培优01 与三角形有关的线段（5种题型17种重难点突破）（专项训练）数学人教版2024八年级上册

培优01 与三角形有关的线段 （5种题型17种重难点突破） 题型1 三角形的三边关系 判定三条线段能否构成三角形时，不需要分别计算，只要三条线段中较小的两条线段之和大于第三条线段就能构成三角形.当较小的两条线段之和等于或小于第三条线段时，就不能构成三角形. 【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 重难点一 利用三边关系判断能否组成三角形 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 2．（20-21八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是　（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是，，则满足条件的的值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 重难点二 利用三边关系求参数范围 5．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 ． 重难点三 利用三边关系取舍值（易错） 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若一个等腰三角形的周长为15，一边长为7，则该等腰三角形的底边长为 ． 8．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若有理数满足等式，且恰好是等腰的两条边长，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 9．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 重难点四 利用三边关系求最值 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，将平移5个单位到，则的最大值等于 ． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为 ． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为 ． 13．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为 ． 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图、用钉子把木棒和分别在端点、处连接起来，、可以转动．用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是． (1)若，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出的取值范围吗？ 重难点五 三角形最长边与周长的关系 15．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）一根长为的绳子围成一个三边不相等的三角形，则三角形的最长边x的取值范围为（  ） A． B． C． D． 16．（22-23七年级下·全国·单元测试）周长为P的三角形中，最长边m的取值范围是    (　　) A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 题型2 三角形的高 1）高与面积有关:①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 2)高与勾股定理的联系：有高就有直角，想到勾股定理. 3）三角形三高线的交点是垂心，注意垂心的性质. 重难点一 依据三角形形状确定高的位置 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹） (1)在图1中作的中线． (2)在图2中作的高． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中作的高； (2)在图1中在上取点E，使与面积相等； (3)在图2中取格点F，使得（F不与A重合）． 重难点二 面积法，知高求底/知底求高 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 6．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于 ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，求的值． 重难点三 面积法，整体求值 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    10．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在的边上取点．连接平分，平分，若，的面积是，的面积是5，则的值是 ． 重难点四 依据高的位置，分类讨论求面积 11．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）是中边上的高，已知则的面积等于 ． 重难点五 依据高的位置，分类讨论求角度 13．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为 ． 14．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ． 重难点六 等面积法的综合运用 16．（24-25八年级上·广东深圳·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，，垂足分别为，．求的值． 他们用两种方法表示的面积： 方法一：如图，作于点，计算的面积． 解答过程如下： 方法二：连接，则． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出　　． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点的坐标． 17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 18．（23-24八年级上·广东深圳·期中）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． (1)【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； (2)【尝试提升】如图2，在中，，D是边上一点，使，过上一点P，作，垂足为点E，作，垂足为点F，已知，，求的长． (3)【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是2，求的值． 题型3 三角形的中线 1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系. 2）中线性质： ①中点将边平分；②中线将面积平分； ③三边中线交点为重心，切记重心的性质. 重难点一 中线的性质与应用 1．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 4．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，，，都是格点，且，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹（画图过程用虚线，画图结果用实线表示）． (1)在图中作的中线与，设与交于点； (2)在图中，在轴上找点，使得最小； (3)在图中的上找一点，使； 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 重难点二 重心性质与应用 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 7．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图，点G为的重心，D，E，F分别为的中点，具有性质：．已知的面积为4，的面积为 ． 8．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 题型4 三角形的角平分线 三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 重难点一 三角形的角平分线性质的应用 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 2．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 3．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 重难点二 三角形高、中线、角平分线的综合 5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 7．（21-22八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． (1)若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长； (2)若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小． 题型5 面积转化与面积法 重难点一 面积法求值 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）如图，在梯形 中，三角形 与三角52．（23-24七年级下·广西玉林·期末）我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 3．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，若，，则四边形的面积为（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 4．（2025·北京·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为 ． 5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 重难点二 转化思想求面积 6．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，当时，请你利用“转化策略”求出图中阴影部分的面积． 7．（22-23七年级下·江苏南京·期中）三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点． 问题1：如图1：是的中线，求证： 问题2：如图2：，求证： 问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积： （1）如图3：在四边形，小孙同学的辅助线： ①连接对角线，②作交的延长线于E；③取的中点M，则直线为所求直线． （2）如图4：在四边形，小悟同学的辅助线： ①连接对角线和；②取的中点O，③连接；④过点O作的平行线与四边形的边交点于P，则直线则为所求直线． 下面就请你完成小孙和小悟的证明． 问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形，请你也尝试画一画吧！ （保留作图痕迹并写出作图方法） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优01 与三角形有关的线段 （5种题型17种重难点突破） 题型1 三角形的三边关系 判定三条线段能否构成三角形时，不需要分别计算，只要三条线段中较小的两条线段之和大于第三条线段就能构成三角形.当较小的两条线段之和等于或小于第三条线段时，就不能构成三角形. 【易错】所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 重难点一 利用三边关系判断能否组成三角形 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 2．（20-21八年级上·河北沧州·期末）某同学用5cm、7cm、9cm、13cm的四根小木棒摆出不同形状的三角形的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可． 【详解】解：四条木棒的所有组合：5，7，9和5，9，13和5，7，13和7，9，13； 只有5，7，9和5，9，13和7，9，13能组成三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是　（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．在组合三角形的时候，注意较小的2边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12． 【详解】解：设摆出的三角形的三边有两边是根，根，则第三边是根， 根据三角形的三边关系定理得到： 得到：，，， 又因为，是整数，因而同时满足以上三式的，的分别值是（不计顺序）：，5；3，4；3，5；4，4；4，5；5，5． 则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2． 因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4共三种情况，则能摆出不同的三角形的个数是3． 故选：C． 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知是正整数，若一个三角形的三边长分别是，，则满足条件的的值有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，不等式（组）的应用． 根据三角形三边关系，分最大边为和两种情况讨论，列出不等式组求解，再合并所有符合条件的正整数解． 【详解】解：由得 ①当最大边为时，有 ， 解得， 三角形三边需满足： 解得， ∴， ∵是正整数， ∴． ②当最大边为时，有 ， 解得， 三角形三边需满足： ， 解得， ∴， ∵是正整数， ∴． 综上所述，符合条件的为2、3、4、5、6、7，共6个． 故选C. 重难点二 利用三边关系求参数范围 5．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 6．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理． 根据三角形三边关系定理列出不等式，求出第三边的取值范围，再根据边长为整数确定最大值． 【详解】解：设三角形的第三边长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ∵三角形的三边长均为整数， ∴第三边长度的最大值为8． 故答案为：8． 重难点三 利用三边关系取舍值（易错） 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若一个等腰三角形的周长为15，一边长为7，则该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】1或7/7或1 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用等知识．本题已知了等腰三角形的周长和一边的长，但是没有明确长为7的边是腰长还是底边长，因此要分类讨论：腰长为7或底边长为7． 【详解】解：本题可分两种情况： ①当腰长为7时，底边长，，符合三角形三边关系， ②底边长为7，此时腰长，，符合三角形三边关系． 因此该等腰三角形的底边长为1或7． 故答案为：1或7． 8．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若有理数满足等式，且恰好是等腰的两条边长，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性及等腰三角形的性质，由，计算出的值，分两种情况讨论等腰三角形的边长组合，结合三角形三边关系确定周长． 【详解】解：， 又， 且， 解得，， 当腰长为4（即两腰均为4），底边为2时，三边分别为4，4，2， 验证三角形三边关系： ，，均成立，可构成三角形， 周长为； 当腰长为2（即两腰均为2），底边为4时，三边分别为2，2，4， 验证三角形三边关系： ，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形， 综上，的周长为． 故选：B． 9．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解、三角形的三边关系和等腰三角形的定义，正确分类、熟练掌握相关基础知识是关键． 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6与当腰和腰的一半的和为12时，分别列出方程组结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况： 当腰和腰的一半的和为6时，则， 解得， 此时三角形的三边为4，4，10，不能构成三角形，故舍去； 当腰和腰的一半的和为12时，则， 解得， 此时三角形的三边为8，8，2，能构成三角形； 所以三角形的底边长是2； 故答案为：2． 重难点四 利用三边关系求最值 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，将平移5个单位到，则的最大值等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∵将平移5个单位到， ∴， 又， ∴， ∴在中， 即： ∴， ∴的最大值等于8， 故答案是：8． 11．（24-25七年级下·四川成都·期末）一个三角形的三边长度均为整数，其中两边长为2和5，则第三边的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得到：， ∴， ∵三角形三边均为整数， ∴三角形第三边的最大值为6． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，，E，F分别为边，的中点．连接，线段的最大值为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查三角形中位线定理，解题的关键是利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．取的中点G，连接，，根据三角形中位线性质得出，，根据三角形三边关系可知：，从而得出答案即可． 【详解】解：取的中点G，连接，，如图所示： ∵E，F分别为边，的中点， ∴，， 根据三角形三边关系可知：， ∴当、G、F三点共线时，最大，且最大值为． 故答案为：5． 13．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在中，，，，D为边上一动点，将沿翻折得到，点B的对应点为点P，连接，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．由折叠的性质知，在中，由三角形三边关系得，当D在边上运动时，总有，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质知， 在中，由三角形三边关系得， 当点落在边上时，， ∴当D在边上运动时，总有， ∴的最小值为， 故答案为：2． 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图、用钉子把木棒和分别在端点、处连接起来，、可以转动．用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是． (1)若，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出的取值范围吗？ 【答案】(1)的最大值是25，最小值是5 (2) 【分析】此题考查了三角形的三边关系及不等式的应用，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件． (1)最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； (2)当x大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据(1)中的最大值和最小值即可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为A、、、． ， 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线； 将绕点逆时针方向旋转，使其与共线， 即四点从左到右依次为、A、、． ． 综上，的最大值是25，最小值是5． （2）解：由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为． 重难点五 三角形最长边与周长的关系 15．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）一根长为的绳子围成一个三边不相等的三角形，则三角形的最长边x的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论． 【详解】解：设三角形的其他两边为：y，z， ∵x+y+z=，y+z＞x ∴可得x＜，又因为x为最长边大于， ∴； 故选A 【点睛】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且最长边不能小于． 16．（22-23七年级下·全国·单元测试）周长为P的三角形中，最长边m的取值范围是    (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题解析：三边相等时, 三边不相等时,最长边 所以, 故选A. 17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 题型2 三角形的高 1）高与面积有关:①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 2)高与勾股定理的联系：有高就有直角，想到勾股定理. 3）三角形三高线的交点是垂心，注意垂心的性质. 重难点一 依据三角形形状确定高的位置 1．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位． (1)画出的边上的高，垂足为D； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为． 【分析】本题考查画三角形的高，求格点三角形的面积，解题的关键是会用割补法求面积． （1）延长，过点作延长线的垂线即可； （2）用割补法，借助网格，即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，延长，过点作延长线的垂线，垂足为，线段即为的边上的高． （2）解：∵每个小正方形的边长为1个单位， ∴ 答：的面积为． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹） (1)在图1中作的中线． (2)在图2中作的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——三角形的中线和高线，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）由矩形对角线互相平分可知，点是中点，连接即为的中线； （2）由等腰直角三角形的性质可知，，即为的高． 【详解】（1）解：如图1，中线即为所求作； （2）解：如图2，高即为所求作． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中作的高； (2)在图1中在上取点E，使与面积相等； (3)在图2中取格点F，使得（F不与A重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)加解析 【分析】本题考查了三角形的高，中线等分面积，全等三角形判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）取格点T，连接并延长与相交，交点即为点D，可根据证明，再根据全等三角形的对应角相等结合网格特征即可得到； （2）取的中点即为点E，根据三角形的中线等分面积即可说理； （3）可通过证明，则，再由即可说理． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，点即为所求： （3）解：如图，点即为所求： 重难点二 面积法，知高求底/知底求高 4．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于 ． 【答案】3.75 【分析】本题考查三角形的高的有关计算，根据三角形面积公式得出，即可求解． 【详解】解：、是的两条高， ， ， 故答案为：3.75． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，解题关键是看到垂直条件及一些边长，可利用等面积法求解． 根据题意，利用等面积法，用两种方法表示的面积，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 重难点三 面积法，整体求值 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在的边上取点．连接平分，平分，若，的面积是，的面积是5，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．连接，过点作，，，由角平分线的性质定理，得出，再结合三角形面积公式，求出，再根据四边形的面积，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作，，， 平分，平分， ，， ， 的面积是， ， ， ， 的面积是，的面积是5， 四边形的面积， 又四边形的面积， ， ， 故答案为： 重难点四 依据高的位置，分类讨论求面积 11．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）中，，边上的高，，则的面积是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式、分类讨论进行画图是解题的关键．由题意，分别讨论在内部和在外部两种情况，求出的长度，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 如图所示，当在外部时， ，， 又边上的高， 的面积是； 综上，的面积是或， 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）是中边上的高，已知则的面积等于 ． 【答案】15或5/5或15 【分析】本题考查了三角形面积的计算，分在三角形的内部和在三角形的外部两种情况，进行计算即可． 【详解】解：如图1，    ，是的高，， ， ； 如图2，    ，是的高，， ， ， 综上所述，或5， 故答案为：15或5． 重难点五 依据高的位置，分类讨论求角度 13．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分和两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 当时，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 14．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形高的定义、四边形的内角和等知识，正确分类并画出图形是解题的关键； 分两种情况：为锐角与为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可． 【详解】解：当为锐角时，如图，设三角形的两条高交于点O， 则，， ∴， ∴； 当为钝角时，如图，设三角形的两条高所在的直线交于点O， 则，， ∴； 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义，分两种情况讨论：①若；②若；先求出顶角，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②若，如图2所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴； 综上所述：等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 重难点六 等面积法的综合运用 16．（24-25八年级上·广东深圳·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，是一种重要的数学方法． 【问题探究】 数学兴趣小组尝试用等面积法解决下面问题： 如图1，在等腰中，，，是线段上任意一点，过点作，，垂足分别为，．求的值． 他们用两种方法表示的面积： 方法一：如图，作于点，计算的面积． 解答过程如下： 方法二：连接，则． （1）请将方法一的解答过程补充完整； （2）结合方法一、二可以算出　　． 【学以致用】 如图2，直线与轴交于点，且经过点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）在直线上有一动点，且点到直线的距离为2，请利用以上所学的知识直接写出点的坐标． 【答案】[问题探究]（1）见解析（2）；[学以致用]（1）；（2）P的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，分类讨论思想的应用等，解题的关键是读懂题意，用两种不同的方法表示同一个三角形的面积． [问题探究]（1）由，即可求解； （2）由，即可求解； [学以致用]（1）由待定系数法即可求解； （2）当在下方时，由，点到直线的距离为2，则，得到，即可求解；当在上方时，同理可解． 【详解】解：[问题探究] （1）作于点，则：， ∴， ∴； （2）连接，则， 则， 故答案为：； [学以致用] （1）把代入得：； ， 设直线解析式为，由点、的坐标得， ，解得：， 直线解析式为； （2）过作于，过作于，连接， 当在下方时，如图： ，令得， ， ，， ，，， ，点到直线的距离为2， ， 解得， 即点的纵坐标为：， 解得：， ； 当在上方时，如图： ， ， 解得，同理可得：； 综上所述，的坐标为或． 17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 18．（23-24八年级上·广东深圳·期中）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． (1)【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； (2)【尝试提升】如图2，在中，，D是边上一点，使，过上一点P，作，垂足为点E，作，垂足为点F，已知，，求的长． (3)【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线，，若上的一点M到的距离是2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)或 【分析】（1）连接AM，根据，结合三角形面积公式和即可证明； （2）根据勾股定理可求出，再根据，，，结合（1）所得结论即得出； （3）根据函数解析式可求得，，，从而可得，即为等腰三角形．再根据上的一点M到的距离是，则可分类讨论：当点M在边上时，过点作于点G，作于点H，如图，易得出，从而得出，从而可求出，，即得出；②当点M在延长线上时，过点作于点P，则，易证，得出，从而可求出，即得出． 【详解】（1）证明：连接AM，由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴在中，． 又∵，，， ∴结合（1）可知； （3）解：对于，令，得：；令，得：， ∴，． 对于，令，得：，则． ∵在中，，， ∴，即为等腰三角形． ∵上的一点M到的距离是，则点M在边上或在延长线上， 分类讨论：当点M在边上时，过点作于点G，作于点H，如图， 由（1）知：， 由题可知：，则， 将，代入，解得：， ∴， ∴，， ∴； ②当点M在延长线上时，过点作于点P，如图， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查等积法，勾股定理，一次函数的应用，三角形全等的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 题型3 三角形的中线 1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系. 2）中线性质： ①中点将边平分；②中线将面积平分； ③三边中线交点为重心，切记重心的性质. 重难点一 中线的性质与应用 1．（2024七年级上·四川成都·专题练习）如图所示，已知三角形的面积为20，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线有关的面积，由边之间的关系得，，阴影部分的面积转化成的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ，， ，，， ， ， ， 解得∶， 故阴影部分的面积为． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是的中线，的周长比的周长大，若的周长为，且，求和的长． 【答案】的长为，的长度为 【分析】此题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质．首先根据三角形中线的概念得到，然后根据的周长比的周长大，得到，由的周长为，且，得到，联立方程组即可求解． 【详解】解：是中线， ， ， ， ， ，且， ， 联立， ， 答：三角形中的长为的长度为． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，点D是边上一点，连接，点P是的中点，连接并延长交于点E，若，． (1)设的面积为S，求的面积（用含S的式子表示）； (2)请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． （1）根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可； （2）连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积表示出来，列关于、的等式，从而求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ． （2）如图，连接． 设，则， 点是的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 4．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，，，都是格点，且，请用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹（画图过程用虚线，画图结果用实线表示）． (1)在图中作的中线与，设与交于点； (2)在图中，在轴上找点，使得最小； (3)在图中的上找一点，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等边对等角，平行线的性质，三角形中线，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点分别找到的中点，连接与交于F即可； （2）连接交y轴于Q，则点Q即为所求，点A和点B关于y轴对称，则，故当B、Q、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值； （3）如图所示 ，取，则此时有；可证明，由平行线的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 【答案】（1）；；（2）；；（3）6 【分析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一次方程组，熟练掌握这个结论是解题的关键． （1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，即可求解； （2）根据题意，列出方程组，解出方程组，可得即可得到结果； （3）连接，，若 ，得到，，，设，则，，可列方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，过点A作于点H， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过点A作于点T， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 由得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接， ∵，， ∴，，， 设，则，， 可列方程为， 解得：， ∴． 重难点二 重心性质与应用 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）如图，点G为的重心，D，E，F分别为的中点，具有性质：．已知的面积为4，的面积为 ． 【答案】24 【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键． 【详解】解：∵，的面积为4， ∴同高，底的比等于面积的比 ∴ ∴的面积为8， ∴的面积为， ∵点F为的中点， ∴的面积的面积， ∴的面积为， 故答案为：24． 8．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 题型4 三角形的角平分线 三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 重难点一 三角形的角平分线性质的应用 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 【详解】如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差 ， 故答案为：； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形两锐角互余，等面积法． （1）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可； （2）由点是中点得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，（已知） ∴，（角平分线的定义） ∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（三角形内角和推论）； （2）解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 重难点二 三角形高、中线、角平分线的综合 5．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数为，最后可求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1） ∵为的平分线， ∴ ∵为边的高， ∴， ∴． （2）∵是的中线, ∴ 由题意知： ∴ 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，的面积为64， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 7．（21-22八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． (1)若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长； (2)若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先计算出BC的长度，再根据三角形的面积公式即可得到AF； （2）根据是的一个外角，计算出，再根据角平分线的性质得到，再根据垂线的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可计算出∠BAF． 【详解】（1）解：∵BD＝5，D是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∵BE是△ABD的角平分线， ∴， ∵， ∴, ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的高、三角形角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是数量掌握相关知识． 题型5 面积转化与面积法 重难点一 面积法求值 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）如图，在梯形 中，三角形 与三角 52．（23-24七年级下·广西玉林·期末）我们知道：平行线间的距离处处相等．如图，，那么图中与面积相等的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间距离相等，同底等高的三角形面积相等．根据，平行线之间距离相等，可得三角形之间同底等高． 【详解】解：∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、、， 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 【答案】B 【分析】本题考查梯形的知识，平行线之间的距离，三角形的面积，关键是这些知识的熟练掌握及灵活运用．根据梯形的性质可得的面积的面积，进而同理即可解决问题． 【详解】解：梯形中， ， ∴的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积， 同理的面积， ∴的面积的面积， 故选：B． 3．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，若，，则四边形的面积为（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，由四边形中，，可得 ，，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形中，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·北京·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线，交于点．若，则四边形的面积为 ． 【答案】32 【分析】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，由四边形中，，可得 ，，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：32． 5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 重难点二 转化思想求面积 6．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，，，是上一点，交于点，当时，请你利用“转化策略”求出图中阴影部分的面积． 【答案】24 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质、三角形的面积计算方法等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．先证明，则，再利用割补法即可得到阴影部分面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴图中阴影部分面积． 7．（22-23七年级下·江苏南京·期中）三角形中有三条重要线段——中线，高线和角平分线，下面我们一起来研究中线和高线的特点． 问题1：如图1：是的中线，求证： 问题2：如图2：，求证： 问题3：运用上述两个问题的发现我们一起探究如何作一条直线平分多边形面积： （1）如图3：在四边形，小孙同学的辅助线： ①连接对角线，②作交的延长线于E；③取的中点M，则直线为所求直线． （2）如图4：在四边形，小悟同学的辅助线： ①连接对角线和；②取的中点O，③连接；④过点O作的平行线与四边形的边交点于P，则直线则为所求直线． 下面就请你完成小孙和小悟的证明． 问题4：小空同学运用类比和转化的数学思想作了一条直线平分五边形，请你也尝试画一画吧！ （保留作图痕迹并写出作图方法） 【答案】【问题1】见解析；【问题2】见解析；【问题3】见解析；【问题4】①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求． 【分析】【问题1】过点A作于点P，根据等底同高解答，即可； 【问题2】分别过点A，D作，垂足分别点K，L，根据等高同底解答，即可； 【问题3】（1）根据，可得，从而得到，再由M为中点，可得平分的面积，即可； （2）根据O为中点，可得平分的面积，平分的面积，从而得到，再由，可得，从而得到，即可； 【问题4】①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求． 【详解】【问题1】证明：如图，过点A作于点P， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴； 【问题2】 证明：如图，分别过点A，D作，垂足分别点K，L， ∴， ∵， ∴， ∴； 【问题3】 （1）∵， ∴ ∴，即， ∵M为中点， ∴平分的面积，即平分四边形的面积． （2）∵O为中点， ∴平分的面积，平分的面积， ∴折线A－O－C平分四边形的面积， 即， ∵， ∴， ∴，即 ∴平分四边形的面积； 【问题4】 解：①连接对角线和；②过点B作，交延长线于M；过点E作，交延长线于N；③取的中点H，则直线即为所求． ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点H为的中点， ∴， ∴， 即线平分五边形． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，根据等底同高或等高同底证得两个三角形的面积线等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$