专题1.1空间向量及其线性运算重难点题型专训（3个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1空间向量及其线性运算重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量的有关概念 题型二 空间向量的加减运算 题型三 空间向量加减运算的几何表示 题型四 空间向量共线的判定 题型五 由空间向量共线求参数或值 题型六 空间共线向量定理的推论及应用 题型七 判定空间向量共面 题型八 空间向量共面求参数 题型九 空间共面向量定理的推论及应用 题型十 空间向量的数乘运算 题型十一 空间向量数乘运算的几何表示 拓展训练一 空间向量的线性运算 拓展训练二 空间向量共线问题 拓展训练三 空间向量共线条件下的参数求解 拓展训练四 空间向量共面问题 拓展训练五 空间向量共面条件下的参数求解 知识点一：空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【即时训练】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（24-25高二上·全国·课后作业）定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量. 知识点二：空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【即时训练】 1．（24-25高二上·天津和平·期末）长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，线段EF的长度为1，则 . 知识点三：共线向量与共面向量 1．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【即时训练】 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）命题“空间中的任意两个向量都是共面的”是 命题. (填“真”或“假”) 【经典例题一 空间向量的有关概念】 【例1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【例2】（24-25高二上·上海·课前预习）怎样的向量是共面的向量呢？ 1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．（23-24高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025高三·全国·专题练习）空间向量的概念 （1）定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量． （2）几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 4． （23-24高二·全国·课堂例题）你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？ 【经典例题二 空间向量的加减运算】 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）如何证明加法结合律？如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知，，，是空间中互不相同的四个点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课前预习）一般地，对于三个不共面的向量，以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以O为起点的平行六面体的 所表示的向量. 4．（23-24高二·湖南·课后作业）在正方体中，化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题三 空间向量加减运算的几何表示】 【例1】（24-25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）在空间四边形PABC中，（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）在四面体PABC中，（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）平行六面体中，若，，，那么 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）在空间四边形中，连接，设M，G分别是的中点，化简下列各向量表达式： (1)； (2). 【经典例题四 空间向量共线的判定】 【例1】（2023高三·全国·专题练习）如果直线a的方向向量是（1，2，4），直线b方向向量是（3，6，12），直线a，b不重合，那么（   ） A．a⊥b B．a∥b C．a, b相交 D．a, b异面 【例2】（22-23高二·湖南·课后作业）已知空间四点，，和，求证：四边形ABCD梯形． 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）若直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二上·山东济南·期中）与向量共线的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课前预习）两直线平行的判定方法 设，分别是直线，的方向向量，则 ，使得 ． 4.（23-24高二·全国·课后作业）如果A，B，C，D是空间中的四点，且，那么这四个点是否一定共线？ 【经典例题五 由空间向量共线求参数或值】 【例1】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知，，且，则（   ） A．-6 B．5 C．4 D．6 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知向量平行于向量，求、. 1．（24-25高二上·北京西城·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知点，，在直线上有一点，使得，求点的坐标． 【经典例题六 空间共线向量定理的推论及应用】 【例1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）若空间向量不共线，且，则xy＝（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 1．（24-25高二·全国·课后作业）在正四面体中，点，分别是，的中点，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 3．（23-24高二下·江苏南通·期末）试写出一个点的坐标： ，使之与点，三点共线． 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值． 【经典例题七 判定空间向量共面】 【例1】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）对两个不共线的空间向量，，若，那么向量与向量，有什么位置关系？ 1．（23-24高一下·海南海口·期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课前预习）向量共面定理 如果两个非零向量， ，那么向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使得 ，这就是说，向量可以用两个不共线的向量，线性表示. 4.（24-25高二上·上海·课前预习）空间中任意两个向量是否一定共面？ 【经典例题八 空间向量共面求参数】 【例1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【例2】（22-23高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1) 若，求的值； (2)设，，，求的值. 1．（24-25高二上·四川广安·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 4．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 【经典例题九 空间共面向量定理的推论及应用】 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系： （1）6； （2）4． 试判断点P是否与点A，B，C共面． 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点在所在平面内，若对于空间中任意一点都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 4．（2022高二上·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【经典例题十 空间向量的数乘运算】 【例1】 （23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课堂例题）类比平面向量，空间向量的数乘运算满足，对吗？ 1．（22-23高二下·全国·单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 2．（22-23高二上·江西赣州·期末）如图，在斜四棱柱中，底面是平行四边形，M为与的交点.若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·全国·课后作业）化简算式： ． 4．（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式： (1)； (2). 【经典例题十一 空间向量数乘运算的几何表示】 【例1】（23-24高二下·安徽滁州·期末）三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）实数λ和空间向量的乘积的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？ 1．（24-25高二上·河北·阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江·期中）在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）在平行六面体中，M为和的交点，设，，，则 （用表示） 4．（22-23高二上·浙江台州·阶段练习）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2). 【拓展训练一 空间向量的线性运算】 【例1】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）在三棱柱中， （    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)．    1．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则用，，表示（    ） A． B． C． D．     2．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（    ） A．3 B． C．4 D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，连接、.若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为 . 4．（23-24高二·全国·单元测试）在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量. 【拓展训练二 空间向量共线问题】 【例1】（23-24高二·甘肃武威·课后作业）下列命题中是真命题的是(　　) A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则 【例2】（24-25高二·甘肃武威·课后作业）如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点， N 是BD中点，判断与是否共线？ 1．（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A. B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 4．（24-25高二上·全国·课后作业）证明：如果非零向量共线，那么与共线． 【拓展训练三 空间向量共线条件下的参数求解】 【例1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知点，，在同一直线上，求的值． 1．（24-25高二上·辽宁·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），若则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，三点共线，则 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知点，，在直线上有一点，使得，求点的坐标． 【拓展训练四 空间向量共面问题】 【例1】（24-25高三上·四川自贡·期中）已知空间直角坐标系中的点集，对任意，都存在不全为零的实数满足．若，则的一个充分条件是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 1．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、 ．（填“共面”或“不共面”）    4.（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 【拓展训练五 空间向量共面条件下的参数求解】 【例1】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 【例2】（23-24高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 3．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知空间向量，若共面，则的最小值为 . 4．（23-24高一下·浙江·期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线分别交于点且，点在直线上，为的中点，且直线平面． （Ⅰ）设，试用基底表示向量； （Ⅱ）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上． 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川·期末）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．2 C． D．10 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，已知平行六面体中，点是侧面的中心，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽合肥·期中）在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 9．（24-25高二上·青海海南·期中）在三棱柱中，（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C． D．1 11．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是 ． 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 13．（24-25高二上·浙江台州·期中）向量与共线，且方向相同，则 . 14．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 15．（24-25高二上·北京·期中）已知，，点在坐标平面上，且、、三点共线，则点的坐标为 . 16．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 17．（23-24高二·全国·课堂例题）如何理解空间向量？它与平面向量有什么区别和联系？ 18．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 19．（23-24高二上·上海·课后作业）在长方体中，，，，写出： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量． 20．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． $$专题1.1空间向量及其线性运算重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量的有关概念 题型二 空间向量的加减运算 题型三 空间向量加减运算的几何表示 题型四 空间向量共线的判定 题型五 由空间向量共线求参数或值 题型六 空间共线向量定理的推论及应用 题型七 判定空间向量共面 题型八 空间向量共面求参数 题型九 空间共面向量定理的推论及应用 题型十 空间向量的数乘运算 题型十一 空间向量数乘运算的几何表示 拓展训练一 空间向量的线性运算 拓展训练二 空间向量共线问题 拓展训练三 空间向量共线条件下的参数求解 拓展训练四 空间向量共面问题 拓展训练五 空间向量共面条件下的参数求解 知识点一：空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【即时训练】 1．（2024高三·全国·专题练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量. 【答案】 大小 方向 【分析】略. 【详解】定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. 故答案为：大小；方向. 知识点二：空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【即时训练】 1．（24-25高二上·天津和平·期末）长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量运算的三角形法则和平行四边形法则，可得结果. 【详解】 由向量的运算法则得，, 代入，，， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，线段EF的长度为1，则 . 【答案】 【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解. 【详解】 因为E，F分别为AD，BC的中点，所以 所以， . 故答案为：. 知识点三：共线向量与共面向量 1．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【即时训练】 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据正方体的性质可解. 【详解】如图，在正方体中，. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）命题“空间中的任意两个向量都是共面的”是 命题. (填“真”或“假”) 【答案】真 【分析】根据向量的基本概念，空间向量的定义来判断该命题的真假. 【详解】由向量是既有大小又有方向的量，在空间中，向量可以自由平移， 故无论它们在空间中的位置如何，都可以通过平移让它们处于同一平面内， 所以空间中的任意两个向量都是共面的. 故答案为：真. 【经典例题一 空间向量的有关概念】 【例1】（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 【例2】（24-25高二上·上海·课前预习）怎样的向量是共面的向量呢？ 【答案】答案见解析 【分析】根据同面向量的定义求解. 【详解】一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量， 显然，任意两个空间向量都是共面向量 1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据空间向量的有关定义判断可得答案. 【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）空间向量的概念 （1）定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量． （2）几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 【答案】 大小 方向 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高二·全国·课堂例题）你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？ 【答案】答案见解析 【详解】（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量． （2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同． 【经典例题二 空间向量的加减运算】 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得出，然后根据空间向量的减法即可得解． 【详解】，， 是BC的中点， ， ， 故选： 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）如何证明加法结合律？如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 【答案】答案见解析 【详解】和表示同一向量，如图所示． （1）三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量． （2）利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量加减法法则计算． 【详解】由题意， 故选：C． 2．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知，，，是空间中互不相同的四个点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的运算法则直接计算. 【详解】， 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课前预习）一般地，对于三个不共面的向量，以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以O为起点的平行六面体的 所表示的向量. 【答案】体对角线 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高二·湖南·课后作业）在正方体中，化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用向量的线性运算可得计算结果. （2）利用向量的线性运算可得计算结果. （3）利用向量的线性运算可得计算结果. （4）利用向量的线性运算可得计算结果. 【详解】（1） （2） （3） （4） 【经典例题三 空间向量加减运算的几何表示】 【例1】（24-25高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意点是的中点， 所以. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以. 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）在空间四边形PABC中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加法、减法法则即可得到答案. 【详解】． 故选：A. 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）在四面体PABC中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的计算法则计算即可. 【详解】由题可知 故选：A 3．（23-24高二·全国·课后作业）平行六面体中，若，，，那么 ． 【答案】 【分析】依据平行六面体结构特征和向量加减法几何意义去求 【详解】平行六面体中 ，则 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）在空间四边形中，连接，设M，G分别是的中点，化简下列各向量表达式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）， ∵G是的中点， ∴； （2）∵M是的中点， ∴， ∴. 【经典例题四 空间向量共线的判定】 【例1】（2023高三·全国·专题练习）如果直线a的方向向量是（1，2，4），直线b方向向量是（3，6，12），直线a，b不重合，那么（   ） A．a⊥b B．a∥b C．a, b相交 D．a, b异面 【答案】B 【分析】根据共线定理即可求解. 【详解】由题知， 因为，所以a∥b， 故选：B. 【例2】（22-23高二·湖南·课后作业）已知空间四点，，和，求证：四边形ABCD梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量坐标判断得，与不共线，进而得证. 【详解】证明：依题意，， 所以． 同理，，． 由，可知． 考察向量与，由于，故不存在实数t，使得，即与不共线，所以四边形ABCD是梯形． 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）若直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题可得，根据空间向量共线的判定依次判断即可. 【详解】因为直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，所以， 对A，，不平行；对B，，不平行； 对C，，，故C正确；对D，不平行. 故选：C. 2．（23-24高二上·山东济南·期中）与向量共线的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直接利用空间向量共线的性质判断即可. 【详解】因为不存在实数使得 ，，， 所以，，都不与共线， 因为， 所以与向量共线的向量是， 故选：D. 3．（24-25高二下·全国·课前预习）两直线平行的判定方法 设，分别是直线，的方向向量，则 ，使得 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高二·全国·课后作业）如果A，B，C，D是空间中的四点，且，那么这四个点是否一定共线？ 【答案】不一定 【分析】结合梯形的知识对四个点是否一定共线进行判断. 【详解】如图所示的梯形中，满足，但四点不共线. 所以四个点不一定共线. 【经典例题五 由空间向量共线求参数或值】 【例1】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知，，且，则（   ） A．-6 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用空间向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知向量平行于向量，求、. 【答案】. 【分析】根据向量共线定理的坐标式，建立方程，即可求解. 【详解】若，则，由可知与不平行，不符合题意， 若，且，， ， 解得. 1．（24-25高二上·北京西城·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线即可求解. 【详解】由于， 由于三点共线，所以，解得， 故, 故选：A 2．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量共线定理，可得的值，即可得到结果. 【详解】向量，且，则存在实数，使得， 即，所以,解得, 故， 故选：B 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】5 【分析】根据即可得出m，n的值，然后得解． 【详解】由，得，解得，， 所以 故答案为：5 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知点，，在直线上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】 【解析】设，，，进而得，，再结合向量相等求解即可. 【详解】解：设，，， 点，， ∴， ∵ ∴ ， ，解得，，， ． 【经典例题六 空间共线向量定理的推论及应用】 【例1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）若空间向量不共线，且，则xy＝（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】由题可知左右两边系数对应相等即可求出x和y. 【详解】因为空间向量不共线， 要使， 则. 故选：D. 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 1．（24-25高二·全国·课后作业）在正四面体中，点，分别是，的中点，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】根据题意，可知，再结合正四面体的性质即可求解. 【详解】由题意，可得， 所以． 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 3．（23-24高二下·江苏南通·期末）试写出一个点的坐标： ，使之与点，三点共线． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，写出一个符合要求的即可. 【详解】根据题意可得，设 ，则设， 即 故 ，不妨令，则，故． 故答案为： 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值． 【答案】 【分析】分析可知存在使得，利用空间向量共线的基本定理可求得的值. 【详解】因为、、共线，则存在使得，即， 所以，， 又因为，则. 【经典例题七 判定空间向量共面】 【例1】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案. 【详解】A选项，，所以，，是共面向量； B选项，，所以，，是共面向量； C选项，， 所以，，是共面向量； D选项，令，显然无解，故不是共面向量. 故选：D 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）对两个不共线的空间向量，，若，那么向量与向量，有什么位置关系？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】若，则在，所在平面内． 反之，若在，所在平面内，则有． 1．（23-24高一下·海南海口·期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可. 【详解】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，根据得到三向量不共面；BCD选项，设为未知数，得到方程组，方程无解则不共面，方程有解则共面，得到答案. 【详解】A选项，因为，故不共面，A错误； B选项，设， 故，无解，故不共面，B正确； C选项，设， 则，解得，故共面，C错误； D选项，， 则，解得，故共面，D错误. 故选：B 3．（24-25高二下·全国·课前预习）向量共面定理 如果两个非零向量， ，那么向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使得 ，这就是说，向量可以用两个不共线的向量，线性表示. 【答案】 不共线 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高二上·上海·课前预习）空间中任意两个向量是否一定共面？ 【答案】是 【分析】根据空间向量的定义分析判断 【详解】因为空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平面的两个向量, 因此空间中任意两个向量一定是共面向量 【经典例题八 空间向量共面求参数】 【例1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）为空间任意一点，若，若四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的基本定理可得答案. 【详解】若四点共面，则， 解得. 故选：C. 【例2】（22-23高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【答案】(1)0 (2)6 【分析】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值； （2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值. 【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. 1．（24-25高二上·四川广安·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由空间向量的基本定理求解即可； 【详解】由题意可得， 因为四点共面，所以存在实数使得， 即， 所以，解得， 故选：D. 2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点，，，共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间中四点共面定理求解即可. 【详解】根据空间中四点共面可知，，解得. 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 4．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知空间中三点，， (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）可求.由已知可设，通过解出，代入即可；（2）由已知得，四点共面，则存在唯一一组实数对，使得成立，代入坐标得到方程组，求解即可得到m的值. 【详解】（1）由已知得，， 因为，设，则， 所以，或. （2）由已知得，， 点在平面ABC上，则存在唯一一组实数对， 使得成立，即， 解得，所以 【经典例题九 空间共面向量定理的推论及应用】 【例1】（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 【详解】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系： （1）6； （2）4． 试判断点P是否与点A，B，C共面． 【答案】（1）P与点A，B，C共面，（2）P与点A，B，C不共面． 【分析】将已知化为：的形式，判断x+y+z＝1是否成立，可得P与点A，B，C是否共面． 【详解】解：（1）∵6， ∴6， ∴， ∵1， ∴P与点A，B，C共面； （2）∵4． ∴4． ∵4﹣1﹣1≠0， ∴P与点A，B，C不共面． 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且，若M，A，B，C四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用共面向量定理的推论求解即可. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 2．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知点在所在平面内，若对于空间中任意一点都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据四点共面的性质即可求解. 【详解】由题意可知四点共面， 故，故， 故选：A 3．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 4．（2022高二上·全国·专题练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】设，首先用表示，然后可得用表示出，从而证明三向量共面，得四点共面． 【详解】设，则， 为的中点，， 又，， ， 为共面向量， 又三向量有相同的起点，四点共面． 【经典例题十 空间向量的数乘运算】 【例1】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 【例2】（23-24高二·全国·课堂例题）类比平面向量，空间向量的数乘运算满足，对吗？ 【答案】答案见解析 【详解】正确．类比平面向量的运算律可知． 1．（22-23高二下·全国·单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：A. 2．（22-23高二上·江西赣州·期末）如图，在斜四棱柱中，底面是平行四边形，M为与的交点.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空进向量运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：A 3．（24-25高二·全国·课后作业）化简算式： ． 【答案】 【分析】根据向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由题意得. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1）. （2）. 【经典例题十一 空间向量数乘运算的几何表示】 【例1】（23-24高二下·安徽滁州·期末）三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可. 【详解】 故选：D. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）实数λ和空间向量的乘积的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？ 【答案】答案见解析 【分析】利用空间向量的数乘运算的几何意义以及空间向量的数乘运算满足的运算律写出答案即可. 【详解】时，和方向相同； 时，和方向相反； 的长度是的长度的倍. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： ①分配律：， ②结合律：. 【点睛】本题主要考查了空间向量的数乘运算的几何意义以及空间向量的数乘运算满足的运算律.属于容易题. 1．（24-25高二上·河北·阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法的三角形法则和平行四边形法则计算即可. 【详解】因为是边的中点，则，. 故选：B 2．（24-25高二上·浙江·期中）在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D． 3．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）在平行六面体中，M为和的交点，设，，，则 （用表示） 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算性质即可得出答案. 【详解】解：在平行六面体中，则M为和的中点， 则. 故答案为：. 4．（22-23高二上·浙江台州·阶段练习）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2) 【分析】根据向量加法法则求解即可； 【详解】（1） （2） 【拓展训练一 空间向量的线性运算】 【例1】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）在三棱柱中， （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算向量的减法，然后向量的平行四边形法则计算，由此可得结果. 【详解】如图所示根据题意知 又因三棱柱，所以可知平面都是矩形，则， 所以， 根据向量的平行四边形法则可得 故选：C 【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）如图，连接，    则， （2）连接，则 ． （3）， （4） . 1．（24-25高二上·吉林白山·阶段练习）在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则用，，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据底面是正方形，E为中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求解. 【详解】如图所示根据题意知， 而, 将代入上式可求得. 故选：A      2．（22-23高二下·浙江杭州·期末）设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据条件，得到，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值. 【详解】因为， 且，所以， 而，当且仅当同向时，等号成立， 而A，，，在球面上，不可能共线，即不同向， 所以 且均小于直径长2，即， 综上，. 根据选项可知A不符合. 故选：A 3．（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，连接、.若是正三角形，且为其中心，则的化简结果为 . 【答案】 【分析】取的中点，连接，可得出，利用空间向量的线性运算化简可得结果. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为等边的中心，为的中点，则， 故.    故答案为：. 4．（23-24高二·全国·单元测试）在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量. 【答案】a－b＋c. 【分析】利用向量的三角形法则，平行四边形法则即可得到答案 【详解】解：， 又 故答案为 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理及其意义，运用基底来表示相关向量，较为基础． 【拓展训练二 空间向量共线问题】 【例1】（23-24高二·甘肃武威·课后作业）下列命题中是真命题的是(　　) A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则 【答案】D 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A错误； 因为仅表示与的模相等，与方向无关，选项B错误； 因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有这种写法，选项C错误； ∵，∴，∴与共线，故 ，选项D正确. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【例2】（24-25高二·甘肃武威·课后作业）如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是AD1中点， N 是BD中点，判断与是否共线？ 【答案】共线 【分析】由题意结合空间向量的运算法则可得，据此可知与共线. 【详解】∵M，N分别是AD1，BD的中点，四边形ABCD为平行四边形，连结AC，则N为AC的中点． ∴＝. ∴与共线． 【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，向量共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 1．（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 2．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A. B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 3．（2024高三·全国·专题练习）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 4．（24-25高二上·全国·课后作业）证明：如果非零向量共线，那么与共线． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量共线定理即可可解. 【详解】解：因为非零向量共线， 所以存在非零实数，使得． 即，所以与共线． 【拓展训练三 空间向量共线条件下的参数求解】 【例1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知点，，在同一直线上，求的值． 【答案】 【分析】首先表示出，的坐标，再依题意可得//，即存在实数，使得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，，， 所以， 因为在同一直线上，所以//，即存在实数，使得， 所以，所以，解得， 所以. 1．（24-25高二上·辽宁·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 2．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），若则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案. 【详解】根据，则存在一个常数使得， 所以可得，解之可得，所以. 故选：C 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，三点共线，则 . 【答案】26 【分析】利用向量的共线的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意，，因为，所以， 所以，，所以. 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知点，，在直线上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】 【解析】设，，，进而得，，再结合向量相等求解即可. 【详解】解：设，，， 点，， ∴， ∵ ∴ ， ，解得，，， ． 【拓展训练四 空间向量共面问题】 【例1】（24-25高三上·四川自贡·期中）已知空间直角坐标系中的点集，对任意，都存在不全为零的实数满足．若，则的一个充分条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可． 【详解】不全为0的实数，使得， 所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，即向量共面， 对于A，，若，则与共线，与共线，所以可以属于，此时三者不共面，故A不正确； 对于B，，若，则与共线， 所以可以属于，此时三者不共面，故B不正确； 对于C，，若，则与， 所以可以属于，此时三者不共面，故C不正确； 对于D，显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出，故D正确． 故选：D. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【详解】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 1．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量定理判断． 【详解】A选项，，共面； B选项，，共面； C选项，若存在，使得，则共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面． D选项，，共面． 故选：C． 2．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可. 【详解】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 3．（23-24高二上·河北唐山·阶段练习）如图，M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，则向量与、 ．（填“共面”或“不共面”）    【答案】共面 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算，再利用共面向量定理判断即得. 【详解】依题意，， 所以向量与、共面. 故答案为：共面 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 【答案】，，三个向量共面 【分析】根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可说明． 【详解】，，三个向量共面． 因为， 所以， 化简得，， 即， 即， 故，，三个向量共面． 【拓展训练五 空间向量共面条件下的参数求解】 【例1】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 故选：C． 【例2】（23-24高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】为定值4；证明见解析； 【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出. 然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论. 【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 . 联结DM，点，，，M共面，故存在实数， 满足，即， 因此， 由空间向量基本定理知， ， 故，为定值. 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 3．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知空间向量，若共面，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先利用题给条件求得之间的关系，再利用二次函数即可求得的最小值. 【详解】空间向量， 若共面，则可令， 则 ，解之得 则 二次函数的最小值为，则的最小值为. 故答案为： 4．（23-24高一下·浙江·期末）已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线分别交于点且，点在直线上，为的中点，且直线平面． （Ⅰ）设，试用基底表示向量； （Ⅱ）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）由，利用空间向量的加、减运算法则求解； （Ⅱ）结合（Ⅰ），根据，设，分别用表示，，，然后根据平面，由存在实数y，z，使得求解. 【详解】（Ⅰ）因为， 所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又因为， 所以，, 则， ，， 设， 则，， 因为平面，则存在实数y，z，使得， 即， ， 所以， 消元得， 当时，， 当时， ， ， 解得， 综上：， 所以对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是正确理解平面，进而利用向量法，由存在实数y，z，使得而得解. 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理的推论得到，解得即可. 【详解】因为点在平面内，且， 所以，解得. 故选：D 2．（24-25高二上·广东梅州·期末）如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 3．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【详解】在平行六面体中，==. 故选：C 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且，若P、A、B、C四点共面，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据知O、A、B、C是不共面的四点，则对平面内任一点P都存在唯一的有序实数组，使，其中，即可求解. 【详解】因为，且P、A、B、C四点共面， 则，解得， 故选：C. 5．（24-25高二上·四川·期末）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得结果. 【详解】依题意可得，解得，， 所以. 故选：C. 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）如图，已知平行六面体中，点是侧面的中心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】因为点是侧面的中心， 所以点是的中点， 则 . 故选：C. 7．（24-25高二上·安徽合肥·期中）在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加减法的运算法则即可求解. 【详解】, 故选：C 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 9．（24-25高二上·青海海南·期中）在三棱柱中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得：． 故选：C. 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由题意可知四点共面，且， 则，所以实数的值为1. 故选：D 11．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共面定理直接求解即可. 【详解】四点共面，， ，解得：. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理判断向量共面，可得解. 【详解】由题知， 即 又，，，四点共面， 所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·浙江台州·期中）向量与共线，且方向相同，则 . 【答案】14 【分析】根据共线得到等式，计算即可求得结果. 【详解】因为向量与共线，且方向相同， 所以，则， 得到，解得，， 所以， 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海静安·期中）已知向量平行于向量 ，则 【答案】 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 15．（24-25高二上·北京·期中）已知，，点在坐标平面上，且、、三点共线，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据三点共线列方程，由此来求得点的坐标. 【详解】由于点在坐标平面上，故可设， 由于、、三点共线， 所以， 所以， 所以，解得. 所以. 故答案为： 16．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 17．（23-24高二·全国·课堂例题）如何理解空间向量？它与平面向量有什么区别和联系？ 【答案】答案见解析 【详解】（1）空间点的一个平移就是一个向量，空间中任意两个非零向量是共面的． （2）空间向量一般用有向线段表示．同向且等长的有向线段表示同一或相等的向量． （3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示． 空间向量是平面向量的延伸，它们没有本质区别，都是表示具有大小和方向的量，它们的运算规律完全相同．空间向量的相关定理及公式与平面向量类似，可以类比学习．所有的平面向量都是共面向量；空间中的任意两个非零向量都是共面向量，任意三个非零向量可能共面，也可能不共面． 18．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)试写出与相等的所有向量． (2)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，与相等有； （2）由题意，的相反向量有. 19．（23-24高二上·上海·课后作业）在长方体中，，，，写出： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由体对角线相等，得到与模相等的向量； （2）相等向量，需方向相同，模长相等，得到答案； （3）根据长方体特征写出与垂直的向量. 【详解】（1）与模相等的向量有； （2）与相等的向量有； （3）与垂直的向量有， ， 20．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. $$