2.4 曲线与方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

2．4　曲线与方程 课程标准 素养解读 1.学习本节要掌握曲线的方程与方程的曲线的概念，明确曲线的点集和方程解集间的一一对应关系，并能根据点的坐标是否适合方程，来判断该点是否在曲线上 2.能够通过求方程组的解，来确定曲线的交点 3.初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及根据曲线的方程研究曲线的性质的方法 1.通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养 2.借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养 3.通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养 4.借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] 我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过数缺形则少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想，在前面我们学习了直线和圆的方程．对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用． [知识梳理] [知识点一]　曲线与方程的概念　 　在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： ①　曲线C上点的坐标　都是方程F(x，y)＝0的解； ②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 那么，方程F(x，y)＝0叫做　曲线的方程　；曲线C叫做　方程的曲线　. 1.如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明． [提示]　如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆． 2．如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ [提示]　若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0. [知识点二]　两条曲线的交点坐标　 　曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组的　实数解　. [知识点三]　求曲线的方程的步骤　 [预习自测] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f(x，y)＝0，即为曲线C的方程．(　　) (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.(　　) (3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样．(　　) (4)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称 解析：C　[将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C.] 3．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是(　　) A．一条直线 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点 解析：B　[C的轨迹是线段AB的垂直平分线去掉AB的中点．] 4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是　________　. 解析：由方程得表示四个点． 答案：4个点 　　　曲线与方程的概念 [例1]　分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． [解]　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程． [变式训练] 1．如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，那么以下说法正确的是(　　) A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上 解析：D　[由题意可知，曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x，y)＝0的解构成的集合的子集，它包含两种情形：①真子集；②相等．据以上可知，选项A，B，C都是不正确的，只有选项D是正确的．] 　　　由方程研究曲线的性质 [例2]　已知曲线C的方程是x4＋y2＝1.关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线y＝x对称； ③曲线C所围成的区域的面积大于π. 其中，所有正确结论的序号是　________　. [思路点拨]　分析关于原点对称的两个点(x，y)，(－x，－y)，是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y＝x对称的两个点(x，y)，点(y，x)，是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③. [解析]　将方程中的x换成－x，y换成－y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确； 将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错误； 在曲线C上任取一点M(x0，y0)，x＋y＝1， ∵|x0|≤1，∴x≤x， ∴x＋y≥x＋y＝1，即点M在圆x2＋y2＝1外，故③正确． 故正确的结论的序号是①③. [答案]①③ 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面： 1．研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围； 2．研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点； 3．研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)； 4．研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况； 5．根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线． [变式训练] 2．写出方程y2－4x－4＝0的曲线的主要性质，并画出曲线的图像． 解：(1)曲线变化情况：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，x逐渐增大时，|y|无限增大． ∴曲线在直线x＝－1的右侧，向上向下无限伸展． (2)对称性：用－y代y方程不变，故曲线关于x轴对称． (3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2， ∴曲线的横截距为－1，纵截距为±2. (4)画方程的曲线： 列表： x －1 0 1 2 3 … y 0 ±2 ±2.83 ±3.46 ±4 … 描点作图如图所示． 　　　直接法求曲线方程 [例3]　已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程． [思路点拨]　由条件可知动点满足的关系已确定，只需列出关系式再化简即得方程． [解]　如图所示，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系． 由|AB|＝2a，可设A(－a,0)，B(a,0)，M(x，y)． 因为|MA|∶|MB|＝2∶1， 所以∶＝2∶1， 所以＝2. 化简，得2＋y2＝a2， 所以所求动点M的轨迹方程为2＋y2＝a2. 直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． [变式训练] 3.如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a＞0)，|CD|＝2b(b＞0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程． 解：以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系(图略)，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，设P(x，y)是曲线上的任意一点， 由题意知，|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|， ·＝·， 化简得x2－y2＝. 故动点P的轨迹方程为x2－y2＝. 　　　代入法求曲线的方程 [例4]　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程． [思路点拨]　所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得． [解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点． ∴即 又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1， ∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1. 代入法求解曲线方程的步骤 1．设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)； 2．利用条件求出两动点坐标之间的关系 3．代入相关动点的轨迹方程； 4．化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设二找三代四整理”． [变式训练] 4．已知点A(1,0)，直线l∶y＝2x－4，点R是直线l上的一点，＝， 求点P的轨迹方程． 解：由＝知，R、A、P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，由＝，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)， 得即x1＝2－x，y1＝－y，代入直线y＝2x－4中，得y＝2x. 即点P的轨迹方程为y＝2x. [当堂达标] 1．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是(　　) 解析：D　[对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C.] 2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝4　　 B．x2＋y2＝4(x＞0) C．y＝－ D．y＝－(0＜x＜2) 解析：D　[排除法，第四象限内满足x＞0，y＜0.故选D.] 3．方程＝表示的曲线是　________　. 解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0， 1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1.∴曲线表示两条线段． 答案：两条线段 4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是　________　. 解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 5．已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积． 解：由x＝，得x2＋y2＝4.又x≥0， ∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆． 从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆， 其面积S＝π·4＝2π.所以，所求图形的面积为2π. 学科网（北京）股份有限公司 $$