2.4 曲线与方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．方程y＝－表示的曲线是(　　) A．一条射线　　　　　 B．一个圆 C．两条射线 D．一个半圆 解析：D　[由方程知y≤0，将方程两边平方得y2＝12－x2，即x2＋y2＝12，(y≤0)，故该方程表示的曲线是圆的一部分，即一个半圆．故选：D.] 2．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中是真命题的为(　　) A．方程f(x，y)＝0表示的曲线是C B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程 C．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 解析：C　[因为命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的逆否命题是：方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C命题，又“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，所以命题“方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C”是真命题．] 3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　) 解析：B　[由x＋|y－1|＝0可知曲线过点(－1,0)，(－1,2)，所以只有选项B正确．] 4．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝3 B．x2＋2xy＝1(x≠±1) C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0) 解析：B　[设动点P(x，y)，∵kPA＋kPB＝－1， ∴＋＝－1，整理得x2＋2xy＝1(x≠±1)．] 5．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则(　　) A．曲线E经过坐标原点 B．曲线E关于x轴对称 C．曲线E关于y轴对称 D．若点(x，y)在曲线E上，则－3≤x≤3 解析：BCD　[设P(x，y)，由已知，|PF1||PF2|＝8，即×＝8，平方得，(0,0)不满足方程，故选项A错误；用(x，－y)换(x，y)，方程不变，所以曲线E关于x轴对称，故B正确；同理用(－x，y)换(x，y)，方程不变，所以曲线E关于y轴对称，故C正确；令y＝0，得(x＋1)2(x－1)2＝64，即x2－1＝8，所以x＝±3，故－3≤x≤3，D正确．故选：B、C、D.] 6．直线y＝kx＋1与y＝2kx－3(k为常数，且k≠0)交点的轨迹方程是　__________　. 解析：y＝kx＋1与y＝2kx－3联立，消去k，得y＝5.由y＝kx＋1＝5，得kx＝4.∵k≠0，∴x≠0. 故所求的轨迹方程为y＝5(x≠0)． 答案：y＝5(x≠0) 7．以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0，λ≠1)的动点M的轨迹，若已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足＝，此时阿波罗尼斯圆的方程为　______　. 解析：设M(x，y)，由于＝，根据两点间的距离公式得＝，整理得x2＋y2－12x＋4＝0. 答案：x2＋y2－12x＋4＝0 8．圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上． (1)求圆C的方程； (2)P为圆C上的任意一点，定点Q(8,0)，求线段PQ中点M的轨迹方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝＝－1， 所以AB的垂直平分线m的斜率为1. AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝，y＝＝. 因此，直线m的方程为y－＝1×.即x－y－1＝0. 又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点．联立方程组 ，解得 所以圆心坐标为C(3,2)，又半径r＝|CA|＝， 则所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13. (2)设线段PQ的中点M(x，y)，P(x0，y0) M为线段PQ的中点，则， 解得 P(2x－8,2y)代入圆C中得(2x－8－3)2＋(2y－2)2＝13， 即线段PQ中点M的轨迹方程为2＋(y－1)2＝. [能力提升练] 9．方程x2y2＝1的曲线是(　　) 解析：D　[由题意，方程x2y2＝1，可化为xy＝1或xy＝－1，即y＝或y＝， 根据反比例函数的性质，即可得选项D为函数x2y2＝1的图像．] 10．(多选题)在平面直角坐标系中，曲线C上任意一点P与两个定点A(－2,0)和B(2,0)连线的斜率之和恒等于2，则关于曲线C的结论正确的是(　　) A．曲线C是轴对称图形 B．曲线C上所有的点都在圆x2＋y2＝2外 C．曲线C是中心对称图形 D．曲线C上所有点的横坐标的绝对值都大于2 解析：BC　[设P(x，y)，依题意有＋＝2，整理，得x2＝xy＋4，于是曲线C的方程为y＝x－(x≠0，x≠±2)，所以曲线C不是轴对称图形，而是中心对称图形，原点是它的对称中心，因此A选项错误，C选项正确；又因为x2＋y2＝x2＋2＝2x2＋－8≥2－8＝8－8>2，所以曲线C上所有的点都在圆x2＋y2＝2外，故B选项正确；代入点(1，－3)，得－3＝1－，所以点(1，－3)在曲线C上，但其横坐标的绝对值不大于2，故D选项错误．故选：B、C.] 11．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹方程是　______　. 解析：由直线的两点式方程得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度为|AB|＝＝5.设点C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.故答案为：4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0. 答案：4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 12．动点P到两定点A(－a,0)，B(a,0)(a>0)距离之比为|PA|∶|PB|＝2∶1. (1)求点P的轨迹方程； (2)点P在什么位置时，△ABP的面积最大？ 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 则∶＝2∶1， 化简得：3x2＋3y2－10ax＋3a2＝0，即为点P的轨迹方程； (2)S△PAB＝|AB|·|yP|＝a|yP|， 因为S＝a2·y＝a2·， 所以当x＝时，S取得最大值为， 所以S△PAB的最大值为a2，这时点P的坐标为. [素养培优练] 13．直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝1＋仅有一个公共点，则实数k的的取值范围是　________　. 解析：如图，由题知曲线y＝1＋即x2＋(y－1)2＝4，表示以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线y＝1上方，直线y＝k(x－2)＋4恒过点(2,4)，因为直线与曲线只有一个交点， 由圆心到直线的距离等于半径得＝2，解得k＝，由图，当直线经过点(－2,1)时，直线的斜率为＝，当直线经过点(2,1)时，直线的斜率不存在，综上，实数k的取值范围是k＝，或k>，故答案为∪. 答案：∪ 14．已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状． 解：如图所示，设直线MN切圆于N点，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝λ|MQ|}(λ>0)． 因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)，则λ2[(x－2)2＋y2]＝x2＋y2－1， 整理，得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0，当λ＝1时，方程化为x＝，它表示一条直线； 当λ≠1时，方程化为2＋y2＝，它表示圆心为，半径为的圆． 学科网（北京）股份有限公司 $$