2.1 坐标法 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

2．1　坐标法 课程标准 素养解读 1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系 2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式 3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索，进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性 1.数学抽象：通过点与坐标的对应关系的学习，培养数学抽象的素养 2.通过两点间的距离公式及应用的学习，提升逻辑推理、数学运算的素养 3.运用距离公式解决基本问题，培养数学建模的素养 [情境引入] 解析几何学是用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支．也就是说该学科研究的对象是几何图形，研究的手段是代数的方法，解析几何学也称作坐标几何，由法国数学家笛卡尔和费马等人创建的． 解析几何的基本思想是数形结合．其基本方法是用坐标表示点，用方程表示曲线，从而将研究的几何问题代数化，然后处理研究代数问题，分析代数结论的几何含义，继而解决几何问题． [知识梳理] [知识点一]　平面直角坐标系中的基本公式　 1．数轴上两点间的距离公式 如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作　A(x1)　)，且B(x2)，则向量的坐标为　x2－x1　，数轴上两点之间的距离公式|AB|＝||＝　|x2－x1|　.如果M(x)是线段AB的中点，则＝.数轴上的中点坐标公式　x＝　. 　数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？ [提示]　给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的． 2．平面直角坐标系内两点之间的距离公式 A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝　(x2－x1，y2－y1)　， |AB|＝||＝　　， 若M(x，y)是线段AB的中点，则＝， 则直角坐标系内的中点坐标公式x＝，y＝. [知识点二]　坐标法　 　通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过　代数运算　等解决问题的方法称为坐标法． [预习自测] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应．(　　) (2)数轴上起点相同的向量方向相同．(　　) (3)点M(x)位于点N(2x)的左侧．(　　) (4)数轴上等长的向量是相等的向量．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知数轴上A(－3)，B(8)，则A，B两点间的距离为(　　) A．3　 B．8　　 C．11　 　D．5 解析：C　[|AB|＝|8－(－3)|＝11.] 3．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2,1)，B(－2,3)，C(0，－1)，则△ABC重心G的坐标为　________　. 解析：设G(x，y)，则有x＝＝0，y＝＝1. 答案：(0,1) 4．已知A(2,4)，B(－1,3)，则A，B两点间的距离为　________　. 解析：|AB|＝＝. 答案： 　　　数轴上的点与实数间的关系 [例1]　(1)在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为　________　. (2)已知点A(2x)，B(x2)，且点A在点B右侧，则x的取值范围是　________　. [解析]　(1)∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，∴x＝11. (2)∵A在B点的右侧，∴2x>x2，即x2－2x<0，∴0<x<2. [答案](1)11　(2)(0,2) 数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标． [变式训练] 1．不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系： (1)A(－3.2)，B(－2.3)； (2)A(m)，B(m2＋1)； (3)A(|a|)，B(a)． 解：(1)因为－2.3>－3.2，所以A(－3.2)位于B(－2.3)的左侧． (2)因为m2＋1－m＝2＋≥>0， 所以m2＋1>m，所以B(m2＋1)位于A(m)的右侧． (3)当a≥0时，|a|＝a，则A(|a|)和B(a)为同一个点． 当a<0时，|a|>a，则A(|a|)位于B(a)的右侧． 　　　数轴上两点间的距离 [例2]　已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1,3，x. 当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x. [思路点拨]　数轴上两点间的距离⇒点与实数的对应关系⇒数轴上的基本公式． [解]　由题意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|， 则3(x＋1)＝x－3，①或3(x＋1)＝－(x－3)．② 解①得x＝－3；解②得x＝0. 所以点P的坐标为－3或0. 数轴上的基本公式应用思路与方法 1．已知向量，，中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用＝＋求解． 2．已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用＝xB－xA求解． 3．已知数轴上两点间的距离时，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解． [变式训练] 2.如图，是数轴上的一个向量，O为原点，则下列各式中不成立的是(　　) A．OA＝||　　　　 B．OB＝|| C．AB＝OB－OA D．BA＝OA－OB 解析：B　[由于点A在原点的右侧，点B在原点的左侧，可知点A表示的数x1比点B表示的数x2大，即OA＝x1>0，OB＝x2<0，所以OA＝||＝|x1|＝x1，OB＝x2≠||＝|x2|＝－x2，AB＝x2－x1＝OB－OA，BA＝x1－x2＝OA－OB.故B不成立．] 　　　两点间距离公式的应用 [例3]　已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)． (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． [思路点拨]　(1)先根据已知条件，画出草图，判断△ABC的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状．(2)结合三角形形状求解． [解]　(1)∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． (2)△ABC的面积S△ABC＝|AC|·|AB|＝×2×2＝26. 判断三角形形状的方法 1．采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． 2．利用两点间的距离公式，分别计算△ABC三边的长度，根据三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理． [变式训练] 3．(1)已知点A(a,3)，B(3,3a＋3)之间的距离为5，求a的值． (2)已知A(1,3)，B(5,2)，点P在x轴上，则|AP|＋|PB|的最小值为？ 解：(1)因为x1＝a，y1＝3，x2＝3，y2＝3a＋3， 所以|AB|＝＝＝5， 即(a－3)2＋(3a)2＝25，展开得a2－6a＋9＋9a2＝25， 所以10a2－6a－16＝0，即5a2－3a－8＝0， 解得a＝－1或a＝，因此a的值为－1或. (2)如图，作点(1,3)关于x轴的对称点A′(1，－3)， 连接A′B交x轴于点P.可知|A′B|即为|AP|＋|PB|的最小值， 而|A′B|＝＝. 故|AP|＋|PB|的最小值为. 　　　坐标法的应用 [例4]　在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 [思路点拨]　几何证明问题⇒坐标法⇒借助代数运算证明 [解析]　A　[如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b＜d＜c)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)， 又因为d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c.所以|OB|＝|OC|. 又AO⊥BC，故△ABC为等腰三角形．] 建立直角坐标系的常见技巧 1．对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化． 2．在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点． [变式训练] 4.如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，利用坐标法证明梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|. [证明]　建立如图坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝ ＝， |BD|＝＝，故|AC|＝|BD|. [当堂达标] 1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是(　　) A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4) C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3) 解析：A　[由数轴上点的坐标可知A正确．] 2.如图所示，是数轴上的一个向量，O是原点，则下列各式不成立的是(　　) A．|OA|＝|| B．|OB|＝|| C．|AB|＝|OB|－|OA| D．|BA|＝|OA|＋|OB| 答案：C 3．(多选题)已知A(2,1)、B(－1，b)，|AB|＝5，则b的可取值为(　　) A．－3　 B．5　 　C．3　　D．－1 解析：AB　[由两点间的距离公式知|AB|＝＝ 由5＝，解得b＝－3或b＝5.故答案AB.] 4．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(5,2)，B(－4,4)，C(－1，－1)，则△ABC重心G的坐标为　________　. 解析：设G(x，y)，则有x＝＝0，y＝＝. 答案：(0，) 5．已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线的交点为E(－3,4)，求另外两个顶点C，D的坐标． 解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．因为E为AC的中点， 所以－3＝，4＝，解得x1＝－10，y1＝6. 又因为E为BD的中点， 所以－3＝，4＝，解得x2＝－11，y2＝1. 所以C的坐标为(－10,6)，D的坐标为(－11,1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$