专题08 与线段有关的动点问题（压轴题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题08 与线段有关的动点问题 目录 1 类型一、线段上动点求线段长问题 1 类型二、线段上动点求速度问题 6 类型三、线段上动点求时间问题 8 类型四、用总体和转化思想解线段动点问题 14 类型四、线段上动点的新定义型问题 17 24 类型一、线段上动点求线段长问题 口诀：定起点、设路程、列方程。 1. 画线段AB，标总长L；动点P从A出发，速度v，设t秒后路程vt。 2. 若求AP=x，则x=vt；若求BP，则BP=L−vt。 3. 遇“两段相等”“倍分”条件，直接列vt=L−vt或vt=k(L−vt)，解t再代回得长。 4. 检验t≤L/v，答案唯一。 例1．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 变式1-1．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长． 【详解】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键． 变式1-2．如图，B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动的时间为． (1)当时，求线段的长； (2)当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差计算，解题关键是数形结合，熟练掌握中点的定义． （1）根据点B运动的速度进行计算即可； （2）先求出，然后根据中点定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次， ∴当时，线段的长为：； （2）解：当时，点B运动的路程为：， ∵， ∴此时， ∴， ∵C是线段的中点， ∴． 变式1-3 已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 类型二、线段上动点求速度问题 口诀：定两点、设未知、抓等量。 1. 画线段AB，总长L，动点P从A出发，设速度v。 2. 用时间t把路程表示为vt；若题给“到达B用时T”“与Q点相遇”等条件，直接列vt=L或vt±vQt=L。 3. 解出v=L/t或v=(L±vQt)/t，化简即可。 4. 单位统一（cm/s 或 m/min），代入数据一步得速度。 例2．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 变式2-1．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 变式2-2．如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点的计算，与线段有关的动点问题，解题的关键在于理解题意列出方程．设点Q的运动速度是 ，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设点Q的运动速度是 ， 因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差， 所以， 整理得， 解得， 故答案为：． 类型三、线段上动点求时间问题 口诀：画线段，标总长，设时间。 1. 画AB长L，动点P速度v，求时间t。 2. 若到B：vt=L；若与反向Q相遇：vt＋vQt=L；若P先走t0再追Q：(v−vQ)t=L−vt0。 3. 解t=L/v 或 t=L/(v±vQ)。 4. 单位统一，秒或分，检验t≥0即可。 例3．在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 【答案】(1)；；； (2)2 (3)或 【分析】（1）根据三角形的边长，点的运动速度解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动；点在线段上运动，点在线段上运动三种情况列出方程，解方程即可． 【详解】（1）①当点在上时，； ②当点在上时，； ③当点在上时，； ④当点在上时，； （2）解：由题意得，， 解得 （3）解：∵ ∴当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得； 当点在线段上运动，点在线段上运动时， ，解得（不合题意）； 综上：或时． 【点睛】此题主要考查了三角形的有关知识，解题关键是掌握点在三角形的各边上的运动情况． 变式3-1．如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． (1)当点追上点时，求的值． (2)若点相距，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、两点间的距离、与线段有关的动点问题 【分析】（1）由题意列出方程并求解即可； （2）分两种情况：①    当点M未追上点N时；②    当点M追上点N后，分别列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：， ∴当点追上点时， 的值为； （2）当点未追上点时，，得； 当点追上点后，，得； 综上，当或时，点M与N相距． 【点睛】本题考查线段上动点问题，一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型． 变式3-2 如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 变式3-3如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，点P与点Q之间的距离． 【答案】(1)； (2)①或；②或或或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点相关的计算，列一元一次方程解几何动点问题，恰当分类并建立方程是解题的关键． （1）利用，结合已知条件计算线段的长度，根据中点的定义计算线段的长度，再利用计算线段的长； （2）①点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时，分别列方程求解即可； ②分四种情况：动点相遇前，动点第一次相遇后反向运动，动点第一次相遇后同向运动，动点第二次相遇后同向运动，分别根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴． （2）解：①由题意可知，，点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时， 当点向左运动时，．解得． 当点向右运动时，．解得． 答：当或时，点与点重合． ②当动点没有相遇时，两点相距4时，有，解得； 当动点第一次相遇后，向右运动，向左运动，两点相距4时，有，解得； 当动点第一次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得； 当动点第二次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得． 综上所述，满足条件的有：或或或． 类型四、用总体和转化思想解线段动点问题 口诀：先总后分，化动为静。 把整条线段看作“1”，设总长L=1，动点P速度v，时间t后位置为vt。 若求相遇、倍分，把两动点位置都转成“1”内的数，列方程vt±vQt=L，解t再乘L得实际长。 复杂比例整体设k，化简后代回，一步得解。 例4 如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 变式4-1 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、、， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 变式4-2 如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 变式4-3 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个． 【答案】5 【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出报警， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA， ∵BC和AD中点是同一个， ∴发出警报的点P最多有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 类型五、线段上动点的新定义型问题 读新定义→抓“起点、方向、速度”三关键；把定义翻译成路程=速度×时间；画数轴标0、L两点，设t秒后位置x=起点±v·t；按新规则列方程，解t再代回检验范围0≤x≤L。 例5 如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)是 (2)①或或 ②或或 【分析】（1）若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，由此即可得出答案； （2）①由及绝对值非负性可得，，解方程即可求出、的值，若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解，即可求出点表示的数；②当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义， 一条线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）解：①， ，， 解得：，， 若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论： ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； 综上，点表示的数是或或， 答：点表示的数是或或； ②如图， 当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论： ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； 综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值非负性，有理数四则混合运算的实际应用，线段中点的定义等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 变式5-1 定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)或3或9 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程、与线段有关的动点问题 【分析】（1）根据美好点的定义即可求解； （2）根据美好点的定义，分三种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：根据题意得∶， 此时，故点E不是美好点； ， 此时，故点F不是美好点； ， 此时，故点G是美好点； 故答案是：G． 设点H所表示的数是x，则， ∵点H为美好点， ∴， ∴， 解得：或； 故答案是：或． （2）解：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间，如图1， ∵，， ∴， ∴秒； 第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间，如图2， ∵，， ∴， ∴秒； 第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，如图3， ∵，， ∴， ∴秒； 综上所述，t的值为：或3或9． 【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 变式5-2 我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”．已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，． (1)若点是点关于原点的“星点”，则 ；若点是点关于点的“星点”，则 ． (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点．是否存在某一时刻，使得点是点关于点2的“−2星点”？若存在，求出线段的运动时间；若不存在，请说明理由； (3)点是数轴上的动点，点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)，，0，2 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查新定义下的解一元一次方程和线段中点计算， 根据给定的定义列出方程求解即可； 设线段的运动时间为t秒，表示出点A、点B和点X的坐标，根据题意列出方程求解即可； 根据题意列出关于m的方程，化简为，结合m为整数，求得k值即可． 【详解】（1）解：∵点是点关于原点的“星点”， ∴， ∵， ∴，解得； ∵若点是点关于点的“星点”， ∴，解得， 故答案为：，； （2）设线段的运动时间为t秒，则点A的坐标为，点B得坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点X的坐标为， ∵点是点关于点2的“−2星点”， ∴，解得， ∴线段的运动8秒时，使得点是点关于点2的“−2星点”； （3）∵点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”， ∴，整理得， ∵点表示为整数， ∴当m为、、1和3时，、2、和， 则的值为，，0，2． 变式5-3 【定义】： 若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】： 如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】： (1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 【答案】(1)， (2)①和，见解析，②2或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】本题查了新定义下线段和差倍数关系和一元一次方程的应用， 根据新定义即可求得；结合，可得，即可求得； ①根据题意可得和，结合新定义即可求得和，即有结论成立；②分两种情况点Q到达点A前，且点P未到达点B；点P到达点B前，且点Q从点A未到达点B前用，分别求得和，进一步列出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）①∵点P，Q的运动速度均为， ∴，， ∵， ∴，， ； ②∵点P到达点B时，P，Q都停止运动， ∴点Q到达点A前，且点P未到达点B用时；点P到达点B时，且点Q从点A未到达点B前用时，用时， 当时，，， 则， 解得； 当时，，， 则， 解得； 综上所述，或时，． 一、单选题 1．如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，用特殊值法设点A为，C为，根据题意求出，设D为x，则为，为，表示出，从而得出结论． 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，， 为，， 设D为x，则为，为， ， , 故选：C． 2．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 二、解答题 3．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； (3)线段的长度不会发生改变，的长度为6； 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，线段的中点以及和差计算，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平方和绝对值的非负性，求出、的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可； （2）设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，再根据数轴上两点的距离公式列方程求解即可； （3）由线段中点可知，，分两种情况讨论：当点P在A、B两点之间运动时；当点P在点A左侧运动时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：设经过t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵点B在点A的右侧， ∴， 解得：， ∴经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10； （3）解：∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴，， 当点P在A、B两点之间运动时，， 即； 当点P在点A左侧运动时，， 即； ∴综上所述，线段的长度不会发生改变，其值为6． 4．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 5．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 6．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 7．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 8．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1) ； ； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 9．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 10．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 11．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到 ，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 12．点、是线段上的两点，若，，， (1)如图，求图中所有小于线段的线段的长度和． (2)若点在射线上，点在直线上，点、分别为线段、的中点，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查线段的和差．（1）中注意是所有小于线段的线段的长度和，不要漏掉某条线段；（2）中能结合题意分类讨论，画出图形是解题关键． （1）先写出所有小于线段的线段，再利用线段的和差分别求得各自的长度，再求和即可； （2）根据题意，分种情况画出图形，利用线段的和差即可求得线段的长度． 【详解】（1）解：（1）所有小于线段的线段有、、、、， ∵，，， ∴，， 故所有长度小于的线段的长度和等于． （2）当点在点左侧时， ①当点在的延长线上时，，，的长度不可能等于3，此种情况不成立； ②如图，当点在线段上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∵， ∴； ③如图，当点在线段的延长线上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∵， ∴； 当点在点右侧时， ①当点在的延长线上时，，，的长度不可能等于3，此种情况不成立； ②如图，当点在线段上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∴， ③如图，当点在线段的延长线上时， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ 综上所述，或或或． 13．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，． （1）直接写出点B表示的数_________； （2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C； （3）已知点P在数轴上 ①若，直接写出点P所表示的数； ②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数． 【答案】（1）1；（2）图见解析，点C表示的数为-0.5；（3）①、；②21 【分析】（1）按照点B的位置和AB两点之间的距离，得出B的表示的数， （2）点C在AB之间， AC=3BC ，得出点C表示的数，在数轴上描出点C即可， （3）①设点P表示的数为a，分三种情况讨论，当a＜-5时，当-5＜a＜1时，当a≥1时，结合两点之间的距离，分别求出a的值即可，②这小题比较繁琐，抽象，属难题，先求出AB的中点表示的数P，点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，7次P恰好到达点B的位置，可得7次移动中有2次向左，5次向右，可以求解． 【详解】（1）点B在点A的右侧，AB=6 ， 所以点B表示的数-5+6=1 即点B表示的数为：1． （2）点C在AB之间，， ∴， ∴， ∴点C表示的数为-0.5 在数轴上正确描出点C， （3）①设点P表示的数为a ∵PA+3PB=｜a-(-5)｜+3｜a-1｜=｜a+5｜+3｜a-1｜=12 当a＜-5时，即（-a-5)+3(1-a)=12，解得a=-3.5，不在范围内， 当-5＜a＜1时，即a+5+3(1-a)=12，解得a=-2， 当a≥1时，即(a+5)+3(a-1)=12，解得：a=2.5， ∴点P表示的数为、 ②21种 ∵AB的中点表示的数为，， ∴点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位， 共移动了7次， 7次P恰好到达点B的位置 这7个单位，正负相消后，的1-(-2)=3且共移动了7个单位， 又∵3=5+(-2)=(-2)+5 由题意可得： 7次移动中有2次向左，5次向右. 设第1次和第2次向左其它都向右记为，则移动方法有，，，，，，，…，共21种移动方法. 【点睛】本题考查了，线段的中点的定义，以及两点之间的距离，解题的关键是画出图形，利用中点的定义和两点之间的距离，确定点的坐标． 14．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 【答案】（1）6；（2）6；（3）或2 【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出． 【详解】解：如图 (1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点， ∴DC=2，BC=EC=4 ∴DE=DC+CE=6 (2)∵AB= 12， BC= m ∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点 ∴DC=6-m，BC=EC= ∴DE=DC+CE=6 (3)由题意得，如图所示， 或 AP=3t，BQ= 6t ∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12 ∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12 解得t=或t= 2 故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6. 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 与线段有关的动点问题 目录 1 类型一、线段上动点求线段长问题 1 类型二、线段上动点求速度问题 6 类型三、线段上动点求时间问题 8 类型四、用总体和转化思想解线段动点问题 14 类型四、线段上动点的新定义型问题 17 24 类型一、线段上动点求线段长问题 口诀：定起点、设路程、列方程。 1. 画线段AB，标总长L；动点P从A出发，速度v，设t秒后路程vt。 2. 若求AP=x，则x=vt；若求BP，则BP=L−vt。 3. 遇“两段相等”“倍分”条件，直接列vt=L−vt或vt=k(L−vt)，解t再代回得长。 4. 检验t≤L/v，答案唯一。 例1．如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 变式1-1．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 变式1-2．如图，B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动的时间为． (1)当时，求线段的长； (2)当时，求线段的长． 变式1-3 已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 类型二、线段上动点求速度问题 口诀：定两点、设未知、抓等量。 1. 画线段AB，总长L，动点P从A出发，设速度v。 2. 用时间t把路程表示为vt；若题给“到达B用时T”“与Q点相遇”等条件，直接列vt=L或vt±vQt=L。 3. 解出v=L/t或v=(L±vQt)/t，化简即可。 4. 单位统一（cm/s 或 m/min），代入数据一步得速度。 例2．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 变式2-1．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 变式2-2．如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 类型三、线段上动点求时间问题 口诀：画线段，标总长，设时间。 1. 画AB长L，动点P速度v，求时间t。 2. 若到B：vt=L；若与反向Q相遇：vt＋vQt=L；若P先走t0再追Q：(v−vQ)t=L−vt0。 3. 解t=L/v 或 t=L/(v±vQ)。 4. 单位统一，秒或分，检验t≥0即可。 例3．在直角三角形中，，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．如果点同时出发，用表示移动时间，那么： (1)如图1，请用含t的代数式表示（不用带单位）： ①当点在上时，______； ②当点在上时，______； ③当点在上时，______； ④当点在上时，______； (2)如图2，若点在线段上运动，点在线段上运动，当时，试求出的值； (3)点到达点时，，两点都停止运动．请直接写出当时的值． 变式3-1．如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． (1)当点追上点时，求的值． (2)若点相距，则的值为多少？ 变式3-2 如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 变式3-3如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，点P与点Q之间的距离． 类型四、用总体和转化思想解线段动点问题 口诀：先总后分，化动为静。 把整条线段看作“1”，设总长L=1，动点P速度v，时间t后位置为vt。 若求相遇、倍分，把两动点位置都转成“1”内的数，列方程vt±vQt=L，解t再乘L得实际长。 复杂比例整体设k，化简后代回，一步得解。 例4 如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-1 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-2 如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 变式4-3 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有 个． 类型五、线段上动点的新定义型问题 读新定义→抓“起点、方向、速度”三关键；把定义翻译成路程=速度×时间；画数轴标0、L两点，设t秒后位置x=起点±v·t；按新规则列方程，解t再代回检验范围0≤x≤L。 例5 如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 变式5-1 定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 变式5-2 我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”．已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，． (1)若点是点关于原点的“星点”，则 ；若点是点关于点的“星点”，则 ． (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点．是否存在某一时刻，使得点是点关于点2的“−2星点”？若存在，求出线段的运动时间；若不存在，请说明理由； (3)点是数轴上的动点，点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”，请直接写出的值． 变式5-3 【定义】： 若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】： 如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】： (1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 一、单选题 1．如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 二、解答题 3．在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足. (1)求线段的长； (2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？ (3)点P为射线上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的的中点，N为线段的的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否会发生改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由． 4．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 5．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 6．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 7．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 8．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 9．已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 10．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 11．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 12．点、是线段上的两点，若，，， (1)如图，求图中所有小于线段的线段的长度和． (2)若点在射线上，点在直线上，点、分别为线段、的中点，求线段的长度． 13．如图，在数轴上点A所表示的数是，点B在点A的右侧，． （1）直接写出点B表示的数_________； （2）点C在AB之间，，求点C表示的数，并在数轴上描出点C； （3）已知点P在数轴上 ①若，直接写出点P所表示的数； ②点P从线段AB的中点处出发，每次向左或向右移动一个单位，共移动了7次，恰好到达点B的位置，请直接写出所有不同移动方法的种数． 14．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$