1.2.2 空间中的平面与空间向量 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．若平面α与β的法向量分别是a＝(2,4，－3)，b＝(－1,2,2)，则平面α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 解析：B　[因为a·b＝(2,4，－3)·(－1,2,2)＝0，所以a⊥b，所以两平面垂直．故答案为B.] 2．(多选)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，那么下列说法中，正确的有 (　　) A．n1∥n2⇔α∥β B．n1⊥n2⇔α⊥β C．v∥n1⇔l∥α D．v⊥n1⇔l⊥α 解析：AB　[∵平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量平行(垂直)等价于平面α，β平行(垂直)，∴AB正确；直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α，∴CD都错误．故选AB.] 3．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　) A．相交 B．垂直 C．不垂直 D．成60°角 解析：B　[因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥； 因为·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，又∩＝A，所以AP⊥平面ABCD.选B.] 4．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)， 则·＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.所以⊥.故△ABC为直角三角形． 又||≠||，故选C.] 5．(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是(　　) A.·＝0 B.·＝0 C.·＝0 D.·＝0 解析：ABD　[∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC， ∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD.故ABD成立．] 6．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是　__________　. 解析：∵直线l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)， ∴∴m＝－3. 答案：－3 7.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为　______　. 解析：建立如图所示空间直角坐标系， 设DD1＝h，又AB＝BC＝4， 则A， E， B，F(2,2，h)， ∴＝，＝(－2，－2，h)， ∵AE⊥BF，∴4－8＋＝0，即h＝2. ∴此棱柱的体积为4×4×2＝32. 答案：32 8.如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD. 求证：平面DEA⊥平面ECA. 解：建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2， 则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)． 所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)． 分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 则即 解得 即解得 不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)， 因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA. [能力提升练] 9.如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　) A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD 解析： D　[以点A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D(0,1，)，P(0,2,0)， 则＝(1,0,1)，＝(0,1，)，＝(－1,2,0)，＝(1，－1，－)． 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝(1－λ，－1＋2λ，－)．因为也是平面A1BD的一个法向量，所以n＝(2,1，－2)与＝(1－λ，－1＋2λ，－)共线，则＝＝＝成立，所以但此关于λ的方程组无解．故不存在点Q，使得DQ⊥平面A1BD.故选D.] 10．(多选)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是(　　) A．对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ B．对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ C．当AR⊥A1C时，AR⊥D1R D．当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1 解析：ABD　[如图所示，建立空间直角坐标系，设P(2，a,0)，a∈[0,2]，Q(2,2，b)，b∈[0,2], 设＝λ，得到R(2－2λ，2λ，2－2λ)，λ∈[0,1].＝(2，a，－2)，＝(2,0，b)，·＝4－2b，当b＝2时，D1P⊥CQ，A正确； ＝(2－2λ，2λ，－2λ)，·＝2(2－2λ)－2λb，取λ＝时，D1R⊥CQ，B正确； AR⊥A1C，则·＝(－2λ，2λ，2－2λ)·(－2,2，－2)＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，λ＝，此时·＝·＝－≠0，C错误；A1C＝3A1R，则R，＝，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则，解得n＝(，－1，)，故·n＝0，故D1R∥平面BDC1，D正确．故选：ABD.] 11．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列各点中，在平面α内的是　________　.(把正确的序号都填上) ①(1，－1,1)；②；③；④. 解析：设①②③④中的点分别为B、C、D、E.对于①中的点B(1，－1,1)，＝(－1,0，－1)，·n＝－3－2＝－5≠0，则B∉α；对于②中的点C，＝，·n＝－3＋4＋2×＝0，则C∈α；对于③中的点D，＝，·n＝－3－2－1≠0，则D∉α；对于④中的点E，＝，·n＝－9＋4－7≠0，则E∉α.因此，②中的点在平面α内． 答案：② 12．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4) 解析：A　[因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，所以n⊥α，又A选项中P(2,3,3)，所以＝(1,4,1)，因此有n·＝6×1＋4×(－3)＋6×1＝0，故选A. ] [素养培优练] 13．已知梯形CEPD如下图所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足＝λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则λ的值为(　　) A.　　 B.　　　C.　　　D. 解析：C　[因为四边形ABCD为正方形，且平面PABE⊥平面ABCD，所以PA，AB，AD两两垂直，且PA∥BE，所以建立空间直角坐标系(如图所示)，又因为PD＝8，CE＝6，所以P(0,0,4)，C(4,4,0)，E(4,0,2)，D(0,4,0)，B(4,0,0)， 则F(4λ，0,0)，＝(4，－4,2)，＝(4λ，－4,0)，＝(0，－4,2)，＝(－4,0,2)，设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)，则由，得，取m＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，则由，得，取n＝(1,1,2)， 因为平面DEF⊥平面PCE，所以m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝5λ－3＝0，解得λ＝.故选C.] 14.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的　__________　. ①当＝3时，D1P∥平面BDC1；②当＝5时，A1C⊥平面D1AP； ③∠APD1的最大值为90°；④AP＋PD1的最小值为. 解析：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0，，0)，D1(0,0,1)，C1(0，，1)，B(1，，0)，＝(－1，，－1)，设P(x，y，z)，＝(x－1，y，z－1)．对于①，当＝3，即(－1，，－1)＝3(x－1，y，z－1)，解得P＝，＝，设平面BDC1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则由，解得n1＝(－，1，－)，由于·n1＝0，所以D1P∥平面BDC1成立． 对于②，当＝5时，即(－1，，－1)＝5(x－1，y，z－1)，解得P，由可知A1C⊥平面D1AP成立．对于③，设＝λ，即(－1，，－1)＝λ(x－1，y，z－1)，解得P，由cos〈，〉＝，其分子化简得，当λ>5时，cos〈，〉<0，故∠APD1的最大值可以为钝角，③错误．对于④，根据③计算的数据，＝，＝，||＋| ＝2 ＝2，在对称轴＝，即λ＝5时取得最小值为2＝，故④错误． 答案：①② 学科网（北京）股份有限公司 $$