1.2.2 第1课时 空间中直线与平面平行、垂直的证明-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

1．2.2　空间中的平面与空间向量

第1课时　空间中直线与平面平行、垂直的证明

知识点一　平面的法向量

1．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)

A．(0，－3，1) B．(2，0，1)

C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)

答案：D

解析：与向量n平行的非零向量都是平面α的法向量．故选D.

2．已知点A(1，1，0)，B(－1，0，2)，C(0，2，0)都在平面α内，则平面α的一个法向量的坐标可以是(　　)

A． B．

C．(2，2，3) D．(2，－2，－1)

答案：C

解析：由A(1，1，0)，B(－1，0，2)，C(0，2，0)，得＝(－2，－1，2)，＝(－1，1，0)，设n＝(x，y，z)是平面α的一个法向量，则即取x＝2，则y＝2，z＝3，故n＝(2，2，3)，则与n＝(2，2，3)共线的向量也是平面α的法向量，经验证，只有C符合题意．故选C.

3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，＝(x－1，y，－3)，若⊥，且⊥平面ABC，则＝(　　)

A． B．

C． D．

答案：B

解析：由·＝0，得3＋5－2z＝0，∴z＝4.又⊥平面ABC，∴即

解得故＝.故选B.

4．如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1.以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面MD1B的一个法向量．

解：因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1，所以M(0，3，2)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，则＝(3，0，－2)，＝(0，－3，1)，设n＝(x，y，z)是平面MD1B的一个法向量，则即取z＝3，则x＝2，y＝1，故n＝(2，1，3)，于是n＝(2，1，3)是平面MD1B的一个法向量(答案不唯一)．

知识点二　利用空间向量判断线面位置关系

5．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，3，0)，B(0，3，－1)，则(　　)

A．直线AB∥坐标平面xOy

B．直线AB⊥坐标平面xOy

C．直线AB∥坐标平面zOx

D．直线AB⊥坐标平面zOx

答案：C

解析：＝(－1，0，－1)，坐标平面xOy的一个法向量是(0，0，1)，坐标平面zOx的一个法向量是(0，1，0)，这两个法向量与都不平行，又·(0，1，0)＝0，点A，B均不在坐标平面zOx上，因此直线AB∥坐标平面zOx.故选C.

6．已知直线l⊥平面α，且直线l的一个方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝________．

答案：1

解析：因为直线l⊥平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量共线，即存在实数k，使(2，m，1)＝k，所以m＝1.

7．设u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，根据下列条件判断l与α的位置关系．

(1)u＝(2，2，－1)，a＝(－3，4，2)；

(2)u＝(0，2，－3)，a＝(0，－8，12)；

(3)u＝(4，1，5)，a＝(2，－1，0)．

解：(1)∵u＝(2，2，－1)，a＝(－3，4，2)，

∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，

∴直线l与平面α的位置关系是l⊂α或l∥α.

(2)∵u＝(0，2，－3)，a＝(0，－8，12)，

∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.

(3)∵u＝(4，1，5)，a＝(2，－1，0)，

∴u与a不共线也不垂直，

∴l与α相交但不垂直．

8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE.

证明：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，所以＝