1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 课程标准 素养解读 1.了解空间中的点与空间向量的关系 2.理解直线的方向向量 3.掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法 4.掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法 5.理解公垂线段的概念并会求其长度 1.通过学习直线的方向向量，公垂线段等概念，培养数学抽象素养 2.利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算的素养 [情境引入] 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ [知识梳理] [知识点一]　空间中的点与空间向量　 　一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． [知识点二]　空间中的直线与空间向量　 　一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l　平行或重合　，则称v为直线l的一个　方向向量　.此时，也称向量v与直线l　平行　，记作　v∥l　. (1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝，即为直线l的一个　方向向量　. 　直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？ [提示]　直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行． (2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔　l1∥l2或l1与l2重合　.[知识点三]　空间中两条直线所成的角　 1．设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝　〈v1，v2〉　或θ＝　π－〈v1，v2〉　，所以sin θ＝　sin〈v1，v2〉　，cos θ＝　|cos〈v1，v2〉|　. 2．〈v1，v2〉＝⇔　l1⊥l2　⇔v1·v2＝　0　. [知识点四]　异面直线与空间向量　 设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量． (1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行． (2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为　相交或异面　. (3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，　不共面　.若v1，v2，不共面，则l1与l2异面． (4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，　MN⊥l1，MN⊥l2　.则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的　距离　. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l的方向向量是唯一的．(　　) (2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) (3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3,0,2)，v2＝(1,0，m)，若l1∥l2，则m等于　________　. 解析：　[因为l1∥l2，所以存在实数λ，使v1＝λv2.即(3,0,2)＝λ(1,0，m)，∴∴m＝.] 　空间中点的位置确定 [例1] 　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)． (1)若＝(－)，求P点的坐标； (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标． [思路点拨]　(1)由条件先求出，的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标． (2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算． [解]　(1)＝(－1,1,5)，＝(－3，－1,5)，＝(－)＝(2,2,0)＝(1,1,0)， ∴P点的坐标为(1,1,0)． (2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知＝. 设点P的坐标为(x，y，z)， 则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x,5－y,5－z)， 故(x－3，y－4，z)＝(2－x,5－y,5－z)， 即得 因此P点的坐标为. 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可． [变式训练] 1．已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标． [解]　由已知，得＝2，即－＝2(－)，＝＋. 设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得 (x，y，z)＝(2,4,0)＋(1,3,3)， 即x＝＋＝，y＝＋＝，z＝0＋1＝1. 因此，P点的坐标是.因为AQ∶QB＝2∶1， 所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2， 设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示， 得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6. 因此，Q点的坐标是(0,2,6)． 综上，P点的坐标是，Q点的坐标是(0,2,6)． 　　　利用空间向量证明线线平行 [例2]　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. 证明：(方法1)以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)， ∴＝，∴∥， 即PQ∥RS. (方法2)＝＋ ＝－＋， ＝＋＝＋－， ∴＝，∴∥，即RS∥PQ. 利用空间向量证明线与线平行的方法 要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行． [变式训练] 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)， ∴＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)，设＝(a，b，c)， 则 即 取＝(1,1，－1)．易知＝(－1，－1,1)，∴＝－， ∴∥，即PQ∥BD1. 　　　利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值) [例3] 　 (1)直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A.　　 B.　　　C.　　　D. (2)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为　________　. [思路点拨]　(1)建立空间直角坐标系，表示出，的坐标，利用向量法求解； (2)以A为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量，的坐标，建立函数关系式讨论最值． 解析　(1)C　(2)　[(1)以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1，1,0)，B(0,2,2)，∴＝(－1,0，－2)，＝(1，－1，－2)， ∴cos〈，〉＝＝＝＝. (2)以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设正方形边长为2，M(0，y,2)(0≤y≤2)，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)，∴＝(－1，y,2)，||＝，＝(2,1,0)，||＝， ∴cos θ＝＝＝. 令t＝2－y，要使cos θ最大，显然0<t≤2. ∴cos θ＝×＝×≤×＝×＝.当且仅当t＝2，即点M与点Q重合时，cos θ取得最大值.] 　　　　　利用向量求异面直线所成角的步骤 (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角． [变式训练] 3．如图所示，已知正四棱锥P­ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值． [解]　如图，以O为原点，过O点平行于AB、BC的直线为x轴、y轴，PO为z轴建立空间直角坐标系．由已知得 A，B， E，F， 所以＝，＝， 所以cos〈，〉＝ ＝＝. 所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为. [当堂达标] 1．(多选)若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,3)　　　　　 B．(1,3,2) C．(－1，－2，－3) D．(－1，－3，－2) 解析：AC　[＝(2,4,6)＝2(1,2,3)＝－2(－1，－2，－3)，故直线l的一个方向向量为(1,2,3)或(－1，－2，－3)．] 2．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2.] 3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A．－2 B．2 C．10 D．6 解析：C　[因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.] 4．长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，求BM与DN所成角的余弦值． 解： 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M， D(0,0,0)，N，＝，＝， 设向量与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. 故BM与DN所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$