专题06 全等三角形中动点与新定义型的四种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题06 全等三角形中动点与新定义型的四种考法 目录 1 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 1 类型二、全等三角形动点中的最值问题 7 类型三、全等三角形中的动点综合问题 12 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 21 31 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 技巧口诀：双等定形，动点设时；找全等，列方程；多解勿漏，分类画图。 定形：先固定一对全等三角形，锁定不变角边。 设时：动点路径用时间t表示，标出所有可能对应边。 找全等：按SAS/ASA/AAS找第二组全等，用对应边相等列方程。 多解：动点可能在折线两侧，需分类画图验证，避免漏解。 例：动点P从A出发，速度2单位/秒，求使△APQ≌△BQR的t值。分P在AB、BC两段列方程，得t=1或3。 例1．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；点在上、点在上，点未到达终点A时，或点到达终点A时，继续运动；三种情况，根据列方程计算即可，舍去不合题意情况 【详解】∵，， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时，， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时，， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时，． 当点未到达终点A时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点A时，继续运动，如图③． 此时点与点A重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故选：D． 变式1-1．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别点在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选D． 变式1-2．如图，，，，点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为t(s)，则当点Q的运动速度为 时，与全等． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，分两种情况：当时，当，时，分别求解即可得解． 【详解】解：设点的运动速度是，则有， ∴与全等有两种情况： 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度是； 当时，， 解得：，即点的运动速度是； 综上所述，点的运动速度为1或，与全等， 故答案为：1或． 变式1-3如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点运动 秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等． 【答案】或或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想是解题的关键． 分四种情况讨论：①当在线段上，时；②当在上，时；③当在线段上，时；④当在上，时；分别画出图形解答即可． 【详解】解：分四种情况讨论： ①当在线段上，时， 则， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ②当在上，时， 则， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ③当在线段上，时， 则， 这时在点未动，因此运动时间为秒； ④当在上，时， 则， ， ∴点的运动时间为（秒； 综上，当点运动或或或秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等， 故答案为：或或或． 类型二、全等三角形动点中的最值问题 动点最值口诀：定全等、对称转、找最短。 先画静全等，标出相等边和角。 动点在哪条线，就把哪条线当镜子，做对称点。 连接对称点到目标点，直线交动线处即最值点。 例：△APQ≌△BPQ，Q在直线上动，求AP+PQ最小：把A做对称得A′，连A′B交直线于Q，量出AQ长度即答案。 例2．如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过点C作于点E，交于点M，过点M作于N，则当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长．再根据三角形的面积公式求出的长，即可． 【详解】解：过点C作于点E，交于点M，过点M作于N， ∵平分，，， ∴， ∴， 即当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长． ∵的面积为12，最长边， ∴，即， ∴ 即的最小值为3． 故答案为：3． 变式2-1．如图，等腰，，，是动点，，分别在线段上．当周长最小时，则四边形面积最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称变换，等腰直角三角形判定及性质，三角形面积公式．作点关于、的对称点、，连接交于，交于，连接、、．由，推出点位置确定时，此时的周长最小，最小值为线段的长，由，，，推出，由，推出是等腰直角三角形，由的最小值为可得线段的最小值为8，以为圆心，为半径作，交于点．由，，推出，由此可知的面积最小时，四边形的面积最大． 【详解】解：如图中，作点关于、的对称点、，连接交于，交于，连接、、． ， 点位置确定时，此时的周长最小，最小值为线段的长， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， 线段的最小值， 的周长的最小值为． 以为圆心，为半径作，交于点．由题意点在上， ，， ， ， ， 的面积最小时，四边形的面积最大， 当时，最短，所以的面积最小，此时，， ， ， 四边形的面积的最大值． 故答案为：． 变式2-2．如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】过P点作PM⊥BC于点M，将△ACB沿AB向上翻折得到△ADB，过P点作PN⊥BD于点N，先证得PM=，即有PC+=PC+PM，根据翻折的性质可知PN=PM，即PC+=PC+PM=PC+PN，当P、N、C三点共线时根据垂线段最短的原理即可求解． 【详解】过P点作PM⊥BC于点M，将△ACB沿AB向上翻折得到△ADB，且△ACB≌△ADB，过P点作PN⊥BD于点N，如图， ∵在Rt△ACB中，AC=2，AB=4， ∴∠ABC=30°， ∴BC==， ∵PM⊥BC， ∴在Rt△PMB中，有PM=， ∴PC+=PC+PM， ∵△ACB≌△ADB， ∴∠ABD=∠ABC=30°， ∵PN⊥BD，PB=PB， ∴∠PMB=∠PNB=90°， ∴Rt△PNB≌Rt△PMB， ∴PN=PM， ∴PC+=PC+PM=PC+PN， ∵要求PN+PC的最小值， ∴可知当P、N、C三点共线，根据垂线段最短可知，当CN⊥BD时，CN最小， 如图， ∵CN⊥BD，∠CBD=∠ABC+∠ABD=60°，BC=， ∴在Rt△ABN中，CN==3， 则PC+=PC+PM=PC+PN的最小值是3， 即PC+最小为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了翻折的性质、接含特殊角的直角三角形、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的知识，构造出PC+=PC+PM=PC+PN是解答本题的关键． 变式2-3．如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，过P作于H，利用角平分线的性质定理得到即可，根据垂线段最短得到时最小，进而可求解． 【详解】解：过P作于H，    ∵点P是的平分线上一点，于点B，，， ∴， ∵当时，的值最小，最小值为的长， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 类型三、全等三角形中的动点综合问题 动点全等综合三步法： 画静图：先画出已知全等三角形，标清相等边、角。 设动点：用“设时间为 t，路程=速度×t”表示动点位置，始终保持在同一直线或折线上。 找等边：利用“边角边”“角边角”找第二组全等，列出等长等式，解出 t 或长度；若动点可在不同位置，分别画草图验证，不漏解。 例3．如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、． (1)试说明 的理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)； (3)当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ． 【答案】(1)理由见解析 (2)不改变， (3) 【分析】（1）先证明，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等； （2）先证明，得到，，再计算出的值，再证明，最后根据三角形外角定理即可求得的大小； （3）证明是的角平分线，根据角平分线定理得到，，再根据，，即可得到和，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质得到，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如下图所示，连接， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴大小不改变，且； （3）解：如下图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质、三角形外角定理、直角三角形的性质和角平分线定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定条件． 变式3-1．已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，大； (2),理由见详解 (3)存在，或时 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，根据三角形内角和定理可以求出当时，，当时，可以求出，在中，根据三角形的内角和定理可以求出，点从到运动时，的度数逐渐减小，根据三角形内角和定理可知逐渐变大； 根据全等三角形对应边相等，可知当时，； 如果是等腰三角形，需要分三种情况讨论，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理判断是否成立即可． 【详解】（1）解：在等腰纸片中，，， ， 在中，，， ； ，， ， 在中，，， ， 当点在点位置时，， 当点在点位置时，， 点从到运动时，的度数逐渐变小，， 在中，， 随着的逐渐减小而逐渐增大； 故答案为：，，，大； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ； （3）解：当或时，是等腰三角形． 当时，， ， 又， 则， 故不成立； 当时，， ， ， ， 在中，， 此时，， 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 当时，， ， 在中，， 此时，； 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 综上所述，在点的滑动过程中，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的性质找到角之间的关系． 变式3-2综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． (1)______cm（用含t的代数式表示）； (2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题、全等三角形的性质、用代数式表示式： （1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）根据运动的速度以及时间得到线段长度，即可求得结果； （3）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果； 数形结合，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴cm， ∵， ∴t最大取到s， ∴cm，其中， 故答案为：； （2）解：点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时， 此时cm，cm， 则cm， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，； （3）解：由（2）可得，当时，此时， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 变式3-3如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 新定义全等问题口诀：先拆定义，再套全等。 读题圈出新名词，按原文逐句翻译成“边相等、角相等”。 用彩笔在图中标出这些等边等角，立刻看出可拼成的SAS、ASA。 按全等写出对应边等式，解出未知量；若出现“旋转后重合”，把图形描在透明纸上旋转验证，避免漏情况。 例4．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 变式4-1【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 变式4-2定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 变式4-3新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3;（2）;（3）①180；②，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，当为的中点时，满足条件，从而可得答案； （2）由与为偏等积三角形，证明，再证明，可得，，再利用三角形三边的关系求解，结合为正整数，求解，从而可得答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接 当时，，   与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为． （2）与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：   ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 一、单选题 1．如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．点，以相同的速度向点，方向运动，得到；根据等边三角形的性质，证明；根据等边三角形的判定方法证明的形状可能是等边三角形，利用外角的性质，求出的度数，进行判断即可． 【详解】解：点，以相同的速度向点，方向运动， ；故选项A正确； 为等边三角形， ，， 又， ；故选项B正确； 当，为，的中点时，， ， 是等边三角形；故选项C正确； ， ， ， 是个定值；故选项D错误； 故选：D． 2．如图，点C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下四个结论，①；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，仔细分析图形是解题的关键． 根据等边三角形的三边都相等，三个角都是，可以证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，所以①正确，对应角相等可得，然后证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，所以②正确；有全等三角形的性质及三角形外角的性质可得出③正确；从而得到是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可以找出相等的角，从而证明，所以④正确， 【详解】和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中 ， ，故①正确； （已证）， ， （已证），， ， ， 在和中 ， ，故②正确； ， ， ， ， 且， ， ， ， ，故③正确； ， 是等边三角形， ， ， 故④正确； 综上所述正确的有4个； 故选：A． 二、填空题 3．如图，在中，平分分别为边上的动点，，则的最小值是 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，过点A作于点，在上取一点，使，即可根据平分得到，得到，则当三点共线且垂直时最小，即为的最小值，根据求解即可． 【详解】过点A作于点，在上取一点，使，    ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且垂直时最小，即为的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值是． 4．如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以个单位/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 【答案】，， 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；此题要分两种情况：①当在线段上时，②当E在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， 点的运动时间为（秒）， 故答案为：，，． 5．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 【答案】 或或 【分析】①根据题意可得，再由即可求解； ②分三种情况：在上，点在上；点与点重合；点与重合，分别画出图形解答即可； 本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 当点在上时，， 故答案为：； ②由题意得，， 如图，在上，点在上时，作，，则，， ∵， ∴， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； ②如图，当点与点重合时，则，， 此时只能是，则， ∴， 解得； ③如图，当点与重合时，则，，， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； 综上所述，当秒或秒或秒时，与全等， 故答案为：或或． 6．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    【答案】1秒，或3.5秒，或12秒 【分析】根据于E，于F，得到与都是直角三角形，当与全等时，得到，分三种情况讨论求解即可，当P在上，Q在上时，根据，，得到，解得；当P、Q在上重合时，根据，，得到，解得：当Q到达A点后，点P运动到上时，根据，得到．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键． 【详解】∵于E，于F， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当与全等时，， 当P在上，Q在上时， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得； 当P、Q在上重合时，，， ∴， 解得： 当Q到达A点后，点P运动到上时，， ∴． 综上，当与全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒． 故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒． 三、解答题 7．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 8．（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    【答案】（1）①4②8（2）①5或8②2或 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①由平行线的性质，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；②根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出等量关系，列方程求解即可； （2）①分三种情况讨论，即可求解，②分两种情况进行讨论，列出关系式，即可求解， 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 【详解】解：（1）①是等边三角形，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：， 解得：， ∴当的值为4时，； ②当点在边上时，    此时不可能为等边三角形； 当点Q在边上时，    若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：，解得：， ∴当时，为等边三角形； （2）①当时，   ， 为等腰三角形， 当时，，    ∴， ∴， ∴，，为等腰三角形， 当时，   上不存在点P使为等腰三角形， ∴当或8时，为等腰三角形， ②    由题意可知：，， ∴， 若， 则 ∴，， 解得：， 若， 则， ，， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为2或． 9．定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】(1) (2)见解析 (3)修建小路的总造价为元． 【知识点】根据三角形中线求面积、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）过点作，交的延长线为，先证明，则，，依据三角形的面积公式可知，然后再依据偏等积三角形的定义即可得出结论； （3）过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为，由题意可得，由可证得，则米，根据的面积为1500平方米，可得米，即可求解． 【详解】（1）解：如图1中， 当时，， 与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为：； （2）证明：如图2中，过点作，交的延长线为， 和均为等腰直角三角形， ，，，． ． 在和中， ， ． ，， ，， ， 与为偏等积三角形； （3）解：如图3中，过点作，交的延长线为，过点作，交的延长线为， ， ，四边形为矩形， ，， ， 由（2）知，， ， ， 米， 的面积为1500平方米， ， 米， （米）， 修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题考查了新定义，等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 10．阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知是的三条内角平分线． 求证：相交于一点． 证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D，E，F． 点是的平分线上的一点， ， 同理，， ． 是的平分线， 点在上． 相交于一点． 请解答以下问题： (1)如图3，在中，为的内心，延长到点，使得，连接，与交于点，求的角度． (2)如图4，为的内心，连接，M为边上一点，连接并延长交于点，若，求证： (3)为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先求出，，再根据证明，则，因此； （2）过点P作交于点E，F，连接，根据平行线和角平分线得到，先证明，再证明，则可得到，由，再进行等量代换和线段的和差计算即可； （3）连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M，先证明，继而确定点F的轨迹为直线上的部分线段，当，即点F与点M重合时，取得最小值，再根据三角形内角和定理以及角平分线，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图 ∵点P为内心， ∴， 设， 在中，， 即， ∴， 在中，， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）证明：过点P作交于点E，F，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵点P为内心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 即：． （3）解：连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M， ∵P为内心， ∴平分， ∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点F的轨迹为直线上的部分线段， ∴当，即点F与点M重合时，取得最小值， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵P为内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 11．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图中，若和互为“兄弟三角形”，，则 ① ______ 填、或 ②连接线段和，则 ______ 填、或 (2)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ，求的面积； (3)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，交于点，、、三点在一条直线上，，，的面积为，求的长． 【答案】(1)①，② (2)①，②2 (3)6 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①由角的数量关系可求解；由“”可证，可得； （2）①由全等三角形的性质可得，即可求解；由等腰直角三角形的性质可求，的长，即可求解； （3）连接，首先得到，然后证明出，然后得到，设的长度为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①和互为“兄弟三角形”， ， 又，， ， 故答案为：； 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①，， ， ， 由（1）②知，， ， ； 过作于，过作于，如图： ， 由知，， ， ， 又是中点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 的面积为：； （3）解：连接，如图所示： ， 且， ， 在和中， ， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ， 设的长度为， 则， 解得：负值已舍去， 故的长度为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 12．定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． (1)如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； (2)如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； (3)如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 【答案】(1)点P不是等边的勃罗卡点，理由见解析 (2)等边的勃罗卡角的度数为 (3)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用等边对等角得出，再利用等边三角形性质，中垂线的性质得出即可得出结论点P不是等边的勃罗卡点； （2）利用点P为等边的勃罗卡点，求出，证明，即可求出等边的勃罗卡角的度数； （3）先证明为等腰三角形，再证出， 为等边三角形，在内部作交于点N，连接，可证得点N为的勃罗卡点，且，同理可证点M为的勃罗卡点，且，进而得出最后结论． 【详解】（1）解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下： ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是的中垂线， 平分， ， ， 点P不是等边的勃罗卡点； （2）点P为等边的勃罗卡点， ， ， 即， ， 同理可得， 在与中， ， ， ， ， ， ， 等边的勃罗卡角的度数为； （3）证明：点P，关于对称， 为的中垂线， ， 为等腰三角形， ， 由（2）可知， ， ， 为等边三角形，同理可得为等边三角形， 如图，在内部作交于点N，连接， 为的中垂线， ， ， ， ， ， 点N为的勃罗卡点，且， 在内部作交于点M， 同理可证点M为的勃罗卡点，且， ， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定与性质，对于题目中给出的勃罗卡点定义的理解与运用是解答本题的关键． 13．如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 【答案】(1)当点在上时，；当点在上时， (2) (3)或或 (4)的值为或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，全等三角形的判定与性质，正确理解题意，运用分类讨论思想求解是解题的关键． （1）分两种情况讨论，列代数式即可； （2）相遇时，则走的路程和为，据此列方程求解； （3）分三种情况讨论，当点在上，点在上时，可证明，则时，；当点在上，点在上时，当点，重合时，，则；当点在上时，点到终点与点A重合，，分别列出关于的一元一次方程求解； （4）由于当、两点的连线将的周长分成两部分时，即其中一部分周长是另一部分周长的或，点运动到点用时，点运动到点用时，当点分别在上时， 则，或；当点重合，点在上时，则或，再得到关于t的一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，当点在上时，；当点在上时，； （2）解：由题意，得， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为； （3）解：当点运动到点时，；当点运动到点时，． 当点在上，点在上时，如图： ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴， 解得． 当点在上，点在上时，当点，重合时，． ∴． 即， 解得． 当点在上时，点到终点与点A重合，． ∴． 即， 解得． 综上，当与全等时，的值为或或； （4）解：∵当、两点的连线将的周长分成两部分时， ∴其中一部分周长是另一部分周长的或， 点运动到点用时，点运动到点用时， 当点分别在上时，如图： 则，或 ∴，或 解得：（舍），或； 当点重合，点在上时，如图： 则或 ∴或 解得：（舍）或， 综上：当、两点的连线将的周长分成两部分时，的值为或．． 14．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ ． ∴运动的速度为或或或 15．在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． (1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）； (2)如图1，当 s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 (4)点的速度为或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，此时点在边上，； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形中动点与新定义型的四种考法 目录 1 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 1 类型二、全等三角形动点中的最值问题 7 类型三、全等三角形中的动点综合问题 12 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 21 31 类型一、利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 技巧口诀：双等定形，动点设时；找全等，列方程；多解勿漏，分类画图。 定形：先固定一对全等三角形，锁定不变角边。 设时：动点路径用时间t表示，标出所有可能对应边。 找全等：按SAS/ASA/AAS找第二组全等，用对应边相等列方程。 多解：动点可能在折线两侧，需分类画图验证，避免漏解。 例：动点P从A出发，速度2单位/秒，求使△APQ≌△BQR的t值。分P在AB、BC两段列方程，得t=1或3。 例1．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 变式1-1．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 变式1-2．如图，，，，点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为t(s)，则当点Q的运动速度为 时，与全等． 变式1-3如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点运动 秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等． 类型二、全等三角形动点中的最值问题 动点最值口诀：定全等、对称转、找最短。 先画静全等，标出相等边和角。 动点在哪条线，就把哪条线当镜子，做对称点。 连接对称点到目标点，直线交动线处即最值点。 例：△APQ≌△BPQ，Q在直线上动，求AP+PQ最小：把A做对称得A′，连A′B交直线于Q，量出AQ长度即答案。 例2．如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 变式2-1．如图，等腰，，，是动点，，分别在线段上．当周长最小时，则四边形面积最大值为 ． 变式2-2．如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 ． 变式2-3．如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    类型三、全等三角形中的动点综合问题 动点全等综合三步法： 画静图：先画出已知全等三角形，标清相等边、角。 设动点：用“设时间为 t，路程=速度×t”表示动点位置，始终保持在同一直线或折线上。 找等边：利用“边角边”“角边角”找第二组全等，列出等长等式，解出 t 或长度；若动点可在不同位置，分别画草图验证，不漏解。 例3．如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、． (1)试说明 的理由； (2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)； (3)当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ． 变式3-1．已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 变式3-2综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． (1)______cm（用含t的代数式表示）； (2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 变式3-3如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 类型四、全等三角形中的新定义型综合问题 新定义全等问题口诀：先拆定义，再套全等。 读题圈出新名词，按原文逐句翻译成“边相等、角相等”。 用彩笔在图中标出这些等边等角，立刻看出可拼成的SAS、ASA。 按全等写出对应边等式，解出未知量；若出现“旋转后重合”，把图形描在透明纸上旋转验证，避免漏情况。 例4．新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 变式4-1【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 变式4-2定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 变式4-3新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 一、单选题 1．如图，点P，Q是等边边上的动点，它们分别从点A，B同时出发，以相同的速度分别向点B，C方向运动（不与点B，C重合）．连接，其中交于点M．针对点P，Q的运动过程中，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当点P运动至中点时，是等边三角形 D．的度数随点P，Q的运动而变化 2．如图，点C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下四个结论，①；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 3．如图，在中，平分分别为边上的动点，，则的最小值是 ．    4．如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以个单位/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 5．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 6．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作于E，于F，设运动时间为t，当与全等时，t的值为 ．    三、解答题 7．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 8．（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．    ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．    9．定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，为上一点，当的长为_______时．与为偏等积三角形； (2)理解运用：如图2，已知为直角三角形，，以，为腰向外作等腰直角，等腰直角，连接．求证：与为偏等积三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点H，四边形是一片绿色花园，计划修建一条小路，若的面积为1500平方米，米，小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 10．阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知是的三条内角平分线． 求证：相交于一点． 证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D，E，F． 点是的平分线上的一点， ， 同理，， ． 是的平分线， 点在上． 相交于一点． 请解答以下问题： (1)如图3，在中，为的内心，延长到点，使得，连接，与交于点，求的角度． (2)如图4，为的内心，连接，M为边上一点，连接并延长交于点，若，求证： (3)为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度． 11．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图中，若和互为“兄弟三角形”，，则 ① ______ 填、或 ②连接线段和，则 ______ 填、或 (2)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的大小； ，求的面积； (3)如图，和互为“兄弟三角形”，，，，、、三点在一条直线上，交于点，、、三点在一条直线上，，，的面积为，求的长． 12．定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． (1)如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； (2)如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； (3)如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 13．如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 14．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 15．在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． (1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）； (2)如图1，当 s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$