专题12 一元一次方程特殊解法的五类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题12 一元一次方程特殊解法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、含绝对值方程类型 类型二、根据一元一次方程解求参数 类型三、裂项法解一元一次方程 类型四、整体代换法解一元一次方程 类型五、新定义问题 压轴专练 类型一、含绝对值方程类型 例1-1．解方程：． 【答案】时，；时 【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求值. 【详解】 解：①当时，， ，不存在； ②当时，，； ③当时，，， 的解是时，；时． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程． 例1-2．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 变式1-1．解方程：． 【答案】 【详解】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．难易适中．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 【分析】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 变式1-2．已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 变式1-3．已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 类型二、根据一元一次方程解求参数 例2．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于k的一元一次方程，根据方程的解与k无关，得到关于k的方程有无数解，根据一元一次方程有无数解的条件，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式2-1．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 变式2-2．k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 【答案】 【分析】先求得一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有整数解的情况确定的取值即可 . 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有整数解， ∴，则， ∴或或或， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，理解一元一次方程整数解的意义是解题的关键． 变式2-3．若不论取什么数，关于的方程（、是常数）的解总是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代入法、一元一次方程的解法，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键．首先把根代入原方程中得到一个关于的方程，再根据方程与无关的应满足的条件求出、的值，最后求出结果即可． 【详解】解：将代入 不论取什么数，上式都成立，那么有 变式2-4．(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程； （1）将方程整理得，再根据该方程无解得，由此解出，然后将代入代数式之中即可得出答案； （2）将方程整理为关于的方程得，再根据无论为何值，方程的解总是得且，将代入即可得出，的值； （3）将方程整理得，根据该方程有无数个解得且，由此解出，即可得的值． 【详解】解：（1）对于方程，移项，得：， 方程无解， ， ， 8； 故答案为：． （2）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 将其整理为关于的方程，得：， 无论为何值，方程的解总是， 且， 将代入得且， ，； 故答案为：；． （3）对于方程， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该方程有无数个解， 且， ，， ． 故答案为：． 【点睛】解决问题的关键是理解关于的方程，若，则该方程只有唯一解；若且，则该方程有无数个解；若且，则该方程没有解． 类型三、裂项法解一元一次方程 例3．解方程 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把原方程变形为，进一步变形得到，再去括号解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3．解方程： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，两题有一定的难度． （1）先利用分数的基本性质把分子分母的小数化为整数，再去分母化为系数为整数的方程，再去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）利用乘法分配律可化为，再计算的值；由于每一个分数可拆成分母相邻的两个分数的差，最后即可求得的值，从而求解方程． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：； （2）解：原式可化为： 而 ， 即， 解得：． 类型四、整体代换法解一元一次方程 例4．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 变式4-1．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，换元法解方程．理解把关于y的方程中的比作关于x的方程中的x是解题关键．关于y的方程可变形为，结合题意可得出，解出y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解为． 故答案为：． 变式4-2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由题意，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：，． ．． 关于的方程与方程是“美好方程”，，； （2）解：“美好方程”的两个解的和为1， 另一个方程的解为：． 两个解的差为8， 或． 或； （3）解：．． 关于的一元一次方程和是“美好方程”， 关于的一元一次方程的解为． 关于的一元一次方程可化为：． ． ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 类型五、一元一次方程新定义问题 例5．定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”. (1)判断当时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程； (2)方程“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由． 【答案】(1)1 (2)有限个，分别为1，0，2，-1 【分析】（1）把代入，解方程得，根据“友好系数”定义即可求解； （2）解关于x方程得，得到当，，，时，满足方程的解x为整数，求出k的值为：1，0，，，2，-1，，，根据友好系数”定义得k的值为1，0，2，-1.，从而得到结论． 【详解】（1）解：当时，原方程化为：， 整理得：， 解得：， 即当时，方程的解为整数． 根据新定义可得：是方程的“友好系数”； （2）解：， 去分母得：， 整理得：， 方程的解为：， 当，，，时，满足方程的解x为整数， 此时k的值为：1，0，，，2，-1，，， 经检验，取上述k的值，均不为0， 其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1． 所以方程“友好系数”的个数是有限个， 分别为1，0，2，-1． 【点睛】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义“友好系数”，正确解出含有字母系数的一元一次方程是解题关键，注意当时，若x为整数，则为6的整数因数． 变式5-1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)9 (2) 或 (3)2022 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为x=-2023，再将变形为，则y+1=x=2023，从而求解． 【详解】（1）解：∵3x+m=0 ∴x ∵ ∴x=4 ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴m=9． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是1-n ∵两个解的差是8 ∴1-n-n=8或n-（1-n）=8 ∴ 或 ． （3）解：∵ ∴x=-2022 ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为： x=1-（-2022）=2023 ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴y+1=x=2023 ∴y=2022． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 变式5-2．若关于的方程（a≠0）的解与关于y的方程（c≠0）的解满足，则称方程（a≠0）与方程（c≠0）是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”． (1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于y的方程是“美好方程”，请求出k的值； (3)若无论取任何有理数，关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）分别求出方程的解，再判断，即可求解； （2）分别解出方程，再代入，求出k即可； （3）先解出方程，再代入，求出x的值，最后代入即可求出的值． 【详解】（1）的解为，的解为， ， 方程与方程不是“美好方程”； （2）∵的解为， 解为 （3）的解为 ∵关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“美好方程”， ∴ ∴或的解为或 即关于x的方程，无论为何值，方程的解都是或 代入得，，整理得 代入得，，整理得 或 或 【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解新定义并熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 变式5-3．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 1．的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 3．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，理解新定义运算规则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 解得， ∵， ∴符合题意； 当时， ，解得， ∵，∴不符合题意． ∴方程的解为． 故选：A． 4．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由方程有解，分和两种情况讨论，列出关于m的不等式进行求解 【详解】分两种情况讨论： ①若，则方程可化为， 移项并合并同类项，得 ∵原方程有解， ∴， 即，或， ∴或； ②若，则方程可化为， 移项并合并同类项，得 ∵原方程有解，∴， 即，， ∴； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是先分类讨论x的取值再求m的取值范围． 5．已知关于x的方程有三个解，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程．根据题意得：，根据绝对值的定义，结合已知条件列出关于a的一元一次方程，求解之后判断答案即可； 【详解】解；根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，，， ∵关于x的方程有三个解，则有两个相等， 显然，不成立， 若，得到（舍去）； 若，得到，，（舍去）； 若，得到，，，（符合题意）； 若，得到，，（舍去）； 故答案为：． 6．设，，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，即，由绝对值的代数意义分情况讨论去掉绝对值，解方程即可得到答案． 【详解】解：，，当时， ，即， 当时，，则，即，解得； 当时，，则恒成立，即； 当时，，则，即，解得； 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查含绝对值方程的解法，熟记绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键． 7．记，则方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查化简绝对值，解一元一次方程．根据新定义，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：当时，，此时， 当时，， 当时，，此时， ∴当时：，解得：； 当时：，不符合题意； 当时：，解得：． 故答案为：或． 8．已知关于的方程． (1)若方程与关于的方程有相同的解，求的值； (2)若方程的解是正整数，直接写出正整数的值是____________． 【答案】(1) (2)3或8 【分析】（1）分别解两个方程，根据方程的解相同，列式计算即可； （2）用含的代数式表示出方程的解，根据方程的解是正整数，确定的值即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得，， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化1，得：； ， 去小括号，得：， 去中括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化1，得：； ∵两个方程的解相同， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知：， ∵方程的解是正整数， ∴能被整除， 又∵为正整数， ∴或， 解得：或； 故答案为：3或8． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母的时候，不要漏乘，去括号，移项时，注意符号的变换． 9．已知代数式，其中为常数，当时，时，． (1)求的值； (2)关于的方程的解为，求的值． (3)当时，求式子的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3 【分析】（1）将时，代入代数式A，然后再化简即可解答； （2）将代入方程得到：，再将时代入代数式B得到：，然后将上面两个等式通过整理变形即可求出k值； （3）先分别求出A、B、E，再代入所求的代数式计算即可． 【详解】（1）解：将时，代入代数式A，可得：，即． （2）解：由题意可知：当时， ， 整理得①， 将时代入代数式B得到：， 整理得：②， 将②式代入①中可得：， 整理得，解得：． （3）解：∵，， ∴，整理得：， ∵， ∴ ∴当时，， ，， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的加减涉及到一元一次方程的解等知识点，掌握整体思想成为解答本题的关键． 10．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 11．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 数轴上表示5和2的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)数轴上1和的距离是 ；如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则 ． (3)当 时，的值最小，最小值是 ． (4)若式子，则的最大值是 ． 【答案】(1)4，或1 (2)6 (3)1，7 (4)5 【分析】（1）两数之差的绝对值即为两点间距离，由此求解即可； （2）根据a的取值范围判断和的正负，去绝对值，即可求解； （3）将看成表示数a的点到几个点的距离之和，结合数轴即可求解； （4）同（3），先确定和的最小值，及取最小值时x和y的取值范围，结合已知式子确定x的最大值，y的最小值，代入求解即可． 【详解】（1）解：数轴上1和的距离是， 表示数a和的两点之间的距离是3，则， 即或， 解得或， 故答案为：4，或1； （2）解：表示数a的点位于与2之间， ， ，， ， 故答案为：6； （3）解：， 因此原式表示数a到，1，4三点的距离之和， 结合数轴可知， 当时，， 当或时，的值均大于7， 因此时，取最小值，最小值为7， 又当时，， 当时，的值最小，最小值是7；故答案为：1，7； （4）解：，表示数x到，2的距离之和， ，表示数y到，4的距离之和， 同（3）可知，当时，的值最小，最小值为， 当时，的值最小，最小值为， ， ，， 当x取最大值2，y取最小值时，取最大值，最大值为． 故答案为：5 【点睛】本题考查数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，整式的加减运算，理解数轴上两点间的距离与绝对值间的关系，运用数形结合的方法是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 一元一次方程特殊解法的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、含绝对值方程类型 类型二、根据一元一次方程解求参数 类型三、裂项法解一元一次方程 类型四、整体代换法解一元一次方程 类型五、新定义问题 压轴专练 类型一、含绝对值方程类型 例1-1．解方程：． 例1-2．若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 变式1-1．解方程：． 变式1-2．已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 变式1-3．已知关于的方程有四个解，化简． 类型二、根据一元一次方程解求参数 例2．若不论k取什么数，关于x的方程（m、n是常数）的解总是．则的值是（     ） A． B． C． D．15 变式2-1．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 变式2-2．k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 变式2-3．若不论取什么数，关于的方程（、是常数）的解总是，求的值． 变式2-4．(1)已知关于的一次方程无解，则的值为 ． (2)如果、为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，那么 ， ． (3)若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 类型三、裂项法解一元一次方程 例3．解方程 变式3．解方程： (1) (2) 类型四、整体代换法解一元一次方程 例4．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 变式4-1．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 变式4-2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 类型五、一元一次方程新定义问题 例5．定义：若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”. (1)判断当时是否为方程的“友好系数”，写出判断过程； (2)方程“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由． 变式5-1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 变式5-2．若关于的方程（a≠0）的解与关于y的方程（c≠0）的解满足，则称方程（a≠0）与方程（c≠0）是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”． (1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于y的方程是“美好方程”，请求出k的值； (3)若无论取任何有理数，关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“美好方程”，求的值． 变式5-3．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 1．的解为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 4．若关于的方程有解，则实数的取值范围是 ． 5．已知关于x的方程有三个解，则 . 6．设，，当时，的取值范围是 ． 7．记，则方程的解为 ． 8．已知关于的方程． (1)若方程与关于的方程有相同的解，求的值； (2)若方程的解是正整数，直接写出正整数的值是____________． 9．已知代数式，其中为常数，当时，时，． (1)求的值； (2)关于的方程的解为，求的值． (3)当时，求式子的值． 10．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 11．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 数轴上表示5和2的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (1)数轴上1和的距离是 ；如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与2之间，则 ． (3)当 时，的值最小，最小值是 ． (4)若式子，则的最大值是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$