课时达标检测(11) 空间中的距离(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

课时达标检测(十一)　空间中的距离 基础达标 　 一、单项选择题 1.在空间直角坐标系中,一定点P到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是 (A) A. B.C. D. 解析　设P(x,y,z),由题意可知所以x2+y2+z2=。所以=。 2.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为 (C) A. B.C. D. 解析　建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=,=(0,0,1),所以在上的投影的数量为==-,所以点C1到直线CE的距离d===。故选C。 3.正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为 (A) A. B. C. D. 解析　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),则=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,-2,0)。设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),则⇒取z=1,则x=y=2,所以n=(2,2,1)是平面AD1C的一个法向量,所以点B1到平面AD1C的距离d==,故选A。 4.已知夹在两平行平面α,β内的两条斜线段AB=8 cm,CD=12 cm,AB和CD在α内的射影长的比为3∶5,则α与β的距离为 (C) A. cm B. cm C. cm D. cm 解析　设α,β之间距离为d,AB,CD的射影长分别为3x,5x,则解得所以d=,故选C。 5.设正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是 (D) A. B. C. D. 解析　解法一:建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),所以=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0)。设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量。所以点D1到平面A1BD的距离d===。 解法二:设D1到平面A1BD的距离为d,因为=,所以×d×=×AB×,所以d=。 6.已知直二面角α⁃l⁃β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,且AB=2,AC=BD=1,则点D到平面ABC的距离等于 (C) A. B. C. D.1 解析　如图,连接BC,AD,因为二面角α⁃l⁃β为直角,AC⊥l,所以AC⊥β,所以AC⊥BC,所以BC=,CD=。 设点D到平面ABC的距离为h,由VA⁃BDC=VD⁃ABC,得××1××1=×××1×h,所以h==。 二、多项选择题 7.已知A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),点P在直线AB上,且||=2||,则||为 (AD) A. B.C. D. 解析　设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z)。因为||=2||,所以=±2,①当=2时,则有解得即P-,,3,所以=,||=。②当=-2时,则有解得即P(-3,4,7),所以=(4,-3,-6),||=。故选AD。 8.已知平面α∥平面β,空间一点到α的距离是4,到平面β的距离是2,则平面α与平面β的距离是 (AB) A.2 B.6 C.8 D.以上都错 解析　这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧。点在两平面之间时,两平面间距离为6,点在两平面外侧时,两平面间距离为2。 三、填空题 9.设A到平面α的距离是a,自A作平面α的两条斜线段AB,AC分别与平面α所成的角为45°和30°,∠BAC=90°,则两斜足B,C间的距离为 a 。  解析　由题意知AB=a,AC=2a,又∠BAC=90°,所以BC==a。 10.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内,AB∥α,AC,BC与α所成的角分别为45°和30°,若AB=6,则AB到α的距离为  。  解析　设AB到α的距离为h,则CB==2h,AC==h,由勾股定理AB2=AC2+CB2可得(h)2+(2h)2=62,解得h=。 11.如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,M,N分别为CG,CF的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为  ,直线MN到平面EFG的距离为  。  解析　建立如图所示的空间直角坐标系,则G(0,0,2),B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),M(0,0,1),=(2,4,-2),=(2,-2,0)。设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),则即取y=1,得x=1,z=3,所以平面EFG的一个法向量为m=(1,1,3)。又=(4,-2,0),所以点B到平面EFG的距离为==。由已知得MN∥GF,MN⊄平面EFG,GF⊂平面EFG,所以MN∥平面EFG,所以直线MN到平面EFG的距离转化为点M到平面EFG的距离。因为=(2,4,-1),平面EFG的一个法向量为m=(1,1,3),所以点M到平面EFG的距离为==,即直线MN到平面EFG的距离为。 四、解答题 12.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点。 (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离。 解　(1)以D为原点,以,,分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,1,0,=-,,0,=,=。设平面PEF的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3)是平面PEF的一个法向量,所以点D到平面PEF的距离为d1===,因此,点D到平面PEF的距离为。 (2)因为=,所以点A到平面PEF的距离为d2===。因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又EF⊂平面PEF,AC⊄平面PEF,所以AC∥平面PEF,所以AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离,为。 13.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,求平面AB1D1与平面BDC1的距离。 解　建立空间直角坐标系如图所示,则A(a,0,0),B(a,a,0),D(0,0,0),C1(0,a,a),D1(0,0,a),B1(a,a,a)。所以=(0,a,a),=(-a,0,a),=(-a,0,a),=(0,a,a)。设n=(x,y,z)为平面AB1D1的法向量,则得取z=1,则n=(1,-1,1)是平面AB1D1的一个法向量。因为AD1∥BC1,AB1∥DC1,AD1∩AB1=A,DC1∩BC1=C1,所以平面AB1D1∥平面BDC1。所以两平面间的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d。因为=(a,0,0),平面的法向量为n=(1,-1,1),所以d===a。 拓广探索 14.已知二面角α⁃l⁃β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到平面β的距离为,点Q到平面α的距离为2,则P,Q两点间距离的最小值为 (C) A. B.2 C.2 D.4 解析　作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N。分别在面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示。连接ME,NF,则ME⊥l,NF⊥l,所以∠PEM,∠QFN均为二面角α⁃l⁃β的平面角。所以∠PEM=∠QFN=60°。在Rt△PME中,PE===2。同理QF=4。又因为=++,所以||2=4+||2+16+2·+2·+2·=20+||2+2×2×4cos 120°=12+||2。所以当||2取最小值0时,||2最小,此时||=2。 15.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,点E,F分别为线段PA,PD的中点。在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离恰为?若存在,求出线段CQ的长;若不存在,请说明理由。 解　以A为原点,以直线AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则E(0,0,1),F(0,1,1),=(0,1,0),=(0,0,-1),假设在线段CD上存在一点Q满足条件,设Q(x0,2,0),平面EFQ的一个法向量为n=(x,y,z),则=(x0,2,-1),解得令x=1,得n=(1,0,x0)是平面EFQ的一个法向量,则=。又x0>0,解得x0=,所以点Q,2,0,又C(2,2,0),即=,则||=。所以在线段CD上存在一点Q满足条件,且CQ的长为。 学科网（北京）股份有限公司 $$