1.2.2 空间中的平面与空间向量-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

1.2.2空间中的平面与空间向量 效果评价 1.A【解析】=(2,2，-1)是平面α的法向量， a=(-3,4,2)是直线1的方向向量，ua=-6+8-2-0,∴.直 线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.故选A 2.D【解析】平面经过三点0(0,0,0)，A(2 2,0),B(0,0,2),.0A=(2,2,0),0B=(0,0,2)· n0A=2x+2y=0, 设平面α的法向量n=(x,y,z),则 n-0B=2z=0, 取x=-1,得=(-1,1,0)，∴.平面的法向量可以是 (-1,1,0).故选D. 3.B【解析】AB1BC,AB.BC=0,即3+5-2z= 0,得=4.又BP⊥平面ABC,BP⊥AB,BP⊥BC, 则-1)+546=-0， x=40 解得 。故选B. 3(x-1)+y-12=0, 4.AB【解析】设平面a内一点P(x,y,z),则 MP=(x-1,y+1,z-2)·n=(6,-3,6)是平面的法向 量，n1MP,n·MP-6(x-1)-3(y+1)+6(a-2)=6x-3y+ 6z-21,∴.由n·MP=0,得6x-3y+6x-21=0.把各选项代 入上式，可知A和B选项适合.故选AB. 5.B【解析】设平面AEF的一个法向量为n=(x,y, z),正方体ABCD-ABCD1的棱长为1， 则A1,0,0,1,1,,F3,0., 放正-0,1，，3,0， (.1 AEn-0,即 又 fn-0,*0,-2 当=-2时，n=(-4,1,-2).故选B. 6}【解析】由题意可得s1n,5n=-2+2+2x 0,可得x+l,取x,0,则1≥2V网，可得y≤子 当且仅当x)=)时取等号。 7.1【解析】AB=(1,1,0),AC=(-1,-1,-2), a=(-1,y,2)为平面ABC的法向量，a·AB=0,a AC-0,-1+y0,1-y2z0,联立解得=1,0,4a=1. 8.垂直平行【解析】u,v分别为平面α，B的 法向量且u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时，uv= 参考答案。 -6-4+10=0,.u1y,即⊥B;当v=(4,-4,-10)时， v=-2u,u∥p,即ax∥B. 9.证明：如图所示，取BC的 中点O,连接AO交BD于点E,连 接PO.PB=PC,PO LBC.又平面 PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平 面ABCD=BC,.PO⊥平面ABCD, .AP在平面ABCD内的射影为AO. 第9题答图 在直角梯形ABCD中，由于AB=BC=2CD,易知 Rt△ABO≌Rt△BCD,.∠BEO=∠OAB+∠DBA= ∠DBC+∠DBA=90°，即AO 1BD.由三垂线定理，得 PA⊥BD 10.证明：以C为坐标原 点，建立如图所示的空间直 角坐标系，则A(V2,V2, 0),B(0,V2,0),D(V2, 0,0),F(V2,V2,1), D M,.. 第10题答图 .竖，.F0.7,. 2 BD=(V2,-V2,0). 设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量，则n⊥BD, n LDF,. nd-v2-V2-0.→y 取 In-DF-V2ytz=0 l=-V2y, y=1,得=1，=-V2,则n=(1,1,-V2). ,竖小.V,得 n与AM共线，.AM⊥平面BDE 提升练习 11.垂直【解析】以D为原点，DA,DC,DP所在 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略），则 37}30.0,F0,7 平面PBC的一个法向量n=(0,1,1), E亦-n,F∥n,EF1平面PBC 12.解：∠PAD=90°， PA⊥AD.又.·侧面PAD⊥ 底面ABCD,且侧面PAD∩ D 底面ABCD=AD,PA⊥底 B 》 面ABCD.又.'∠BAD=90°， .AB,AD,AP两两垂直.分 第12题答图 69 高中数学选择性必修第一册人教B版 别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系， 设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1, 0),D(0,2,0),P(0,0,1)· (1)证明：AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD= (-1,1,0),可得AP.CD-0,AC.CD=0,AP1CD, AC⊥CD.又APOAC=A,.CD⊥平面PAC (2)设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则 m面=0，cD=(-1,1,0),Pm=(0,2,-10 n.PD=0. 20取，则山，2，平面D的一个油 向量为n=(1,1,2).设点E的坐标为(0,0，z),则 BE=(-1,0,).若BE∥平面PCD,则BE·n=0, 即(1,1,2)(-1,0，)=0，解得=乃，即 E0,0,7月 综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD. 1.2.3直线与平面的夹角 效果评价 1.C【解析】如图，.DD⊥平 D 面ABCD,.∠DAD为AD1与平 面ABCD所成角，tan∠DAD=1, D: ∠DAD=年，.sin LDAD= 第1题答图 .放选C 2.B【解析】设OC与平面OAB所成的角为0，则 c0s60°=cos0:cos30,:cos0=33.放选B 3.A【解析】在长方体 D ABCD-ABCD1中，AB=BC=2, 该长方体的体积为8V2,2× 2x4A=8V2,解得AA=2V2. 如图，以D为原点，DA,DC, 第3题答图 DD,所在直线分别为x轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，A(2,0,0),C(0,2, 2V2),AC=(-2,2,2V2),平面BB,CC的法向量 n=(0,1,0),设直线AC,与平面BBCC所成的角为0， 、sn0=A=子=，030°，直线AG与平面 BBCC所成的角为30°.故选A. 70 4.A【解析】OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC, ∴.OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.设AB=V2a,则PA= 2V2a,OP=V7a,A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a, 0,0),P(0,0,V7a),PA=(a,0,-V7),PB =(0,a,-V7a),BC=(-a,-a,0).设平面PBC的法 向量为n=(x,y,z),则 nm=0.即a-V7匹=0， n-BC=0, -a-ay=0, 令l,则-1.=Y牙.平面9C的一个法向量为 n=(1,-1.-V7,..cos(P4',n)= PA·n-V210 IPA llnl 30 :PA与平面PBC所成角的正弦值为VD.故选A. 30 5.A【解析】如图，以C为原 点，在平面ABC中过C作BC的垂 A 线，以其所在直线为x轴，CB所在 直线为y轴，CC所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系，则A(V√3,1， 0),A1(V3,1,3),B(02,3), 第5题答图 C(0,0,3),AA1=(0,0,3),AB =(-V3,1,3),AC1=(-V3,-1,3). 设平面AB,C的法向量n=(x,y,z, n-AB1=-V3x+y+3z=0, 则 n.ACI=-V3x-y+3:=0, 取x=V3,得n=(V3,0,1). 设AA1与平面ABC所成的角为0， 则sin0=44ml=3-1 MAi3V不-2，.a 6, AA,与平面AB,G所成的角为石故选A 6.45°【解析】如图，作C01 a,O为垂足，连接A0,M0,则 ∠CA0=30°，∠CM0为CM与a 第6题答图 所成的角.在Rt△AOC中，设CO= 1,则AC=2.在等腰Rt△ABC中， 由AC=2得CM=V2.在RtACM0中，sin∠CM0=C0 CM D 11V2 C V22 ,.∠CM0=45° A1 7.V2【解析】如图，以D 为原点，DA所在直线为x轴， C A B DC所在直线为Y轴，DA,所在直 第7题答图第一章空间向量与立体几何。 1.2.2空间中的平面与空间向量 能作为平面AEF的法向量 效果评价 的是() 1.设M=(2,2,-1)是平面的法向 A.(1,-2,4) 量，a=(-3,4,2)是直线1的方向向量， B.(-4,1,-2) 则直线l与平面α的位置关系是() C.(2,-2,1) 第5题图 A.平行或直线在平面内 D.(1,2,-2) B.垂直 6.已知直线1的方向向量为s=(1,2, C.相交但不垂直 x),平面的法向量n=(-2,y,2),若lC D.不能确定 a,则y的最大值为 2.平面a经过三点0(0,0,0)，A(2, 7.在平面ABC中，A(0,1,1),B(1, 2,0),B(0,0,2),则平面的法向量可：2,1)，C(-1,0,-1),若a=(-1,y,z), 以是() 且a为平面ABC的法向量，则y+z= A.(1,0,1) B.(1,0,-1) 8.设u,y分别是平面a,B的法向量， C.(0,1,1) D.(-1,1,0) u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时，a与 3.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,:B的位置关系为 ；当v=(4,-4, z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BPL -10)时，与B的位置关系为 9.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底 平面ABC,则实数x,y,a分别为() 面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB= A294B9与4 BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD. C9,2,4D.4,9,15 求证：PA⊥BD. 4.(多选题)已知平面内有一点 M(1,-1,2),平面x的一个法向量为n= (6,-3,6),则下列点中，在平面α内的是 第9题图 A.(2,3,3) B.(1,1,3) c分，9D.2,2,3) 5.如图，在正方体ABCD-ABCD1中， 以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB 的中点，F为AD的中点，则下列向量中， 练(11 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 10.如图，已知正方形ABCD和矩形： 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ACEF所在的平面互相垂直，AB=V2, ABCD为直角梯形，且AD∥BC,∠ABC= AF=1,M是线段EF的中点.求证：AM⊥平： ∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若 面BDF PA=AB=RC-7AD. (1)求证：CD⊥平面PAC. (2)侧棱PA上是否存在点E,使得 BE∥平面PCD?若存在，指出点E的位置 并证明；若不存在，请说明理由 第10题图 第12题图 提升练习 11.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面 ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面 ABCD,且PD=1,若E,F分别为PB,AD 的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系 为 第11题图 12)练 N