1.2.2 第1课时 空间中直线与平面平行、垂直的证明-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．2.2　空间中的平面与空间向量 第1课时　空间中直线与平面平行、垂直的证明 知识点一　平面的法向量 1．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1) 答案：D 解析：与向量n平行的非零向量都是平面α的法向量．故选D. 2．已知点A(1，1，0)，B(－1，0，2)，C(0，2，0)都在平面α内，则平面α的一个法向量的坐标可以是(　　) A． B． C．(2，2，3) D．(2，－2，－1) 答案：C 解析：由A(1，1，0)，B(－1，0，2)，C(0，2，0)，得＝(－2，－1，2)，＝(－1，1，0)，设n＝(x，y，z)是平面α的一个法向量，则即取x＝2，则y＝2，z＝3，故n＝(2，2，3)，则与n＝(2，2，3)共线的向量也是平面α的法向量，经验证，只有C符合题意．故选C. 3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，＝(x－1，y，－3)，若⊥，且⊥平面ABC，则＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由·＝0，得3＋5－2z＝0，∴z＝4.又⊥平面ABC，∴即 解得故＝.故选B. 4．如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1.以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面MD1B的一个法向量． 解：因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1，所以M(0，3，2)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，则＝(3，0，－2)，＝(0，－3，1)，设n＝(x，y，z)是平面MD1B的一个法向量，则即取z＝3，则x＝2，y＝1，故n＝(2，1，3)，于是n＝(2，1，3)是平面MD1B的一个法向量(答案不唯一)． 知识点二　利用空间向量判断线面位置关系 5．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，3，0)，B(0，3，－1)，则(　　) A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy C．直线AB∥坐标平面zOx D．直线AB⊥坐标平面zOx 答案：C 解析：＝(－1，0，－1)，坐标平面xOy的一个法向量是(0，0，1)，坐标平面zOx的一个法向量是(0，1，0)，这两个法向量与都不平行，又·(0，1，0)＝0，点A，B均不在坐标平面zOx上，因此直线AB∥坐标平面zOx.故选C. 6．已知直线l⊥平面α，且直线l的一个方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝________． 答案：1 解析：因为直线l⊥平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量共线，即存在实数k，使(2，m，1)＝k，所以m＝1. 7．设u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，根据下列条件判断l与α的位置关系． (1)u＝(2，2，－1)，a＝(－3，4，2)； (2)u＝(0，2，－3)，a＝(0，－8，12)； (3)u＝(4，1，5)，a＝(2，－1，0)． 解：(1)∵u＝(2，2，－1)，a＝(－3，4，2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a， ∴直线l与平面α的位置关系是l⊂α或l∥α. (2)∵u＝(0，2，－3)，a＝(0，－8，12)， ∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α. (3)∵u＝(4，1，5)，a＝(2，－1，0)， ∴u与a不共线也不垂直， ∴l与α相交但不垂直． 8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE. 证明：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)． 设n＝(x，y，z)是平面ADE的一个法向量，则即 令z＝2，则y＝－1， 所以n＝(0，－1，2)． 因为·n＝－2＋2＝0，所以⊥n. 又因为FC1⊄平面ADE， 所以FC1∥平面ADE. 一、单项选择题 1．设d为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则“d·n＝0”是“l⊂α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：d为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则由d·n＝0，可得l⊂α或l∥α，则“d·n＝0”不是“l⊂α”的充分条件；由l⊂α，可得d·n＝0，则“d·n＝0”是“l⊂α”的必要条件．故“d·n＝0”是“l⊂α”的必要不充分条件．故选B. 2．若直线l的一个方向向量为a＝，平面β的一个法向量为b＝(－1，0，－2)，则(　　) A．l∥β B．l⊥β C．l⊂β D．l与β相交但不垂直 答案：B 解析：∵b＝(－1，0，－2)＝－2＝－2a，∴a与b共线，又b是β的一个法向量，∴l⊥β.故选B. 3．直线l的一个方向向量为s＝(－1，1，1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．± 答案：D 解析：由直线l∥平面α，得s·n＝0，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±. 4．若a＝是平面α的一个法向量，b＝(－1，2，1)是直线m的一个方向向量，c＝是直线n的一个方向向量，且直线m，n与平面α都平行，则向量a＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意，知即解得所以a＝. 5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．BD1⊥平面B1EF B．BD⊥平面B1EF C．A1C1∥平面B1EF D．A1D∥平面B1EF 答案：C 解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2).＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(－2，2，0)，＝(2，0，2)．设平面B1EF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取m＝(2，2，－1)．因为与m不平行，所以BD1与平面B1EF不垂直，A错误；因为与m不平行，所以BD与平面B1EF不垂直，B错误；因为·m＝0，且A1C1⊄平面B1EF，所以A1C1∥平面B1EF，C正确；因为·m＝2≠0，所以A1D与平面B1EF不平行，D错误．故选C. 二、多项选择题 6．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1，2，3)，B(0，－2，4)，C(2，1，2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则点P的坐标可能为(　　) A．(－12，－3，0) B．(7，2，－4) C．(6，3，5) D．(－5，－1，1) 答案：AD 解析：设P(x，y，z)，则＝(x－2，y－1，z－2)，＝(－1，2，3)，＝(0，－2，4)，若CP⊥平面OAB，则CP⊥OA，CP⊥OB，所以 即将(－12，－3，0)代入满足方程组，所以A正确；将(7，2，－4)代入不满足方程组，所以B不正确；将(6，3，5)代入不满足方程组，所以C不正确；将(－5，－1，1)代入满足方程组，所以D正确．故选AD. 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，P为线段BD1上一点，若＝λ，则(　　) A．PC1∥A1D B．PC1⊥A1D C．当λ＝时，PC∥平面A1C1D D．存在实数λ，使得CP⊥平面ABD1 答案：BC 解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，＝(－1，1，1)，＝λ＝(－λ，λ，λ)，则P(1－λ，λ，λ)，易知＝(λ，1－λ，1－λ)，＝(0，1，－1)，所以·＝0，则PC1⊥A1D，故A错误，B正确；设平面A1C1D的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，易知＝(1，1，0)，＝(－1，0，－1)，则即令x1＝1，则n＝(1，－1，－1)，当λ＝时，P，＝，因为·n＝－＋＝0，又PC⊄平面A1C1D，所以PC∥平面A1C1D，故C正确；因为＝(－λ，λ－1，λ)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)，设平面ABD1的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)，则 即令y2＝1，则z2＝－1，则m＝(0，1，－1)，则不存在λ，使得与m共线，即不存在实数λ，使得CP⊥平面ABD1，故D错误．故选BC. 三、填空题 8．已知平面α经过点A(0，0，2)，且平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则x轴与平面α的交点坐标是______． 答案：(－2，0，0) 解析：设x轴与平面α的交点为M(x，0，0)，则＝(x，0，－2)，平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则n·＝0，解得x＝－2，故x轴与平面α的交点坐标是(－2，0，0)． 9．已知平面α的一个法向量为n＝(4，1，2)，点A(－1，2，1)，B(2，s，t)，且AB⊥α，则s＋t＝________． 答案： 解析：因为A(－1，2，1)，B(2，s，t)，所以＝(3，s－2，t－1)，因为AB⊥α，所以∥n，所以＝＝，所以s＝，t＝，s＋t＝. 10．如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝________． 答案： 解析：如图所示，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意可得P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，O(1，1，0)，则F(1，0，1)，E(0，1，1)，所以＝(1，2，－1)，＝(－1，1，0)，设平面EFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝1，z＝3，所以n＝(1，1，3)．设G(0，0，a)，则＝(－1，－1，a)，因为OG∥平面EFC，所以n·＝0，即－1－1＋3a＝0，解得a＝，所以G，即AG＝. 四、解答题 11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 证明：证法一：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)， 于是＝，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)． 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝1，得y＝－1，z＝－1， 所以n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， 所以⊥n. 又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD. 证法二：因为＝－＝－＝(－)＝， 所以∥，所以MN∥DA1. 而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD. 12．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，D，P(0，0，2)，E， 所以＝，＝， 所以·＝－1×＋×＋0×1＝0， 所以CD⊥AE. (2)由(1)，得＝，＝(2，0，0)，＝. 设向量n＝(x，y，z)是平面ABE的一个法向量， 由得 取y＝2，则n＝(0，2，－)，所以＝n，所以∥n， 所以PD⊥平面ABE. 13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且＝2.点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________． 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，因为＝2，所以M是线段CC1上靠近C的三等分点，所以M，＝(－1，－1，1)，＝，点P在平面A1B1C1D1上，设P(x，y，1)，则＝(x－1，y，1)，由AP⊥平面MBD1，得解得所以＝，||＝＝. 14．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝A1A＝1，BC⊥AC，P为A1B上的动点，Q为棱C1C的中点． (1)设平面A1BQ∩平面ABC＝l，若P为A1B的中点，求证：PQ∥l； (2)设＝λ，问线段A1B上是否存在点P，使得AP⊥平面A1BQ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：设AB的中点为E，连接PE，PQ，EC， 因为P为A1B的中点，Q为C1C的中点，所以PE∥A1A，PE＝A1A，QC＝C1C， 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥C1C，A1A＝C1C， 所以PE∥QC，且PE＝QC， 所以四边形PECQ为平行四边形， 则PQ∥EC， 又PQ⊄平面ABC，EC⊂平面ABC， 所以PQ∥平面ABC， 又平面A1BQ∩平面ABC＝l，PQ⊂平面A1BQ，所以PQ∥l. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，BC⊥AC， 故以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AC＝BC＝A1A＝1， 所以B(0，1，0)，Q(0，0，1)，A1(1，0，2)，A(1，0，0)， 则＝(1，－1，2)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)， 又＝λ(0≤λ≤1)， 则＝(λ，－λ，2λ)， 所以＝＋＝(λ－1，1－λ，2λ)， 若AP⊥平面A1BQ，则 则解得λ＝， 所以线段A1B上存在点P，使得AP⊥平面A1BQ，此时λ＝. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$