专题1.3空间向量基本定理重难点题型专训（3个知识点+3大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.3空间向量基本定理重难点题型专训 （3个知识点+3大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量基底概念及辨析 题型二 用空间基底表示向量 题型三 空间向量基本定理及其应用 拓展训练一 由空间向量基本定理求参数 拓展训练二 空间向量的正交分解 拓展训练三 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题 知识点一：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 【即时训练】 1．（24-25高二下·河北保定·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 2．（23-24高二下·全国·课前预习）基底空间中 的三个向量组成空间向量的一组 ，记为.此时都称为 . 【答案】 不共面 基底 基向量 【分析】略 【详解】略 故答案为：不共面；基底；基向量. 知识点二：空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【即时训练】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，其中，，，是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间基底向量表示可得答案. 【详解】因为，，，，是空间向量的一个单位正交基底， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二上·吉林松原·期中）设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ； 【答案】 【分析】根据空间向量的正交基底直接得解. 【详解】由是空间向量的一个单位正交基底， 则，， 故答案为：，. 知识点三：空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【即时训练】 1．（23-24高二上·湖北随州·阶段练习）已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 . 【答案】5 【分析】由空间向量基本定理求解， 【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则， 得，解得 故答案为：5 2.（23-24高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【答案】见详解 【分析】（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； （2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论； 【详解】（1）由题意，，， 故 , , 故，由于有公共点A， 故A、、三点共线； （2）由题意，点是平行四边形的中心， 故 ， 故 ,因为有公共点D， 故、、三点共线． 【经典例题一 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）定理：如果三个向量，， ，那么对任意一个空间向量，存在 的有序实数组，使得 .其中叫做空间的一个 ，，，都叫做 . 【答案】 不共面 唯一 基底 基向量 【分析】略. 【详解】略 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，由空间向量基底概念可判断各选项正误. 对于D，由题目中所提供信息可得答案. 【详解】根据空间向量基本定理及题意知这三个向量，，不共面，即这三个向量能构成空间的一个基底. 对于A，三个向量，，对应坐标的竖坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故A错误； 对于B，三个向量，，对应坐标的纵坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故B错误； 对于C，三个向量，，对应坐标的横坐标相同且为0，则三个向量都在平面上，即三个向量共面，故C错误； 对于D，设空间中任意向量为，， 则存在唯一的有序实数组，使 ， 则为“空间基本点集”，故D正确 故选：D 3．（24-25高二上·全国·课后作业）空间向量的正交分解： （1）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量进行正交分解. （2）单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 【答案】 垂直 垂直 1 【分析】略. 【详解】略. 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）空间中的任意三个向量都可以作为基底吗？ 【答案】答案见解析 【分析】利用空间向量的基本定理来解析. 【详解】不可以，因为空间基底向量一定是不共面的三个非零向量； 【经典例题二 用空间基底表示向量】 【例1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 【例2】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）如图所示，在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由是的中点，得，再根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. （2）由为的中点，得，再根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. （3）由为的中点，得，再根据空间向量的线性运算结合基底向量分别出和求解即可. 【详解】（1）因为是的中点，， 所以. （2）因为为的中点，， 所以. （3）因为为的中点，， 所以， ， 所以. 1．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算得，则得到其和值. 【详解】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）正方体中， ．（用、、表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的运算转化求解即可. 【详解】在正方体中， . 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量.    【答案】， 【分析】根据空间向量的加减运算法则计算即可. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 所以，. 【经典例题三 空间向量基本定理及其应用】 【例1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理可得答案． 【详解】. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·上海·课前预习）构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？ 【答案】不唯一，不共面 【分析】利用空间向量基本定理. 【详解】空间中任意三条不共面向量都可以作为基底，所以构成空间向量的基底是不唯一的，它们一定不共面. 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）在平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案. 【详解】在平行六面体中，向量不共面， 根据空间向量基本定理，， 又， 所以得，所以. 故选：A. 2．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（    ） A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线 C．与共线 D．O，A，B，C四点共面 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理即可判断 【详解】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面 故选：D 3．（2024高三·全国·专题练习）空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：如果且，则存在唯一的实数，使得． （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对，使 ． 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果，，三点不共线，则点在平面内的充要条件是，存在唯一的实数对，使． （3）空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，称为空间向量的一组基底． 【答案】 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正四面体中，点是面的中心．    (1)在此四面体的棱所对应的向量中找出两组各三个不共面的向量，并把其他棱对应的向量分别表示成这两组向量的线性组合（互为负向量的不必另行表示），要求第一组三个向量所在的棱有公共点，第二组三个向量所在的棱没有公共点； (2)把也分别表示为这两组向量的线性组合． 【答案】(1)答案见解析 (2)与． 【分析】（1）利用图形性质用空间向量的基本定理表示即可； （2）利用图形性质用空间向量的基本定理表示即可； 【详解】（1）第一组向量可选，与，则， ，． 第二组向量可选，与，则，，． （2）   如图取点为的中点， 由三角形的性质可知：点在上，且， 所以， 分别代入（1）的结果，化简得 与． 【拓展训练一 由空间向量基本定理求参数】 【例1】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 【例2】（23-24高二上·广东·阶段练习）已知四面体中，点分别为的中点，若，则分别为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理即可解决. 【详解】由图可知 ， 所以. 故选：B． 1．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选一组基底，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有，所以 ， 所以，所以， 故选：B. 3．（24-25高三上·上海黄浦·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 4．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 【拓展训练二 空间向量的正交分解】 【例1】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将向量用表示出来即可. 【详解】因为，向量在基底下的坐标为， 所以 ， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：A 【例2】（23-24高一下·湖南长沙·期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【答案】 【分析】设，然后整理解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 1．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解. 【详解】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得出，再结合，，，可得出关于基底的表达式，即可得解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝ ，z＝ ． 【答案】 1 3 【分析】化简得到，对比系数得到答案. 【详解】根据题意知：，. 故； 故答案为：；. 【点睛】本题考查了向量基本定理的应用，意在考查学生的计算能力. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 【答案】 【分析】设，然后整理解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 【拓展训练三 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例1】（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 1．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．若，则的夹角是钝角 B．已知向量组是空间的一个基底，则不能构成空间的一个基底 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 【答案】A 【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义、空间向量基本定理的知识依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，若夹角为，则成立，A错误； 对于B，，共面， 不能构成空间的一个基底，B正确； 对于C，由得：， 即，又， 所以由空间向量基本定理可知：四点共面，C正确； 对于D，若空间中的三个向量中有两个向量共线，且三个向量中，任意两个向量均共面， 三个向量必然共面，D正确. 故选：A. 2．（23-24高二上·山东·期中）已知空间向量，，，下列命题中正确的（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用空间任意两个向量共面可判断B选项；利用共面向量的定义可判断C选项；利用空间向量的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项：由于与共线，则，所在的直线也可能重合，故A不正确； 对于B选项：根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确； 对于C选项：因为存在不全为0的实数，使得,不妨设， 则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确； 对于D选项：只有当，，不共面时,空间中任意向量才能表示为. 故D不正确. 故选：C 3.（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】见详解 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 4.（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，． (1)证明四点共面； (2)若，求的值． 【答案】见详解 【分析】（1）通过证明，由此能够证明四点共面； （2）结合图形利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理进行求解． 【详解】（1）证明：在平行六面体中，，， ∵ ， 所以共面，且A为公共点， 所以四点共面； （2）， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 2．（23-24高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 4．（24-25高二上·福建泉州·期末）在四面体中，，，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 5．（24-25高二上·河南周口·期末）已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算可求得. 【详解】因为为的重心， 所以，因为为棱的中点， 所以， 则. 故选：C. 6．（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量的线性运用表示向量，进而求得，进而求值即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 7．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图形可得，根据比例关系可得,, 再根据向量的减法,代入整理，并用基底代换得答案. 【详解】由 整理得， 由，，代入得， . 故选：D 8．（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：A． 9．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，. 故选：A． 10．（24-25高二上·辽宁·期末）已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解. 【详解】由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故A错误； 对于B，因为非零向量，，两两垂直，所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误； 对于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误. 故选：B. 11．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图，在梯形ABCD中，，，点O为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算法则可得结果. 【详解】在中，， 在中，， 所以. 故答案为： 12．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 . 故答案为： 13．（24-25高二下·全国·课前预习）空间向量基本定理 设，，是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量可以分解成这三个向量的实数倍之和： ，上述表达式中的系数由唯一确定，即若，则，，． 【答案】 【分析】略 【详解】略 14．（23-24高二下·全国·课前预习）空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 ，那么对空间中的 向量，存在 有序实数组，使得 . 表达式一般称为向量的 或 . 【答案】 不共面 任意一个 唯一的 线性组合 线性表达式 【分析】略 【详解】略 故答案为：不共面；任意一个；唯一的；；线性组合；线性表达式. 15．（24-25高二上·全国·课前预习）空间向量的正交分解及其坐标表示 （1）单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫作单位正交基底，常用 表示. （2）正交分解:把一个空间向量分解为 的向量，叫作把空间向量进行正交分解. 【答案】 两两垂直 1 三个两两垂直 【详解】略 16．（24-25高二上·上海·课前预习）空间向量的基选定后，空间任一向量怎样用基表示？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】基选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则， 寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基表示出来． 17．（24-25高二上·上海·课前预习）平面向量的基底要求两个基底向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ 【答案】答案见解析 【分析】利用空间向量基本定理 . 【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示． 18．（24-25高二上·陕西汉中·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.    (1)用，，表示向量； (2)若，，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用空间向量的线性运算结合图形计算即可； （2）利用空间向量数量积的运算律计算即可. 【详解】（1）易知. （2）因为，，， 则 . 19．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 20．（24-25高二下·全国·课前预习）如图，设是空间中任意三个不共面的向量，且表示它们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量，能否用表示呢？ 【答案】能 【详解】如图，所确定的平面为，过点作直线，交平面于点，则对某个实数成立， 连接，则在平面内，因而对唯一有序实数组成立， 从而． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3空间向量基本定理重难点题型专训 （3个知识点+3大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量基底概念及辨析 题型二 用空间基底表示向量 题型三 空间向量基本定理及其应用 拓展训练一 由空间向量基本定理求参数 拓展训练二 空间向量的正交分解 拓展训练三 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题 知识点一：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 【即时训练】 1．（24-25高二下·河北保定·开学考试）若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24高二下·全国·课前预习）基底空间中 的三个向量组成空间向量的一组 ，记为.此时都称为 . 知识点二：空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【即时训练】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，其中，，，是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林松原·期中）设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ； 知识点三：空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【即时训练】 1．（23-24高二上·湖北随州·阶段练习）已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 . 2.（23-24高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，，． (1)求证：、、三点共线； (2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线． 【经典例题一 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（2025·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）定理：如果三个向量，， ，那么对任意一个空间向量，存在 的有序实数组，使得 .其中叫做空间的一个 ，，，都叫做 . 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于三元点集，若对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，则称为“空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）空间向量的正交分解： （1）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量进行正交分解. （2）单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）空间中的任意三个向量都可以作为基底吗？ 【经典例题二 用空间基底表示向量】 【例1】（24-25高二下·福建龙岩·期中）在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）如图所示，在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3) 1．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （   ）      A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）正方体中， ．（用、、表示） 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量.    【经典例题三 空间向量基本定理及其应用】 【例1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·上海·课前预习）构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？ 1．（23-24高二上·河北邢台·期末）在平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（    ） A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线 C．与共线 D．O，A，B，C四点共面 3．（2024高三·全国·专题练习）空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：如果且，则存在唯一的实数，使得． （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对，使 ． 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果，，三点不共线，则点在平面内的充要条件是，存在唯一的实数对，使． （3）空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，称为空间向量的一组基底． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正四面体中，点是面的中心．    (1)在此四面体的棱所对应的向量中找出两组各三个不共面的向量，并把其他棱对应的向量分别表示成这两组向量的线性组合（互为负向量的不必另行表示），要求第一组三个向量所在的棱有公共点，第二组三个向量所在的棱没有公共点； (2)把也分别表示为这两组向量的线性组合． 【拓展训练一 由空间向量基本定理求参数】 【例1】（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·广东·阶段练习）已知四面体中，点分别为的中点，若，则分别为（   ）    A． B． C． D． 1．（24-25高二下·甘肃金昌·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（       ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海黄浦·期末）在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 4．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【拓展训练二 空间向量的正交分解】 【例1】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·湖南长沙·期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 1．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知向量，，是空间的一组单位正交基底，向量，，是空间的另一组基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），p在基底，，下的坐标为（x，y，z），则x﹣y＝ ，z＝ ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 【拓展训练三 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例1】（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A．6 B．12 C． D． 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 1．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．若，则的夹角是钝角 B．已知向量组是空间的一个基底，则不能构成空间的一个基底 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 2．（23-24高二上·山东·期中）已知空间向量，，，下列命题中正确的（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 3.（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 4.（23-24高二上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，． (1)证明四点共面； (2)若，求的值． 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆合川·期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建泉州·期末）在四面体中，，，设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南周口·期末）已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·辽宁·期末）已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 11．（24-25高二上·上海嘉定·期中）如图，在梯形ABCD中，，，点O为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 12．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，则 . 13．（24-25高二下·全国·课前预习）空间向量基本定理 设，，是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量可以分解成这三个向量的实数倍之和： ，上述表达式中的系数由唯一确定，即若，则，，． 14．（23-24高二下·全国·课前预习）空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 ，那么对空间中的 向量，存在 有序实数组，使得 . 表达式一般称为向量的 或 . 15．（24-25高二上·全国·课前预习）空间向量的正交分解及其坐标表示 （1）单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫作单位正交基底，常用 表示. （2）正交分解:把一个空间向量分解为 的向量，叫作把空间向量进行正交分解. 16．（24-25高二上·上海·课前预习）空间向量的基选定后，空间任一向量怎样用基表示？ 17．（24-25高二上·上海·课前预习）平面向量的基底要求两个基底向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ 18．（24-25高二上·陕西汉中·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.    (1)用，，表示向量； (2)若，，，求. 19．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 20．（24-25高二下·全国·课前预习）如图，设是空间中任意三个不共面的向量，且表示它们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量，能否用表示呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $$