1.2.5 空间中的距离 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体OABC－D′A′B′C′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为(　　) A.a　　 B.a　　　C．a　　　Da 解析：B　[由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)则F，E ∴|EF|＝＝＝a.] 2．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B．1 C. D．2 解析：A　[∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)，∴点A到直线BC的距离为：d＝||＝1×＝.] 3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则平面α外的点P(－2,1,4)到平面α的距离为(　　) A．10 B．3 C. D. 解析：D　[由题意可知＝(1,2，－4)．设点P到平面α的距离为h，则h＝＝＝.] 4．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　) A.　　 B.　　　C.　　　D. 解析：A　[建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0,0)，M(a,0，)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)， ∴＝(a,0，)，＝(a，a,0)，＝(a,0，a)． 设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，则即 令x＝1，则y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2)． ∴点A1到平面MBD的距离d＝＝＝a.] 5．(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．A1C1∥平面CEF B．B1D⊥平面CEF C.＝＋－ D．点D与点B1到平面CEF的距离相等 解析：AC　[对A，因为E，F，分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立．对B，建立如图空间直角坐标系， 设正方体ABCD－A1B1C1D1的边长为2，则＝(－2，－2，－2)，＝(0,1，－2)．故·＝0－2＋4＝2≠0，故，不互相垂直．又CF属于平面CEF.故B1D⊥平面CEF不成立．对C，同B空间直角坐标系有＝(1，－2,2)，＋－ ＝(2,0,0)＋(0,0,2)－(0,2,0)＝(1，－2,2)．故＝＋－成立． 对D，点D与点B1到平面CEF的距离相等，则点D与点B1中点O在平面CEF上．连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点B1中点O在A1ACC1上，故点O不在平面CEF上．故D不成立．故选A、C.] 6．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是　________　. 解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，所以＝(－4,3,0)，＝. 所以点P到AB的距离d ＝ ＝＝3. 答案：3 7.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　__________　. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz， 则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0，2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)． ∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)，∴＝，＝， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD. 设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，则解得 取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)． 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离． ∵＝(0,4,0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝. 答案： 8．四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点，求PC与平面BED的距离，并说明直线PC上各点到平面BED的距离间的关系． 解：以A为原点，AB所在直线为x轴，△ACD中CD边上的高AF所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则F为CD的中点，A(0,0,0)，B(4,0,0)，F(0，2，0)，C(2,2，0)，D(－2,2，0)，P(0,0,4)，E(0,0,2)． 设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由＝(－4,0,2)，＝(2，－2，2)， 得∴即 取z＝2，则x＝1，y＝，得n＝(1，，2)． ∵＝(2,2，－4)，∴n·＝2＋6－8＝0， ∴n⊥，故PC∥平面BED， ∴PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离． ∵＝(0,0,2)，∴点P到平面BED的距离d＝＝＝， 即PC到平面BED的距离为，且直线PC上各点到平面BED的距离都相等． [能力提升练] 9．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(x,30)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为，则x＝(　　) A．－1　　　　　 B．－11 C．－1或－11 D．－21 解析：C　[＝(x＋2,2，－4)，而d＝＝，＝，解得x＝－1或－11.] 10．(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若棱长为1，点E，F分别为线段B1D1、BC1上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．DB1⊥平面ACD1 B．平面A1C1B∥平面ACD1 C．点F到平面ACD1的距离为定值 D．直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值 解析：ABC　[以A为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系： 由题意知：A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)．设E(x，y,1)，＝λ，即(x－1，y,0)＝(－λ，λ，0)，∴E(1－λ，λ，1)． 设F(1，y′，z′)，＝μ1，即(0，y′，z′)＝(0，μ，μ)，∴F(1，μ，μ)． 对于A，∵＝(1，－1,1)，＝(1,1,0)，＝(0,1,1)，∴，∴DB1⊥AC，DB1⊥AD1，又AC，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，∴DB1⊥平面ACD1，A正确；对于B，∵DB1⊥平面ACD1，∴＝(1，－1,1)为平面ACD1的一个法向量，∵＝(1,1,0)，＝(1,0，－1)， ∴，∴DB1⊥A1C1，DB1⊥A1B， 又A1C1，A1B⊂平面A1C1B，A1C1∩A1B＝A1， ∴DB1⊥平面A1C1B，∴平面A1C1B∥平面ACD1，B正确；对于C，∵＝(1，μ，μ)，∴点F到平面ACD1的距离，d＝＝＝，为定值，C正确；对于D，∵几何体为正方体，∴AC⊥平面BB1D1D，∴＝(1,1,0)是平面BB1D1D的一个法向量，又＝(1－λ，λ，1)，设直线AE与平面BB1D1D所成角为θ，则sin θ＝＝，不是定值，D错误] 11.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD，点B到平面AEF的距离为　____________　. 解析：∵四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD， ∴以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AB＝2，PA＝，E为BC中点，F在棱PD上，AF⊥PD， ∴A(0,0,0)，B(，－1,0)，E(，0,0)，P(0,0，)，D(0,2,0)， 设F(a，b，c)，＝λ，则(a，b，c－)＝(0,2λ，－λ)， 解得a＝0，b＝2λ，c＝－λ，∴＝(0,2λ，－λ)，＝(0,2，－)， ∵AF⊥PD，∴·＝4λ－＋λ＝0，解得λ＝，∴＝(，－1,0)，＝(，0,0)，＝(0，，)，设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，则，取y＝，得n＝(0，，－1)，∴点B到平面AEF的距离为：d＝＝. 答案： 12．已知Rt△ABC如图(1)，∠C＝90°，D，E分别是AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到PDE位置(即A点到P点位置)如图(2)使∠PDC＝60°. (I)求证：BC⊥PC； (Ⅱ)若BC＝2CD＝4，求点D到平面PBE的距离． 解析： (Ⅰ)证明：∵Rt△ABC如图(1)，∠C＝90°，D，E分别是AC，AB的中点， 将△ADE沿DE折起到PDE位置(即A点到P点位置)如图(2)使∠PDC＝60°. ∴DE⊥DC，DE⊥PD，DE∥BC， ∵PD∩DC＝D，∴DE⊥平面PCD，∴BC⊥平面PCD， ∵PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC. (Ⅱ)解：∵D，E分别是AC，AB的中点，∠PDC＝60°，BC＝2CD＝4， ∴CD＝PD＝PC＝2， 取CD中点O，BE中点M，连结PO，MO，则OP，OD，OM两两垂直， 以O为原点，OD为x轴，OM为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则D(1,0,0)，P(0,0，)，B(－1,4,0)，E(1,2,0)， ＝(1,0，－)，＝(－1,4，－)，＝(1,2，－)， 设平面PBE的法向量n＝(x，y，z)， 则，取x＝1，得n＝(1,1，)， ∴点D到平面PBE的距离为：d＝＝＝. [素养培优练] 13．(多选题)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则(　　) A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C和点G到平面AEF的距离相等 解析：BC　[对选项A：(方法一)以D点为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，E，F，G.从而＝(0,0,1)，＝，从而·＝≠0，所以DD1与直线AF不垂直，选项A错误； (方法二)取DD1的中点N，连接AN，则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射影，AN与DD1不垂直，从而AF与DD1也不垂直，选项A错误； 取B1C1的中点为M，连接A1M、GM，则A1M∥AE，GM∥EF，易证平面A1MG∥平面AEF，从而A1G∥平面AEF，选项B正确； 对于选项C，连接AD1，D1F，易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示)，且D1H＝AH＝，A1D＝，所以SΔAD1H＝×＝，而S四边形AEFD1＝SΔAD1H＝，从而选项C正确； 对于选项D：(方法一)由于SΔGEF＝S梯形BEFG－SΔEBG＝×－××＝，而SΔECF＝××＝，而VA－GEF＝SΔEFG·AB，VA－ECF＝SΔECF·AB，所以VA－GEF＝2VA－ECF，即VGE＝2V，点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍．从而D错误． (方法二)假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点O，易知O不是CG的中点，故假设不成立，从而选项D错误．] 14．已知三棱锥S－ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S－ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为　________　. 解析：∵三棱锥S－ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2， ∴如图，SA，SB，SC是棱长为2的正方体MNPB－ADCS上具有公共顶点S的三条棱， 以B为原点，BM、BP、BS分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，A(2,0,2)，C(0,2,2)，S(0,0,2)，N(2，2,0)，＝(2,0,2)，＝(0,2,2)，＝(2,2,0)， 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则，取x＝1，得n＝(1,1，－1)， 三棱锥S－ABC外接球就是棱长为2的正方体MNPB－ADCS的外接球， ∵Q是三棱锥S－ABC外接球上一动点， ∴点Q与N重合时，点Q到平面ABC的距离的最大值， ∴点Q到平面ABC的距离的最大值为：d＝＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$