2.4 曲线与方程（第2课时）（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“曲线与方程”核心内容，涵盖求曲线方程步骤及由方程研究曲线性质。通过复习直线、圆的方程知识，以“如何由几何条件求方程”“如何由方程研究曲线”为问题导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以“特例铺路+互动探究”驱动教学，如通过两垂直直线距离乘积为1的曲线方程实例，结合直接法、定义法等多种求轨迹方法，培养学生数学眼光（几何抽象）、数学思维（逻辑推理）与数学语言（方程表达）。小结“五步法”及易错提醒助学生系统掌握，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第二章 平面解析几何 2.4 曲线与方程（2） 2.4曲线与方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 能根据曲线的已知几何条件，熟练掌握求曲线（动点轨迹）方程的一般步骤，会求简单轨迹方程，注意检验轨迹的完备性与纯粹性。能根据曲线的方程，从范围、对称性、与坐标轴交点等角度研究曲线的几何性质，会求两条曲线的交点。 重点：求曲线方程的步骤；由方程研究曲线性质 难点：轨迹方程中剔除不符合条件的点（纯粹性、完备性） 骑车情境 上一节课我们学习了曲线与方程的概念，明确：曲线上所有点的坐标都满足方程；以方程的解为坐标的点都在曲线上，曲线和方程实现了几何对象和代数等式的对应。 前面学直线、圆的时候：已知直线几何特征我们写出直线方程；拿到圆的方程，可以读出圆心、半径，画出图形。 那对于一般曲线： ① 如果只知道动点满足的几何条件，怎样写出它的方程？ ② 如果拿到陌生曲线的方程，我们又该怎么认识这条曲线长什么样、有什么特点？ 这就是本节课我们要解决的两个核心问题：由条件求曲线方程，由方程研究曲线性质。 目标一：求曲线的方程 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 从直线、圆以及上述内容中可以看出，得到曲线的方程之后，可以借助方程来研究曲线的性质以及曲线之间的关系等．因此，如何得到曲线的方程是用这种方法解决问题的第一步 思考: 已知 是平面内两条互相垂直的直线, 且曲线 C 是到 的距离的乘积等于 1 的点组成的集合. 建立适当的平面直角坐标系, 写出曲线 C 的方程; 如果以 与 分别为 x 轴与 y 轴建立平面直角坐标系, 设 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 则 P 到 x 轴的距离为 , 到 y 轴 的距离为 . 因此 P(x,y) 在曲线 C 上的充要条件是 =1 ② 因此, ② 就是曲线 C 的方程. 5 求曲线方程的步骤： 建系 建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标 写集合 写出适合条件的点的集合P={M|p(M)} 列方程 用坐标表示条件，列出方程 化简 化方程为最简形式 说明 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 求曲线方程的步骤： 上面步骤简记为。 建立坐标系的基本原则： (1)让尽量多的点落在坐标轴上； (2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴。 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要步骤，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形可以以对称中心为原点建系；轴对称图形可以以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边所在直线作为坐标轴建系等。 已知在 2a(a>0), 求直角顶点 C 的轨迹方程。 对点体验 答 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为坐标原点,建立如图 所示的平面直角坐标系,则有 A(-a,0),B(a,0),设顶点 C(x,y)。 方法一:由 ABC是直角三角形可知,即,化简得。依题意可知,,故所求直角顶点C的轨迹方程 方法二: ABC 是直角三角形可知 AC⊥BC, 所以 ⋅=-1 (直线 AC,BC 的斜率是显然存在的), 则 化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 。 目标二：由方程研究曲线的性质 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 思考: 已知 是平面内两条互相垂直的直线, 且曲线 C 是到 的距离的乘积等于 1 的点组成的集合. (2) 根据曲线 C 的方程, 说出曲线 C 具有的性质, 然后作出曲线 C (1) x=0 或 y=0 时, 方程 ② 不可能成立, 这说明曲线 C 与两坐标轴都没有交点. =1 (2) 如果 (x,y) 是方程 ② 的一组解, 则 (-x,y) 也是方程 ② 的一组解,又因为 (-x,y) 与 (x,y) 关于 y 轴对称,这说明曲线 C 关于 y 轴对称. 类似地, 可知曲线 C 关于 x 轴以及原点都对称. (3) 由于 , 所以 越来越大时, 越来越小且接近于 0越来越小且接近于 0 时, 越来越大.为了作出曲线 C。 10 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 思考: 已知 是平面内两条互相垂直的直线, 且曲线 C 是到 的距离的乘积等于 1 的点组成的集合. (2) 根据曲线 C 的方程, 说出曲线 C 具有的性质, 然后作出曲线 C =1 根据上述性质 ②，可以先作出曲线 C 在第一象限内，的部分，然后根据对称性作出其他部分，而第一象限内的部分可以由描点作图作出，如下表和图所示． 11 由方程研究曲线的性质 根据曲线的方程研究曲线的几何性质,主要包括以下几个方面: (1)研究曲线的组成和范围,即看所求的曲线是由哪些基本的曲线组成的。在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围。 (2)研究曲线与坐标轴是否相交。如果相交,求出交点的坐标,因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点。 (3)研究曲线的对称性。在曲线方程里,如果以-y代替y方程不变,那么曲线关于x轴对称;如果以-x代替x方程不变,那么曲线关于y轴对称;如果同时以-x代替x、以-y代替y方程不变,那么曲线关于原点对称。 (4)研究曲线的变化趋势。即y随x的增大或减小的变化情况。 (5)根据方程画出曲线的大致形状。在画曲线时,可充分利用曲线的对称性,通过列表描点的方法先画出曲线在一个象限的图像,然后根据对称性画出整条曲线。 写出方程 -4x-4=0 表示的曲线的主要性质 对点体验 答 (1)曲线变化情况:, 可取一切实数, 逐渐增大时, (2)对称性:用 -y 代替 y 后方程不变,故曲线关于 x 轴对称。 (3)与坐标轴的交点:令 y=0,得 x=-1; 令 x=0,得 y=±2,∴ 曲线与 x 轴的交点为(-1,0),与 y 轴的交点为(0,±2)。 (4)画方程的曲线:列表如下。 目标三：典型例题 题型1 由方程判断曲线类型 例1 在平面直角坐标系中,方程所表示的曲线是( )。 A. 一个圆 B. 一个三角形 C. 一个菱形 D. 两条平行线 典例分析 牛刀小试 判断方程表示什么曲线,首先要对方程进行适当变形,化为我们熟悉的形式,然后根据方程的特征进行判断。变形过程一定要注意与原方程保持等价性,否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程所表示的曲线。一般情况下,变形时常用的方法有配方法、因式分解法等。 解 当时,方程为;当时,方程为;当时,方程为;当时,方程为。故方程所表示的曲线是一个以为顶点的菱形。答 C 题型2 求轨迹用轨迹方程 直接法 例2 设圆 C,过原 点 O 作圆的任意弦,求所作 弦的中点的轨迹方程。 典例分析 牛刀小试 如图, 设 OQ 为 过点 O 的一条弦,P 为弦 OQ的中点。用【直接法】【定义法】【代入法】【参数法】解 连接 ,设 ,由圆的性质知 ,所以 。设 的中点为 , 连接 , 则 , 所以 ,即 。由图可知 , 故弦的中点 的轨迹方程为 。 题型2 求轨迹用轨迹方程 定义法 例2 设圆 C,过原 点 O 作圆的任意弦,求所作 弦的中点的轨迹方程。 典例分析 牛刀小试 如图, 设 OQ 为 过点 O 的一条弦,P 为弦 OQ的中点。用【直接法】【定义法】【代入法】【参数法】解 连接 ,由题意知 ,所以设 的中点为 点在以点M为圆心， 为直径的圆上(除去原点),所以轨迹方程： 题型2 求轨迹用轨迹方程 代入法 例2 设圆 C,过原 点 O 作圆的任意弦,求所作 弦的中点的轨迹方程。 典例分析 牛刀小试 如图, 设 OQ 为 过点 O 的一条弦,P 为弦 OQ的中点。用【直接法】【定义法】【代入法】【参数法】解 设点,则 所以 又因为点在圆上且不为原点,所以 题型2 求轨迹用轨迹方程 参数法 例2 设圆 C,过原 点 O 作圆的任意弦,求所作 弦的中点的轨迹方程。 典例分析 牛刀小试 如图, 设 OQ 为 过点 O 的一条弦,P 为弦 OQ的中点。用【直接法】【定义法】【代入法】【参数法】解 由题意可知,弦 所在的直线存在斜率,设斜率为 ,设点 的坐标为,则动弦 所在直线的方程为,将其代入圆的方程得,即。由方程根与系数的关系及点 为 的中点,得 ,代入 ,消去 即可得到 求轨迹方程的常用方法 按动点的特点来分,求曲线(即轨迹)方程的常用方法有:直接法、相关点法(代入法)、参数法、定义法、待定系数法等。 (1)直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,那么我们只需把这种关系"翻译"成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程。由于这种求轨迹方程的方法不需要其他步骤,也不需要特殊的技巧,因此称之为直接法。 (2) )定义法:若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等,其中椭圆、双曲线、抛物线后面会学到),则可用曲线的定义直接写出方程,这种方法叫作定义法。 求轨迹方程的常用方法 (3)相关点法(或代入法):有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的或是可分析的,那么我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫作相关点法(或代入法)。 (4)参数法:有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系,这时应先借助中间量(参数),使x,y之间建立起联系,然后从所求式子中消去参数,便可得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫作参数法 题型2 求轨迹用轨迹方程 例3 设定点M(-3,4),动点 N 在圆 =4上运动,以 OM,ON 为邻边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹方程。 典例分析 牛刀小试 【答】(相关点法)如图 2 - 4 - 3,设 , ,则线段 的中点坐标为 ,线段 的中点坐标为 。因为平行四边形的对角线互相平分,所以 因为动点 在圆 上,故 4。因此所求点 的轨迹方程为 ,但应除去两点 和 (点 在 所在的直线上时无法作出平行四边形)。 目标四：针对训练 举一反三 1.已知动点 到 的距离与到 的距离相等，求 的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状． 解: 设 的坐标为 ，依照条件可知 ．由两点之间 的距离公式可知 ，两边平方并化 简，得 ．可以检验，上式就是 的轨迹方程，因此轨 迹曲线是直线． 2、已知动点 到 的距离与到 的距离之比是 , 求 的 轨迹方程, 并指出轨迹曲线的形状 解: 设 的坐标为 , 依照条件可知 . 由两点之间的距离公式可知, 上式可用坐标表示为 两边平方并化简, 得 . 可以检验, 上式就是 的轨迹方程. 又因为将轨迹方程左边配方, 可得 , 所以可知轨迹曲线是圆心为 且半径为 2 的圆 举一反三 3、已知点是直线上的一个动点，定点，是线段延长线上的一点，且，则点的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 解析：设，则的坐标为，代入，得 . 举一反三 4.为椭圆上一动点，分别为左、右焦点，延长至点，使得，则动点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 解析: 由得，.因为， 所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故动点的轨迹方程为 . 举一反三 5、设动点 是抛物线 上任意一点，点 ，存在点 ，使得，则 的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 解析: 设，，则，. 由得 又在抛物线 上，，即，即 举一反三 6、已知 ，， 是坐标原点，点 满足 ，且，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 解析：设为坐标原点，，，点满足 ，其中， ， 消去参数，得点的轨迹方程为. 目标五：小结 学海拾贝 ✍ 求曲线（轨迹）方程五步法： 建系设点→写出几何条件→坐标转化列等式→化简方程→检验（查漏点、去增点，保证完备性与纯粹性）。 易错提醒：化简不是恒等变形时，一定要去掉不满足条件的点或者补上缺失的点。 学海拾贝 🔍 由方程研究曲线性质： 从 范围、对称性、截距（与坐标轴交点） 三个维度分析方程，推断曲线形状特征；联立两个曲线的方程，方程组的实数解就是两条曲线交点坐标。 🔍 思想方法小结 本节课体现解析几何两大方向： •几何问题代数化：由形到数（已知几何条件求方程） •代数结果几何化：由数到形（根据方程研究曲线） 核心思想：数形结合。 学海拾贝 后续铺垫 我们后面学习椭圆、双曲线、抛物线，正是重复这套研究路径：先根据几何条件求圆锥曲线方程，再通过方程研究圆锥曲线几何性质。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $