专题1.2空间向量数量积运算重难点题型专训（2个知识点+3大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.2空间向量数量积运算重难点题型专训 （2个知识点+3大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量数量积的概念辨析 题型二 求空间向量的数量积 题型三 空间向量数量积的应用 拓展训练一 求空间向量的夹角（余弦值） 拓展训练二 利用空间向量的数量积求模 拓展训练三 投影向量的求解 知识点一：空间向量的数量积与夹角 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【即时训练】 1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 2．（2023高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 知识点二：向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【即时训练】 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A． B．23 C．5 D．27 2．（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【经典例题一 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）类比平面向量的夹角的概念，空间向量的夹角是怎样定义的？ 1．（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24高二下·全国·课前预习）空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 ，记作. （2）向量的数量积 两个非零向量，的数量积定义为 ． （3）数量积的性质： ① ⇔ ；         ②·= =； ③|·|≤||||；                   ④(λ)·=λ(·)； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 4． （23-24高二·全国·课堂例题）对于向量，由，能得到吗？ 【经典例题二 求空间向量的数量积】 【例1】（24-25高二上·江西·阶段练习）关于空间向量，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知向量，．求． 1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ． 4．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 【经典例题三 空间向量数量积的应用】 【例1】（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期中）已知，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【例2】（22-23高二下·全国·课后作业）如图所示，在120°的二面角中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．    1．（24-25高二上·北京大兴·期中）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（24-25高二下·全国·课前预习）空间向量的数量积 （1）定义 为与的数量积． 特别地，，，． （2）对于两个非零向量，，由得． （3）空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ， 交换律 分配律 4．（21-22高二·全国·课后作业）已知都是空间向量，且，求. 【拓展训练一 求空间向量的夹角（余弦值）】 【例1】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【例2】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）向量，，，若，则与的夹角为 . 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 【拓展训练二 利用空间向量的数量积求模】 【例1】（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 例2】（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，．若，，求的最小值； 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 2．（24-25高三下·河南·阶段练习）设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设.试采用向量法解决下列问题：则的模长为 .    4．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为.求的长. 【拓展训练三 投影向量的求解】 【例1】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）已知在标准正交基下，向量，，，求向量在上的投影． 1．（23-24高二上·湖北十堰·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁营口·期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二上·广西来宾·阶段练习）已知，，求在上的投影向量 （用坐标表示） 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量． 1．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 3．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）一物体在力F的作用下，由点A（2，1，-1）移动到点B（7，0，1），若，则对该物体所做的功为（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 5．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 6．（22-23高二上·山东临沂·期中）四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）已知，，则 （   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二·江苏·课后作业）在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知向量，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是 12．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，已知线段在平面内，，且，则 .    13．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，则 ． 14．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知，，，则与的夹角 . 15．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知，则在方向上的投影向量为 ． 16．（23-24高二·全国·课堂例题）若是空间的两个非零向量，则，对吗？ 17．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点．试确定向量在直线上的投影向量，并求． 18．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2空间向量数量积运算重难点题型专训 （2个知识点+3大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 空间向量数量积的概念辨析 题型二 求空间向量的数量积 题型三 空间向量数量积的应用 拓展训练一 求空间向量的夹角（余弦值） 拓展训练二 利用空间向量的数量积求模 拓展训练三 投影向量的求解 知识点一：空间向量的数量积与夹角 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【即时训练】 1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则. 故选：C 2．（2023高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 【答案】/-0.25 【分析】得到，利用向量数量积公式求出答案. 【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点， 所以， 故 故答案为： 知识点二：向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【即时训练】 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为（   ） A． B．23 C．5 D．27 【答案】B 【分析】由投影向量的概念求解即可. 【详解】根据题意可得在上的投影向量为，解得. 故选：B 2．（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 【经典例题一 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）类比平面向量的夹角的概念，空间向量的夹角是怎样定义的？ 【答案】答案见解析 【详解】由于空间任意两个向量，都可以平移到同一个平面内，类比平面向量夹角的定义，我们把平移后两向量的夹角称为空间向量，的夹角. 1．（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】根据正三角内角为求解. 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 3．（23-24高二下·全国·课前预习）空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 ，记作. （2）向量的数量积 两个非零向量，的数量积定义为 ． （3）数量积的性质： ① ⇔ ；         ②·= =； ③|·|≤||||；                   ④(λ)·=λ(·)； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 【答案】 垂直 ·=0 · ·+· 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高二·全国·课堂例题）对于向量，由，能得到吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不能，若是非零向量，则得到，即可能有成立． 【经典例题二 求空间向量的数量积】 【例1】（24-25高二上·江西·阶段练习）关于空间向量，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律判断即可. 【详解】根据空间向量数量积的运算律可知：，， 均成立，即A、B、C正确； 为与共线的向量， 为与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误． 故选：D 【例2】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知向量，．求． 【答案】 【分析】根据空间向量的数量积公式即可求得结果. 【详解】由向量，， 可得. 1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 3．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ． 【答案】13 【分析】利用向量数量积运算律即可求得的值. 【详解】空间向量的夹角为， 则. 故答案为：13 4．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 【答案】(1)1 (2)2 (3)0 【分析】分别将，，转化为，，后根据数量积定义计算即可. 【详解】（1）在正四面体ABCD中， （2） （3） 在正四面体ABCD中，， 故 【经典例题三 空间向量数量积的应用】 【例1】（22-23高二上·新疆巴音郭楞·期中）已知，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得. 【详解】由可得， 解得. 故选：A 【例2】（22-23高二下·全国·课后作业）如图所示，在120°的二面角中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．    【答案】12 【分析】由，结合和 AC⊥AB，BD⊥AB求解即可. 【详解】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴， 又∵二面角的平面角为120°， ∴， ∴ ∴CD＝12． 1．（24-25高二上·北京大兴·期中）在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 所以. 故选：B 2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在正方体中，， 所以. 故选：B 3．（24-25高二下·全国·课前预习）空间向量的数量积 （1）定义 为与的数量积． 特别地，，，． （2）对于两个非零向量，，由得． （3）空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ， 交换律 分配律 【答案】 【分析】略 【详解】略 4．（21-22高二·全国·课后作业）已知都是空间向量，且，求. 【答案】 【分析】由向量的数乘定义或者数量积性质可得. 【详解】与同向，与反向，且 另解： 又向量的夹角范围为， 【拓展训练一 求空间向量的夹角（余弦值）】 【例1】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【分析】由题意，再两边平方求解即可. 【详解】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得. 故选：D 【例2】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【详解】因为， 所以, 得. 故选：D 2．（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 3．（24-25高二上·天津·阶段练习）向量，，，若，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】求出后利用向量的夹角公式可求夹角的余弦值，从而可求夹角. 【详解】由题设可得，故即， 故，而，故， 故答案为： 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】利用空间向量的数量积公式计算即可. 【详解】（1）由已知可得， 所以； （2）由， 所以和夹角的余弦值为. 【拓展训练二 利用空间向量的数量积求模】 【例1】（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据及数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以，即线段的长为. 故选：C 例2】（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，．若，，求的最小值； 【答案】 【分析】根据向量的模及数量积的运算，结合二次函数的性质可得结果； 【详解】已知（）， 所以， 故的最小值为. 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. 2．（24-25高三下·河南·阶段练习）设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先设，，再根据二面角得出，最后应用，应用数量积化简结合基本不等式计算求最小值. 【详解】 设，， 在平面直角坐标系中，过作轴于点，过作轴于点， 则，，，， 折叠后即有， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选:C. 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设.试采用向量法解决下列问题：则的模长为 .    【答案】/ 【分析】首先连接，根据题意得到，再平方即可. 【详解】如图所示：    连接，如图所示： . 因为， 所以， 所以. 故答案为： 4．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为.求的长. 【答案】 【分析】由题可得，且，利用空间向量数量积的运算求出的值，即可得解. 【详解】由已知可得，且， 由空间向量数量积的定义可得， 所以，， 因此，，即的长为. 【拓展训练三 投影向量的求解】 【例1】（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解. 【详解】直线l的方向向量为和， 可得， 则向量直线l上的投影向量的坐标为 . 故选：D. 【例2】（23-24高二·湖南·课后作业）已知在标准正交基下，向量，，，求向量在上的投影． 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质结合向量投影的定义可求得结果. 【详解】解：非零向量在非零向量方向上的投影为， 由已知可得，且， ， 所以，向量在上的投影为. 1．（23-24高二上·湖北十堰·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标，即可根据投影向量的定义求解. 【详解】设坐标原点为,,所以， 故在坐标平面上的投影点为， 故向量在坐标平面上的投影向量为, 故选：A 2．（23-24高二上·辽宁营口·期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量在向量方向上的投影为，运算即可的解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影为. 故选：B. 3．（24-25高二上·广西来宾·阶段练习）已知，，求在上的投影向量 （用坐标表示） 【答案】 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，得， 在上的投影向量为， 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量． 【答案】向量在、、方向上的投影数量分别为、、. 【分析】分析可得，利用投影数量公式可求得向量在、、方向上的投影数量. 【详解】解：非零向量在非零向量方向上的投影数量为， 由空间向量的平行六面体法则可得， 在长方体中，， 因此，向量在方向上的投影数量为， 向量在方向上的投影数量为， 向量在方向上的投影数量为. 1．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意向量， 故，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 2．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果. 【详解】由已知可得, ， 则， 故选：A 3．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）一物体在力F的作用下，由点A（2，1，-1）移动到点B（7，0，1），若，则对该物体所做的功为（    ） A．21 B．23 C．25 D．27 【答案】D 【分析】根据做功的意义，运用数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可得，, 因为, 所以. 故选：. 4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 5．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误， 对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确， 对于C，零向量的方向是任意的，故C错误， 对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误， 故选：B 6．（22-23高二上·山东临沂·期中）四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得 ，由数量积公式计算即可. 【详解】由题知，， 所以 ， 所以，解得， 故选：C 7．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）已知，，则 （   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】向量数量积的坐标运算，就可以得到结果. 【详解】因为，， 故选：D 8．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的数量积表示可求得结果. 【详解】由题意可知，，因此，. 故选：D. 9．（23-24高二·江苏·课后作业）在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得，结合向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】如图所示，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，设， 所以， 则， 当时，的最小值为. 故选：D. 10．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知向量，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算计算可得. 【详解】∵， 故选:B 11．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是 【答案】 【分析】利用投影向量定义直接代入计算可得结果. 【详解】由，可得， 易知向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 12．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）如图，已知线段在平面内，，且，则 .    【答案】 【分析】根据空间向量的线性表示，结合模长公式，即可求解. 【详解】由于，在平面内，所以,又 所以, 由于,所以, 所以， 故答案为： 13．（23-24高二上·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【分析】直接根据向量的夹角公式求解. 【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故 故答案为： 14．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知，，，则与的夹角 . 【答案】/ 【分析】 利用数量积计算向量夹角余弦，进而求得夹角. 【详解】 ，由的范围为， 所以. 故答案为：. 15．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义即可由数量积求解. 【详解】由于，故在方向上的投影向量为， 故答案为： 16．（23-24高二·全国·课堂例题）若是空间的两个非零向量，则，对吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不对．∵与，与分别互为相反向量， ∴． 对空间任意两个非零向量，有 ①； ②； ③． 17．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点．试确定向量在直线上的投影向量，并求． 【答案】，1 【分析】根据投影向量和数量积的定义求解即可． 【详解】在正方体中，，且， 因此，即为在直线上的投影向量， 所以． 18．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【答案】45°；135°；60°；120°；90° 【分析】 由图形特征求向量夹角. 【详解】 连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以， ， ， ， . 19．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据空间向量的数量积的定义求解各小题即可. 【详解】（1）由题意，E，F分别是，的中点， 则. （2）. （3）. 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【详解】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 学科网（北京）股份有限公司 $$