作的中线，与交于点Q，则点Q为的重心．可证，而已知，故点O与点Q重合，即点O为的重心； （2）如图1，作出中位线，证明，可以证明结论； （3）过点O作交于点F，过点G作交于点E，则，由平行线分线段成比例可求；；可得，即可求解． 【详解】（1）解：点O是的重心， 理由如下：如图1，作的中线，与交于点Q，则点Q为的重心． ∵是中线，是中线， ∴点E是的中点．点D是的中点， ∴是中位线， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点Q与点O重合（是同一个点）， ∴点O是的重心， 故答案为：是； （2）证明：如图2，连接并延长，交于点E． ∵点O是的重心， ∴是中线，点E是的中点． ∴是中位线， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，过点O作交于点F，过点G作交于点E，则， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x的关系式为：． 压轴题型六、相似三角形的实际应用综合 81．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二： 如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 82．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高； (2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高． 【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米， 故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长， 线段为乙树落在地面上的影长， 与图1中的相似， 又， 故乙树的高为4.2米； 故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长， 线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长， 则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米， 又与图1中的相似， 又 故丙树的高为5.56米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 83．（2025·广东广州·二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】(1)12 (2)10米 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出，得到，然后代数求解即可； （2）证明出，得到，推出，然后表示出，同理证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 压轴题型七、相似三角形的模型问题 84．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得到，然后结合求解即可； （2）证明出，得到，求出，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F，得到四边形是正方形，设，由得到，得到，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 又， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， ，， ． 又， ， ． ， ． ，， ， ． ， ． （3）解：如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F． ，， 四边形是正方形． 设， ． ， ． 由（2）知，， ， ． 在中，． ， 由（2）知，． 又， ， ， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 85．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）证明四边形是菱形，由菱形的性质得出； （2）①设，则，得出，解得，则可得出答案； ②设与交于点M，与交于点N，由题意得，，得出．证明，得，设，则，得出，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 四边形是菱形， ． （2）解：①由折叠可得：，， 四边形是菱形， ， ， ， ． ， ． ，，． 设，则， ， 解得， ． ②设与交于点M，与交于点N， 由题意得，， ， ， ， ， ， 点N是的黄金分割点， ． ， ， ． 设，则， ． ， ， ． 86．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形中，点是边的中点，连接，点N是边上一点． (1)如图1，若， ①在图1中，尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (2)如图2，连接．若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）①以为圆心，取与能有交点的长为半径，画弧，交于两点，以这两点为圆心，大于这两点间的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接与该点的直线，交于点，即可； ②等积法结合菱形的性质，即可得证； （2）延长交的延长线于．证明，推出，证明，列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②∵菱形， ∴， ， ∴， ∵， ； （2）如图2，延长交的延长线于． 四边形是菱形， ， ． 是边的中点， ， ． ． ， ，， ． ． ， ． ， ． ． ， ． 压轴题型八、相似三角形的综合大题 87．（2025·广东深圳·二模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形? 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．     【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或． 【分析】（1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示的长，即可解答； （3）设设与交于点O，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，由折叠得：，， ∵，四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是类矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图3，设，，则， 由折叠得：，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是类矩形； （3）解：设与交于点O， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上， ∴， 同理得：，， ∵四边形是类矩形， ∴或， ①如图4，当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图5，当时，， 由①同理得：， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和判定，新定义类矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． 88．（24-25八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一点，连接，为内一点，且，点关于直线的对称点为点，与交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了对称的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意，按要求作图即可； （2）先根据点关于直线的对称点为点，得，，，进而则可推出，再根据菱形的性质得，证明即可得出结论； （3）由得到，进而得到，， ，，即可得到，进而证明，得到，求出． 【详解】（1）解：补全图形如下： （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图， ∵四边形是菱形， ∴，与互相垂直平分，平分， ∵， ∴，， ∴，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 89．（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则，延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，    取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，    在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； （3）如图3，    ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． $$