精品解析：山东省济南市高新区2025-2026年学年八年级下学期期末考试数学试卷

2025－2026学年第二学期八年级学业质量监测 参考样题 数学 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共48分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对A选项，从左到右是整式乘法，结果是多项式和的形式，不属于因式分解， 对B选项，从左到右是整式乘法，结果是多项式和的形式，不属于因式分解， 对C选项，等式右边中是分式，不是整式，因此不属于因式分解， 对D选项，是多项式，变形后是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解. 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 4. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 5. 用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定，的大小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，首先分别求出转盘甲和转盘乙中白色区域占各自圆面积的一半，转换成概率即可得出答案．灵活运用所学的知识是解题的关键． 【详解】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，点在轴上，则菱形的顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质得到对角线垂直平分对角线，求得点A，C的中点坐标是，据此即可求得点的坐标． 【详解】解：如图，连接，， ∵顶点A，C的坐标分别是，， ∴轴， ∵四边形是菱形， ∴对角线垂直平分对角线， ∴顶点A，C的中点坐标是即， ∴点的坐标是． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，即可得到的值. 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ， 即 ， 解得 . 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分化简即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 9. 某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） 年月份销售电车统计图 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，月份的销量为辆，月份的销量为辆， 可列方程． 10. 如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 连接， B. 的最小值为 C. D. 当时，四边形为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证出四边形是菱形即可得A正确；连接，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形的面积公式计算可得B正确；连接，先证出四边形为平行四边形，再得出要使得，则需，由此即可得C错误；连接，先证出，则，再根据矩形的判定可得D正确． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，则说法A正确； 如图，连接， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时有， ∴， 即的最小值为，说法B正确； 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 假设， ∴平行四边形是矩形， ∴，但由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即不成立，说法C错误； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由上已得：四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形，则说法D正确． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 将因式分解为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到的摸到红球的概率建立方程，求解即可得到白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 故估计口袋中白球有个． 13. 如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接，已知，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线的性质得 ，进而根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∵是的中线， ∴． 14. 如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，点到点的距离为6，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】由平移的性质得，进而求出结论 【详解】解：连接，则， 由平移的性质得， ∵， ∴． 15. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式可以求出，根据三角形中线的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可知． 【详解】解：，，， ， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成下列各题： （1）因式分解：． （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把能够分解因式的分子或分母分解因式，再约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：移项得 配方得，即 ∴ ∴； 【小问2详解】 解： 经检验，是原方程的解, 所以，原分式方程的解是． 18. 如图，在四边形中，，垂足分别为点B、D，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由已知条件易证，根据全等三角形的性质得到，由两组对边相等的四边形是平行四边形可得到结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形． 19. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）以点O为对称中心，画出与成中心对称的； （2）以点O为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 【答案】（1） （2）两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好用画树状图或列表法计算概率是解题关键． （1）根据概念计算公式进行求解即可； （2）先将所有可能结果用表格形式列出，根据表格计算概率． 【小问1详解】 解：小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二次 第一次 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为． 21. 如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都和点G重合，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点B，D恰好都和点G重合， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，于是得到，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）根据，得到，根据勾股定理得到的长，进而得到即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜．某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元．已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元． （1）求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元? （2）若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元．A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元．请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元 （2）再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元 【解析】 【分析】（1）设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元，根据购进两种蜜桃的数量相等，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克，根据且总费用不超过1100元，列出不等式求出的取值范围，设总利润为w元，列出一次函数解析式，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元， 由题意得 解得 经检验是所列方程的根，且符合题意． ∴ 答：每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元． 【小问2详解】 解：设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克， 由题意得， 解得． 设总利润为w元， 由题意得 ∵， ∴w随m增大而减小． ∴当时，，此时． ∴再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元． 23. 分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： （1）； （2）； 【应用】 （3）若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 24. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）10或 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，理解定义是解题关键． （1）根据“等角线四边形”的定义即可判断； （2）连接、，根据正方形的性质，证明，即可得证； （3）根据题意求出、、，根据题意，分两种情况：Ⅰ当点在的上方时，连接；Ⅱ当点在的下方时，连接，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理及三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意； ②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意； ③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意； ④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）证明：如图，连接、， 四边形是正方形， ，， ， ， ∴， ， 四边形是等角线四边形． （3）解：，，， ， 点为线段中点，点为线段的垂直平分线上异于E点的一动点， 是的垂直平分线， ， 根据题意，分两种情况： Ⅰ当点在的上方时，如图，连接， 四边形为等角线四边形， ， ， ． Ⅱ当点在的下方时，如图，连接，过点作，交的延长线于点， ， ，， 四边形是矩形， ，， 四边形为等角线四边形， ． ， ， ， 综上，这个等角线四边形的面积为10或． 25. 综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形中，为对角线，，，将菱形绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位：），旋转后的菱形为，在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决． 观察证明： （1）如图1，若旋转角，与相交于点M，与相交于点N，请写出与的数量关系，并说明理由； 操作计算： （2）如图2，连接，菱形旋转的过程中，当与互相垂直时，的长为 ； （3）如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接，菱形旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段，请求出长度． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得到，则，由旋转的性质可得，，，证明，即可得到； （2）连接交于点O，证明是等边三角形，，可求出，得到；证明，得到三点共线，则可得到； （3）连接，证明是等边三角形，得到；可证明，，由三线合一定理得到，则为的中位线，据此可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； 【小问3详解】 解：如图3所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期八年级学业质量监测 参考样题 数学 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共48分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定，的大小 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，点在轴上，则菱形的顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 9. 某厂家年月份销售的电车数量如图所示．若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为，根据题意可得方程（ ） 年月份销售电车统计图 A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（ ） A. 连接， B. 的最小值为 C. D. 当时，四边形为矩形 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 将因式分解为________． 12. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 13. 如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接，已知，则的长为______． 14. 如图，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，若，点到点的距离为6，则______． 15. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积是__________ ． 三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成下列各题： （1）因式分解：． （2）计算：． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，，垂足分别为点B、D，．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，的各顶点坐标分别为． （1）以点O为对称中心，画出与成中心对称的； （2）以点O为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的 20. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 21. 如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边上，将分别沿折叠，点B，D恰好都和点G重合，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的长度． 22. 济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜．某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元．已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元． （1）求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元? （2）若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元．A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元．请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润． 23. 分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： （1）； （2）； 【应用】 （3）若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 24. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 25. 综合与实践： 问题情境：在一次综合实践活动课上，同学们以菱形为对象，研究菱形旋转中的问题：已知，在菱形中，为对角线，，，将菱形绕顶点A顺时针旋转，旋转角为（单位：），旋转后的菱形为，在旋转探究活动中提出下列问题，请你帮他们解决． 观察证明： （1）如图1，若旋转角，与相交于点M，与相交于点N，请写出与的数量关系，并说明理由； 操作计算： （2）如图2，连接，菱形旋转的过程中，当与互相垂直时，的长为 ； （3）如图3，若旋转角，分别连接，，过点A分别作，，连接，菱形旋转的过程中，发现在中存在长度不变的线段，请求出长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $