2.2平方根与立方根 预习学案 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第二章 实数 2. 平方根与立方根 知识点预习 1. 平方根（核心突破） 背景回顾：乘方运算：已知底数和指数，求幂（如 5² = 25）。 逆问题：已知幂和指数，求底数（如 ，求 x）。 2. 平方根的定义： 如果 一个数 x 的平方等于 a，即，那么这个数 x 就叫做 a 的 平方根（或二次方根）。 符号表示： a 的平方根记作 （读作"正负根号 a"）。 关键特征： 一个正数 a 有两个平方根，它们互为相反数（即和 ）； 0 的平方根是 0（即 = 0）；负数没有平方根（因为任何实数的平方都是非负数）。 3. 算术平方根的定义： 正数 a 的正的平方根 ，叫做 a 的 算术平方根。 符号表示：（读作"根号 a"），强调其非负性（ ≥ 0）。 零： 0 的算术平方根是 0（即 √0 = 0）。 关键区别： 平方根：包含正负两个值（0除外），例如 25 的平方根是 ±5。 算术平方根：只取非负的那个值，例如 25 的算术平方根是 5。 4. 开平方运算： 求一个数 a 的平方根的运算，叫做 开平方。 开平方是平方运算的逆运算。 5. 重要关系： ( )² = a (a ≥ 0)； = |a|（对任何实数 a） 6. 立方根的定义： 如果 一个数 x 的立方等于 a，即 ，那么这个数 x 就叫做 a 的 立方根（或三次方根）。 符号表示： a 的立方根记作 （读作"三次根号 a"）。 关键特征：任何实数 a 都有唯一一个立方根；正数的立方根是正数； 0 的立方根是 0（即 = 0）；负数的立方根是负数。 7. 开立方运算： 求一个数 a 的立方根的运算，叫做 开立方。 开立方是立方运算的逆运算。 重要关系： ( )³ = a； = a（对任何实数 a） 8. 平方根与立方根的表示与性质对比 特征 平方根 (或 ) 立方根 ( ) 定义 a > 0 两个值 ( > 0, < 0) 一个值 ( > 0) a = 0 一个值 (= 0) 一个值 = 0) a < 0 无实数平方根 一个值 ( < 0) 运算名称 开平方 开立方 逆运算 平方 立方 重要恒等式1 ()² = a (a ≥ 0) ( )³ = a 重要恒等式2 = |a| = a 符号表示特点 隐含非负性 符号与 a 同 9. 平方根与立方根的估算 估算原理： 利用已知的完全平方数或完全立方数作为基准。 方法（夹逼法）： 平方根： 找到两个连续整数 m 和 n (m < n)，使得，则 在 m 和 n 之间。进一步确定小数部分。 立方根： 找到两个连续整数 m 和 n (m < n)，使得 ，则 在 m 和 n 之间。进一步确定小数部分。 应用： 解决实际问题，判断无理数的大致范围。 10. 用计算器求平方根和立方根 掌握计算器上平方根和立方根功能键的使用。 能利用计算器求任意非负数的算术平方根和任意实数的立方根（精确到指定位数）。 11. 总结： 第二节《平方根与立方根》是实数理论的核心运算基础。核心在于引入平方根（特别是算术平方根）和立方根的概念，明确其定义、性质、符号表示及关键恒等式。学生必须清晰区分平方根的双值性与算术平方根的非负性，理解立方根的唯一性及符号规则。掌握开平方、开立方作为逆运算的本质，并能利用恒等式进行化简计算是本节的关键技能。学习估算方法和使用计算器增强了解决实际问题的能力。这些概念和运算不仅巩固了实数体系，更是后续学习二次根式、解一元二次方程、函数等内容的基石。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．36的平方根是（　　） A．6 B．±6 C．﹣6 D．18 2．25的算术平方根是5，可以用式子表示为（　　） A． B． C． D． 3．27的立方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±9 4．下列说法不正确的是（　　） A．﹣8的立方根是﹣2 B． C．的平方根是±3 D．0没有算术平方根 5．如图是一个程序图，当输入的x为81时，输出的实数是（　　） A． B．9 C．3 D． 6．如果x的立方根是3，那么x的值为（　　） A．3 B．9 C． D．27 7．已知，，，则的值约是（　　） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 8．若，则a+b的相反数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 9．若3﹣2a与5是同一个正数的两个不相等的平方根，则a的值为（　　） A．﹣11 B．﹣1 C．4 D．14 10．下列说法中正确的有（　　） ①0的算术平方根是0； ②﹣7是（﹣7）2的平方根； ③16的平方根是4； ④1的立方根是1； ⑤﹣4的平方根是±2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题预习（24分） 11．的平方根是　 　 ． 12．已知x3﹣2＝25，则x＝　 　 ． 13．已知a，b是两个连续整数，且ab，则a+b＝　 　 ． 14．比较大小　 　 ． 15．已知a的立方根是﹣1，b的算术平方根是3．则5a+b的平方根为　 　 ． 16．已知，则（a+b）2025的值为　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．已知2a+3是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，求a的值． 18．已知数a，b，c满足，请求2a﹣b+c的值． 19．已知2m+1的算术平方根是，m+2n的立方根是2，求2m+7n的平方根． 20．根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 （1）275.56的平方根是 　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）设的整数部分为a，求a﹣42的立方根． 21．如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是　 　 ； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？ 22．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　 　 位数； ②它的立方根的个位数字是　 　 ； ③19683的立方根是　 　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第二章 实数 2. 平方根与立方根 知识点预习 1. 平方根（核心突破） 背景回顾：乘方运算：已知底数和指数，求幂（如 5² = 25）。 逆问题：已知幂和指数，求底数（如 ，求 x）。 2. 平方根的定义： 如果 一个数 x 的平方等于 a，即，那么这个数 x 就叫做 a 的 平方根（或二次方根）。 符号表示： a 的平方根记作 （读作"正负根号 a"）。 关键特征： 一个正数 a 有两个平方根，它们互为相反数（即和 ）； 0 的平方根是 0（即 = 0）；负数没有平方根（因为任何实数的平方都是非负数）。 3. 算术平方根的定义： 正数 a 的正的平方根 ，叫做 a 的 算术平方根。 符号表示：（读作"根号 a"），强调其非负性（ ≥ 0）。 零： 0 的算术平方根是 0（即 √0 = 0）。 关键区别： 平方根：包含正负两个值（0除外），例如 25 的平方根是 ±5。 算术平方根：只取非负的那个值，例如 25 的算术平方根是 5。 4. 开平方运算： 求一个数 a 的平方根的运算，叫做 开平方。 开平方是平方运算的逆运算。 5. 重要关系： ( )² = a (a ≥ 0)； = |a|（对任何实数 a） 6. 立方根的定义： 如果 一个数 x 的立方等于 a，即 ，那么这个数 x 就叫做 a 的 立方根（或三次方根）。 符号表示： a 的立方根记作 （读作"三次根号 a"）。 关键特征：任何实数 a 都有唯一一个立方根；正数的立方根是正数； 0 的立方根是 0（即 = 0）；负数的立方根是负数。 7. 开立方运算： 求一个数 a 的立方根的运算，叫做 开立方。 开立方是立方运算的逆运算。 重要关系： ( )³ = a； = a（对任何实数 a） 8. 平方根与立方根的表示与性质对比 特征 平方根 (或 ) 立方根 ( ) 定义 a > 0 两个值 ( > 0, < 0) 一个值 ( > 0) a = 0 一个值 (= 0) 一个值 = 0) a < 0 无实数平方根 一个值 ( < 0) 运算名称 开平方 开立方 逆运算 平方 立方 重要恒等式1 ()² = a (a ≥ 0) ( )³ = a 重要恒等式2 = |a| = a 符号表示特点 隐含非负性 符号与 a 同 9. 平方根与立方根的估算 估算原理： 利用已知的完全平方数或完全立方数作为基准。 方法（夹逼法）： 平方根： 找到两个连续整数 m 和 n (m < n)，使得，则 在 m 和 n 之间。进一步确定小数部分。 立方根： 找到两个连续整数 m 和 n (m < n)，使得 ，则 在 m 和 n 之间。进一步确定小数部分。 应用： 解决实际问题，判断无理数的大致范围。 10. 用计算器求平方根和立方根 掌握计算器上平方根和立方根功能键的使用。 能利用计算器求任意非负数的算术平方根和任意实数的立方根（精确到指定位数）。 11. 总结： 第二节《平方根与立方根》是实数理论的核心运算基础。核心在于引入平方根（特别是算术平方根）和立方根的概念，明确其定义、性质、符号表示及关键恒等式。学生必须清晰区分平方根的双值性与算术平方根的非负性，理解立方根的唯一性及符号规则。掌握开平方、开立方作为逆运算的本质，并能利用恒等式进行化简计算是本节的关键技能。学习估算方法和使用计算器增强了解决实际问题的能力。这些概念和运算不仅巩固了实数体系，更是后续学习二次根式、解一元二次方程、函数等内容的基石。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．36的平方根是（　　） A．6 B．±6 C．﹣6 D．18 【解答】解：∵（±6）2＝36， ∴36的平方根是±6， 故选：B． 2．25的算术平方根是5，可以用式子表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵52＝25， ∴25的算术平方根是5，用式子表示为， 故选：C． 3．27的立方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±9 【解答】解：∵33＝27， ∴27的立方根是3． 故选：A． 4．下列说法不正确的是（　　） A．﹣8的立方根是﹣2 B． C．的平方根是±3 D．0没有算术平方根 【解答】解：A、﹣8的立方根是2，故该项正确，不符合题意； B、±2，故该项正确，不符合题意； C、的平方根是±3，故该项正确，不符合题意； D、0的平方根是0，故该项不正确，符合题意； 故选：D． 5．如图是一个程序图，当输入的x为81时，输出的实数是（　　） A． B．9 C．3 D． 【解答】解：当输入的x为81时，其算术平方根为9，它是有理数，返回继续运算， 9的算术平方根为3，它是有理数，返回继续运算， 3的算术平方根为，它是无理数，输出结果， 故选：A． 6．如果x的立方根是3，那么x的值为（　　） A．3 B．9 C． D．27 【解答】解：∵x的立方根是3， ∴x＝33＝27， 故选：D． 7．已知，，，则的值约是（　　） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【解答】解：∵， ∴3.255×10≈32.55． 故选：B． 8．若，则a+b的相反数是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【解答】解：由原式得：a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴a+b＝﹣1+2＝1的相反数为：﹣1； 故选：D． 9．若3﹣2a与5是同一个正数的两个不相等的平方根，则a的值为（　　） A．﹣11 B．﹣1 C．4 D．14 【解答】解：根据题意得，3﹣2a+5＝0， 解得a＝4． 故选：C． 10．下列说法中正确的有（　　） ①0的算术平方根是0； ②﹣7是（﹣7）2的平方根； ③16的平方根是4； ④1的立方根是1； ⑤﹣4的平方根是±2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根据负数没有平方根，正数的立方根是正数，0的算术平方根是0进行逐项分析判断如下： 依题意，0的算术平方根是0，故①是正确的； 因为（﹣7）2＝49， ﹣7是49的平方根，故②是正确的； 16的平方根是±4，故③是不正确的； 1的立方根是1，故④是正确的； 负数没有平方根，故⑤是不正确的； 故选：C． 二、填空题预习（24分） 11．的平方根是　±3　 ． 【解答】解：9， ∵（±3）2＝9， ∴9的平方根是±3， 故答案为：±3． 12．已知x3﹣2＝25，则x＝　3　 ． 【解答】解：已知x3﹣2＝25， 则x3＝27， 那么x＝3， 故答案为：3． 13．已知a，b是两个连续整数，且ab，则a+b＝　9　 ． 【解答】解：∵， ∴45， ∴a＝4，b＝5， ∴a+b＝9． 故答案为：9． 14．比较大小　＞　 ． 【解答】解：∵， ， ∴． 故答案为：＞． 15．已知a的立方根是﹣1，b的算术平方根是3．则5a+b的平方根为　±2　 ． 【解答】解：由条件可知a＝﹣1，b＝9， ∴5a+b＝﹣5+9＝4， ∴5a+b的平方根为． 故答案为：±2． 16．已知，则（a+b）2025的值为　﹣1　 ． 【解答】解：由条件可得a﹣3＝0，b+4＝0， 解得：a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1， 故答案为：﹣1． 三、解答题预习（46分） 17．已知2a+3是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，求a的值． 【解答】解：设它的一个平方根是m（m＞0）， 则另一个平方根是﹣m， 根据题意得m﹣（﹣m）＝2， 解得m＝1， ∴2a+3＝12＝1， ∴a＝﹣1． 18．已知数a，b，c满足，请求2a﹣b+c的值． 【解答】解：∵， ∴a﹣3＝0，b+2＝0，c﹣1＝0， ∴a＝3，b＝﹣2，c＝1， ∴2a﹣b+c＝2×3﹣（﹣2）+1＝9． 19．已知2m+1的算术平方根是，m+2n的立方根是2，求2m+7n的平方根． 【解答】解：∵2m+1的算术平方根是， ∴2m+1＝5， ∴m＝2， ∵m+2n的立方根是2， ∴m+2n＝8， ∴2+2n＝8， ∴n＝3， ∴2m+7n＝2×2+7×3＝25， ∵25的平方根是±5， ∴2m+7n的平方根是±5． 20．根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 （1）275.56的平方根是 　±16.6　 ，　16.1　 ，　1.67　 ； （2）设的整数部分为a，求a﹣42的立方根． 【解答】解：（1）根据表格，x2等于275.56时对应的x为16.6， ∵±16.6的平方都等于275.56， ∴275.56的平方根是±16.6； 同理可得，， 故答案为：±16.6；16.1；1.67； （2）由． ∴， 故a＝167． 则a﹣42＝167﹣42＝125， ∴125的立方根为：5． 21．如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是　20cm　 ； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？ 【解答】解：（1）大正方形的边长是20（cm）； 故答案为：20cm； （2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm， 则4x•3x＝360， 解得：x， 4x＝420， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2． 22．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　两　 位数； ②它的立方根的个位数字是　7　 ； ③19683的立方根是　27　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【解答】解：（1）①∵， ∵1000＜19683＜1000000， ∴10100， ∴能确定19683的立方根是个两位数． ②19683的个位数是3， ∵73＝343，能确定59319的立方根的个位数是7． ③若划去19683后面的三位683得到数19， 而， 则23， ∴2030， 由此确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． 故答案为：①两；②7；③27； （2）①∵， ∵1000＜110592＜1000000， ∴10100， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ②19683的个位数是2， ∵83＝512，能确定110592的立方根的个位数是8． ③若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则45， ∴4050， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 学科网（北京）股份有限公司 $$