精品解析：山东省济宁市泗水县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年第二学期期末质量监测 八年级数学试题 （测试时间：120分钟 满分：100分） 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 3. a、b、c为△ABC三边，不是直角三角形的是（　　） A. a2 = c2﹣b2 B. a=6，b=10，c=8 C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 D. ∠A=∠B -∠C 4. 一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 5. 下图中，图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 为拓展学生的时政视野，锻炼学生的辩证思维能力与逻辑表达能力．某学校举办了“家国天下——时政达人秀”时事述评比赛．下面是根据9位评委的打分制作的表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.6 8.3 8.2 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 如图，点是平行四边形边上一动点，的路径移动，设点经过的路径长为x，的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在边长为的正方形中，点、点分别是上的点，连接，满足．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 13. 函数有意义的条件是______________． 14. 已知一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移个单位得到的，则______． 15. 如图，已知直线经过正方形的顶点，分别过顶点作于点于点．若，，则___________． 16. 如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为________． 17. 如图，在中，，，D是边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长的最小值为________． 18. 如图，正方形，，，按其所示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是______________． 三、解答题（本大题共7个小题，共58分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时，并测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）求的长； （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 21. 《人民日报》2025年1月16日消息，1000多万外卖骑手已成为城市的日常风景，形成了一个规模庞大的新就业群体．小韩和数学兴趣小组的8位同学对甲、乙两家大型外卖配送公司骑手的月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的10名配送员月收入情况（单位：千元）如图所示． 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均数/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 甲公司 6 6 c 乙公司 4 7.6 （1）填空：________，________，________，________． （2）小韩的表哥计划从两家公司中选择一家做外卖骑手，如果你是小韩，你建议他选哪家公司？请从平均数、中位数、众数、方差四个角度说出建议依据． 22. 如图，已知△ABC中，∠ABC=90°． （1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母） ①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O； ②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB； ③连接DA、DC． （2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 23. 在一条笔直的公路上依次有三地，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地．甲、乙两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲的骑行速度为_______米/分，点的坐标为_______，乙的步行速度为_______米/分； （2）求乙距地的距离（米）与时间（分钟）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）请求出两人出发后，在甲返途中两人相遇时的时间． 24. 在“一次函数”的课题学习中，某小组从元旦期间甲、乙两家商场的促销信息中发现并提出问题，请将他们分析、解决问题的过程补充完整． 甲商场：所有商品打8折； 乙商场：一次性购物不超过300元不打折，超过300元时，超出的部分打6折． 问题：在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？ 分析问题： （1）设原价为x元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，得到相应的函数解析式： ， （在横线上填写最终结果） （2）按照下表中自变量x的值代入解析式计算，分别得到了，的几组对应值： 元 0 300 600 … 0 480 … 0 300 … 则表格中，______，______； （3）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并补全函数的图象； 解决问题： （4）根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案． 25. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． （1）求点G的坐标，并求直线的解析式； （2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围． （3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期末质量监测 八年级数学试题 （测试时间：120分钟 满分：100分） 第I卷（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，理解最简二次根式的定义是解答关键． 将能化为最简二次根式的进行化简后来进行判定求解． 【详解】解：A．，它不是最简二次根式，故此项不符合题意； B．是最简二次根式，故此项符合题意； C．，它不是最简二次根式，故此项不符合题意； D．，它不是最简二次根式，故此项不符合题意． 故选：B 2. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的性质逐一进行计算即可. 【详解】A. 与不能合并，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，正确， 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式加减法的运算法则以及二次根式的性质是解题的关键. 3. a、b、c为△ABC三边，不是直角三角形的是（　　） A. a2 = c2﹣b2 B. a=6，b=10，c=8 C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5 D. ∠A=∠B -∠C 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用勾股定理的逆定理判断A、B选项，用直角三角形各角之间的关系判断C、D选项． 详解：A、∵a2=b2-c2，∴a2+c2=b2，故本选项正确； B、∵a2：b2：c2=1：2：3，∴令a2=x，则b2=2x，c2=3x， ∵x+2x=3x，∴a2+b2=c2，故本选项正确； C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x， ∵∠A+∠B+∠C=180°，即3x+4x+5x=180°，解得，x=15°， ∴5x=5×15°=75°＜90°，故本选项错误； D、∵∠A=∠B-∠C，∴∠B=∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2（∠A+∠C）=180°，即∠A+∠C=90°，故本选项正确． 故选D． 点睛：本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断． 4. 一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 下图中，图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示： ， 又∵， ， ∵， ∴， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键． 6. 为拓展学生的时政视野，锻炼学生的辩证思维能力与逻辑表达能力．某学校举办了“家国天下——时政达人秀”时事述评比赛．下面是根据9位评委的打分制作的表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.6 8.3 8.2 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数，根据中位数是将数据排序后，位于中间一位或两位的平均数，得到去除两头的数据，不会对中位数造成影响，判断即可． 【详解】解：由题意，表中数据一定不发生变化的是中位数； 故选C． 7. 如图，点是平行四边形边上一动点，的路径移动，设点经过的路径长为x，的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图像，一次函数的图像，平行四边形的性质．注意分段考虑．解题的关键是数形结合的应用．根据题意分三段来考虑，点沿移动，的面积逐渐变大；点沿移动，的面积不变；点沿移动，的面积逐渐减小，据此选择即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于，设，与之间的距离为， 点沿移动，，是定值，则是的一次函数， 且的面积逐渐变大； 点沿移动，，与是定值， 即的面积不变； 点沿移动，，是定值，则是的一次函数， 且的面积逐渐减小； 故选：C． 8. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选A． 9. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出，进而求出． 【详解】是菱形，E为AD的中点， ，． 是直角三角形，． ，， ，． ，即， ，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出并求得．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，依据直线和相交于点，就可得出关于x,y的方程组的解． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B． 11. 如图，在边长为的正方形中，点、点分别是上的点，连接，满足．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长，使，可证，得到，，即可得到，再证明，得到，，则，，在中，由勾股定理可得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，使，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 12. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、轴对称的性质，求一次函数的解析式时常用待定系数法，本题的解题关键是作定点的两个对称点． 作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，则，通过轴对称的性质可求出，待定系数法可求出 的直线方程，结合轴对称的性质可得当，在同一直线上时三角形周长最小，与 联立可求出E的坐标即可． 【详解】解：作 点关于直线的对称点，连接 ，于 轴的对称点 ，则 由题意知，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 故，即 是等腰直角三角形， ∵关于对称， ∴， ∴ 轴，， ∴， 则 的周长， 根据两点之间线段最短可得，当 ， 在同一直线上时，三角形周长最小， 设直线 的解析式为， 则 解得 ， ∴直线 的解析式为， 与直线联立得 ， 解得，， ∴， 故选∶A． 第II卷（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 13. 函数有意义的条件是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 【详解】由二次根式有意义的条件可知，， 即． 故答案为：． 14. 已知一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移个单位得到的，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移法则，表示出沿轴向上平移个单位得到的函数解析式，据此可解决问题，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键． 【详解】解：由题知，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后，所得一次函数的解析式为， 因为一次函数的图象是由一次函数的图象沿轴向上平移个单位得到的， 所以， 故答案为：． 15. 如图，已知直线经过正方形的顶点，分别过顶点作于点于点．若，，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，由正方形的性质得到，，进一步得到，证明，得到，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，熟练运用相关定理是解题的关键． 17. 如图，在中，，，D是边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长的最小值为________． 【答案】9.6 【解析】 【分析】设，交于点O，过点O作于点F，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，如图所示，， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 18. 如图，正方形，，，按其所示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论． 【详解】解：当时，， ， 在正方形中，则， 同理，得：， ， 则点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共58分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用平方差公式，二次根式的性质分别化简二次根式，再合并得出答案； （2）直接利用负整数指数幂以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简二次根式，再合并得出答案． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 20. 洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到处（学生头顶在处），门铃恰好自动响起，此时，并测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）求的长； （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用 ，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）作与点，根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作与点， 四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 【小问2详解】 解：如图，该生继续向前走，到达处，连接， 此时， 在中， ， 此时迎宾门铃距离该生头顶米． 21. 《人民日报》2025年1月16日消息，1000多万外卖骑手已成为城市的日常风景，形成了一个规模庞大的新就业群体．小韩和数学兴趣小组的8位同学对甲、乙两家大型外卖配送公司骑手的月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的10名配送员月收入情况（单位：千元）如图所示． 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均数/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 甲公司 6 6 c 乙公司 4 7.6 （1）填空：________，________，________，________． （2）小韩的表哥计划从两家公司中选择一家做外卖骑手，如果你是小韩，你建议他选哪家公司？请从平均数、中位数、众数、方差四个角度说出建议依据． 【答案】（1）6；4.5；6； （2） 选甲公司．理由如下： ∵甲、乙公司骑手平均月收入相同，甲公司骑手月收入中位数大于乙公司，甲公司骑手月收入众数大于乙公司，甲公司骑手月收入方差小于乙公司，更稳定， 选甲公司． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，方差的定义，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，掌握定义是解题的关键． （1）利用平均数、中位数、众数、方差的定义分别计算后即可确定正确的答案； （2）根据平均数相同，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：乙公司平均月收入， 乙公司的中位数， ∵甲公司“6千元”对应的百分比为， ∴众数， 方差， 故答案为：6；4.5；6；； 【小问2详解】 略 22. 如图，已知△ABC中，∠ABC=90°． （1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母） ①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O； ②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB； ③连接DA、DC． （2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】（1）①如图所示： ②如图所示： ③如图所示： （2）四边形ABCD是矩形， 理由：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC边上的中线， ∴BO=AC， ∵BO=DO，AO=CO， ∴AO=CO=BO=DO， ∴四边形ABCD是矩形． 【解析】 【分析】（1）①利用线段垂直平分线的作法得出即可； ②利用射线的作法得出D点位置； ③连接DA、DC即可求解； （2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系进而得出AO=CO=BO=DO，进而得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查作图—基本作图；矩形的判定． 23. 在一条笔直的公路上依次有三地，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地．甲、乙两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）甲的骑行速度为_______米/分，点的坐标为_______，乙的步行速度为_______米/分； （2）求乙距地的距离（米）与时间（分钟）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）请求出两人出发后，在甲返途中两人相遇时的时间． 【答案】（1）；；60 （2） （3）两人出发后，在甲返途中两人相遇时的时间为两人出发分钟时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，学会结合方程解决问题，注意利用数形结合的思想解答问题． （1）根据路程和时间可得甲的速度，再求出A、B两地之间的距离为米，根据甲去和返回时的时间共计11分，休息了一分，所以一共用了10分钟，可得M的坐标，根据路程和时间可得乙的速度； （2）利用待定系数法求出函数解析式； （3）首先求出所在的直线函数解析式，再根据题意列出方程并解方程即可求出在甲返途中两人相遇时的时间． 【小问1详解】 解：由题意得：甲的骑行速度为：（米/分）， （米），即A、B两地之间的距离为米， 由题意可知甲往返总时间为11分，中间休息一分钟，总共骑行10分钟，所以M的横坐标为6， 则点M的标为； （米/分）， 即乙的步行速度为米/分； 【小问2详解】 解：设乙距地的距离（米）与时间（分钟）之间的函数解析式为， 把代入得， 解得． 故函数解析式为． 【小问3详解】 解：设所在的直线解析式为：． 把代入得， 解得． 故所在的直线函数解析式为． 解得：． 答：两人出发后，在甲返途中两人相遇时的时间为两人出发分钟时． 24. 在“一次函数”的课题学习中，某小组从元旦期间甲、乙两家商场的促销信息中发现并提出问题，请将他们分析、解决问题的过程补充完整． 甲商场：所有商品打8折； 乙商场：一次性购物不超过300元不打折，超过300元时，超出的部分打6折． 问题：在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？ 分析问题： （1）设原价为x元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，得到相应的函数解析式： ， （在横线上填写最终结果） （2）按照下表中自变量x的值代入解析式计算，分别得到了，的几组对应值： 元 0 300 600 … 0 480 … 0 300 … 则表格中，______，______； （3）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并补全函数的图象； 解决问题： （4）根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案． 【答案】（1）； （2），； （3）根据（2）表中数据和（1）解析式画图，如图： （4）如果购买商品原价低于600元，选择甲商场；购买商品原价等于600元，选择甲、乙两商场均可；购买商品原价超过600元，选择乙商场 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是根据相关信息列出函数解析式． （1）根据题意直接写出函数解析式； （2）根据（1）中解析式直接求值即可； （3）根据（2）中数据在坐标系中画出图象即可； （4）根据分析问题中的数据和图象可以直接得出结论． 【详解】（1）设原价为x元，则甲、乙两家商场的购物金额分别y甲元、y乙元， 得到相应的函数解析式：； 当时，， 当时，． ∴； （2）由（1）知，； ； （3）略 （4）从分析问题（3）可知，当购买原价小于600元商品时应选择甲商场购买； 当购买原价等于600元商品时，甲、乙两家商场花费一样多； 当购买原价大于600元商品时应选择乙商场购买． 25. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． （1）求点G的坐标，并求直线的解析式； （2）若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围． （3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）G的坐标为，直线的解析式为；（2）；（3）P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由图形折叠的不变性可得OG的长度，从而可求NG的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入G的坐标，可得直线的解析式； （2）结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围； （3）依据等腰三角形性质的定义，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为； （2）∵直线平行于直线， ，即直线的解析式为， 当直线经过点时，， 解得，， 当直线经过点时，， 解得，， ∴直线与长方形有公共点时，， （3）①当时， 若点P在原点左侧，点P的坐标为， 若点P在原点右侧，点P的坐标为， ②当时， ， ， ， ∴点P的坐标为， ③当时， 可得， 在中，，即， 解得，，点P的坐标为， 综上所述，以为顶点的三角形为等腰三角形时， 点P的坐标为或或或． 【点睛】本题利用图形折叠的不变性，考查了一次函数解析式的求法及一次函数图像的平移，同时考查了等要三角形的定义及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握考查内容并利用数形结合的思想求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $