专题02 一元二次方程的特殊解法（压轴题专项训练）数学湘教版九年级上册

专题02 一元二次方程的特殊解法 目录 1 类型一、一元二次方程的特殊解法——十字相乘法 1 类型二、一元二次方程的特殊解法——换元法 3 类型三、与新定义型有关的求解一元二次方程 6 7 类型一、一元二次方程的特殊解法——十字相乘法 口诀：拆两头，凑中间，交叉相乘再相加。 1. ax²+bx+c，把a、c各写成两因数乘积：a=a₁a₂，c=c₁c₂。 2. 十字交叉：a₁c₂ + a₂c₁ 若等于 b，即成。 3. 横写括号：(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)=0，分别解得两根。 若和≠b，调换因数再试，两步出答案。 例1．解一元二次方程：． 变式1-1．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1-2．解方程：． 变式1-3（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 类型二、一元二次方程的特殊解法——换元法 口诀：找重复，设整体，降次再回代。 1. 方程出现相同代数式（如x²+3x或√x），设为y，化一元二次。 2. 解出y后，再回代原式得x。 3. 检查新方程根是否使原式有意义，舍去增根。 例2．请阅读下列解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为，即，得，． 当，，∴，，当，，无解． 所以，原方程的解为，． 这种解方程的方法叫做换元法． 用上述方法解下面两个方程： (1)； (2)． 变式2-1．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 变式2-2．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式． 解：设， (1)请你用换元法对多项式进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：． 变式2-3．阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 类型三、与新定义型有关的求解一元二次方程 读定义→换元降次→回代检验 把新定义式整体设y，化一元二次 ay²+by+c=0；解出y后按定义回代x，得x方程再解；最后将各x代入原定义验算，舍增根。 例3．定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为 ． 变式3-1．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 变式3-2定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 ． 变式3-3定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 一、单选题 1．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 三、解答题 3．新定义：如果函数G的图像与直线l相交于点和点，那么我们把叫做函数G在直线l上的“截距”． (1)求双曲线G：在直线l：上的“截距”； (2)若双曲线G：与直线l：交于点和点，若双曲线G在直线l上的“截距”为，且，求b的值． 4．点和点是函数图象上不同的两个点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率定义为：． (1)点和点是反比例函数图象上的两个点，则的值为________； (2)点和点是函数的图象上不同的两个点，求证是一个定值； (3)点和点是函数图像上不同的两个点，且．若，求点E的坐标． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 6．用适当的方法解一元二次方程： 7． 解方程：． 8． “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式最值； (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 9. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，． 当时，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由． 10. 综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的特殊解法 目录 1 类型一、一元二次方程的特殊解法——十字相乘法 1 类型二、一元二次方程的特殊解法——换元法 5 类型三、与新定义型有关的求解一元二次方程 9 12 类型一、一元二次方程的特殊解法——十字相乘法 口诀：拆两头，凑中间，交叉相乘再相加。 1. ax²+bx+c，把a、c各写成两因数乘积：a=a₁a₂，c=c₁c₂。 2. 十字交叉：a₁c₂ + a₂c₁ 若等于 b，即成。 3. 横写括号：(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)=0，分别解得两根。 若和≠b，调换因数再试，两步出答案。 例1．解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴， ∴或， 解得，； 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 变式1-1．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 变式1-2．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 变式1-3（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 类型二、一元二次方程的特殊解法——换元法 口诀：找重复，设整体，降次再回代。 1. 方程出现相同代数式（如x²+3x或√x），设为y，化一元二次。 2. 解出y后，再回代原式得x。 3. 检查新方程根是否使原式有意义，舍去增根。 例2．请阅读下列解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为，即，得，． 当，，∴，，当，，无解． 所以，原方程的解为，． 这种解方程的方法叫做换元法． 用上述方法解下面两个方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）仿照例题方法和步骤解方程即可； （2）设，进而利用解一元二次方程的方法步骤求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可变形为，即， 解得：，． 当时，，∴，， 当，，无解． 所以，原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可变形为，即， 解得：，． 当时，，即， ∴， ∴，， 当时，，即， 解得：． 所以，原方程的解为，，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，看懂题中例题的解法，会利用类比的方法求解一元二次方程是解答的关键． 变式2-1．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为． ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解为，． 请仿照上面的例题解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题主要是考查利用换元法解一元二次方程的方法，仿照例题给出的方法进行解题，熟练掌握解方程的方法是本题解题的基础．利用例题中给很出的方法，利用换元的方法进行解题，设，则原方程化为：，解方程得：，，将解带入，求解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可以化为， ∵，，， ∴， ∴． 解得，． 当时，， ∴，； 当时，， ∴，． ∴原方程的解为，，，． 变式2-2．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式． 解：设， (1)请你用换元法对多项式进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据题意将进行换元后分解因式即可． （2）设分解因式后得到或，带回后求未知数的值即可． 【详解】（1）解：设， （2）解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 【点睛】本题主要考查利用整体思想及换元法解因式分解来求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键． 变式2-3．阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程． 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： (1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________． A．加减消元法    B．代入消元法    C．换元法    D．待定系数法 (2)采用类似的方法解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． （1）利用换元法解方程； （2）设，原方程化为，求出y，把y的值代入，求出x即可． 【详解】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设，原方程化为， ∴ 解得， 当时，得， 解得，； 当时，得， ，方程无解， 综上所述，原方程的解为，． 类型三、与新定义型有关的求解一元二次方程 读定义→换元降次→回代检验 把新定义式整体设y，化一元二次 ay²+by+c=0；解出y后按定义回代x，得x方程再解；最后将各x代入原定义验算，舍增根。 例3．定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的应用和解一元一次不等式，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 令，解得的取值范围，然后分两种情况列得方程，解方程确定符合题意的的值即可． 【详解】解：令， 解得：， 当时，， 则， 整理得：， 因式分解得：， 解得：（舍）或， 当时，， 则， 整理得：， 解得：， 综上，的值为或， 故答案为：或． 变式3-1．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 变式3-2定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 变式3-3定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)② (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； （2）解： ， 解得：，. ∵方程为“差方程”，m为整数， ∴， 解得：或． 一、单选题 1．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 二、填空题 2．对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 三、解答题 3．新定义：如果函数G的图像与直线l相交于点和点，那么我们把叫做函数G在直线l上的“截距”． (1)求双曲线G：在直线l：上的“截距”； (2)若双曲线G：与直线l：交于点和点，若双曲线G在直线l上的“截距”为，且，求b的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了新定义，反比例函数与一次函数的交点，解一元二次方程等多个知识点，解题的关键是理解“截距”这概念． （1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标，即可求解； （2）先根据双曲线与直线有两个交点判断，然后求出，再根据双曲线G在直线l上的“截距”为求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得：或， ， 双曲线与直线上的“截距”； （2）解：∵双曲线G：与直线l：交于点和点， ∴． 根据题意可得， 即 解得：或， ， ∵双曲线G在直线l上的“截距”为， ∴， ∴． 4．点和点是函数图象上不同的两个点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率定义为：． (1)点和点是反比例函数图象上的两个点，则的值为________； (2)点和点是函数的图象上不同的两个点，求证是一个定值； (3)点和点是函数图像上不同的两个点，且．若，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数综合应用，理解题意是解题关键． （1）根据题目中的计算方法代入计算即可得出结果； （2）先分别求出，，然后根据题目中的计算方法代入计算即可得出结果； （3）先求出，然后求出，结合，得出，解方程求出符合题意的，即可求解． 【详解】（1）解：∵和， ∴， 故答案为：； （2）证明：和点是函数的图象上不同的两个点， ，， ， ， 的值为定值； （3）解：由题意可得：，， ． ， ， ， ， ， ， 解得：或（负的舍去）． 经检验是原方程的解． ， ． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 【答案】(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 6．用适当的方法解一元二次方程： 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：整理得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，， 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 7．解方程：． 【答案】， 【分析】移项后，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得： ， 即：，， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键． 8.“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式最值； (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 【答案】(1)有最小值2 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方式的特征求解； （2）先配方，再求最值； （3）作差后配方比较大小． 【详解】（1）解： 故当，即时，代数式最小值为2； （2）∵，则， ∴，即，， ∴，， ∴； （3）， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键． 9. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，． 当时，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)方程的两根分别是和，理由见详解 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想， （1）设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可 （2）根据已知方程的解，得出或，求出x的值即可． 【详解】（1）解：令， 则， ， 或， 解得或， 当时，，即， 解得，， 当时，，即， 解得， 综上，原方程的解为，， （2）一元二次方程的两根分别为，， 方程中或， 解得：或， 即方程的两根分别是和． 10. 综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，， 当时，，； 当时，， ， 所以原方程有四个根：， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，代入原式，对一元二次方程求解即可； （2）设，代入原式，对一元二次方程整体求解即可； 本题主要考查一元二次方程的解法，理解题目中换元法的解题思想是解题的关键． 【详解】（1）解：设 原方程可变为： 解得：， 当时， ∴方程无解 当时， 解得： ∴原方程有2个根：． （2）解：设 原方程可变为： 整理得： 解得：（舍去）， 的值为1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$