1.1.3 第2课时 空间直角坐标系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　空间直角坐标系 课程标准 素养解读 1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程 2.理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系 1.通过空间坐标系的建立及点坐标的表示，培养数学抽象、逻辑推理的素养 2.通过空间坐标系确定点的坐标及应用达到数学运算的学科素养 [情境引入] 如图，在房间(立体空间)内如何确定电灯位置？要确定点在空间内位置，应该需要几个数呢？ 提示：要确定点在空间内位置需要三个数，要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可． [知识梳理] [知识点一]　空间直角坐标系　 1．在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与　xOy平面　垂直的数轴　z　轴．这样建立的空间直角坐标系记作O－xyz. 2．在空间直角坐标系O－xyz中，x轴、y轴、z轴是两两　垂直　的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为　坐标平面　. 3．z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿　逆时针　方向旋转90°能与y轴的正半轴重合． 4．空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系O－xyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为　135°(或45°)　，z轴与y轴(或x轴)　垂直　. 5．空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的　横坐标(或x坐标)　，y叫做点M的　纵坐标(或y坐标)　，z叫做点M的　竖坐标(或z坐标)　. 6．三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了　八　个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为　{(x，y，z)|x＞0，y＞0，z＞0}　. [知识点二]　空间向量坐标的应用　 1．点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝. 2．任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|＝. 　若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0.(　　) (2)向量的坐标与点P的坐标一致．(　　) (3) 点(2,0,3)在Oxz平面上．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．下列点在x轴上的是(　　) A．(0.1,0.2,0.3)　　 B．(0,0,0.001) C．(5,0,0) D．(0,0.01,0) 解析：C　[x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0.] 3．点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为(　　) A．1　　 B．2　　　C．－2　　　D．5 解析：D　[点P(1，－2,5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2,0)，则点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为|PP′|＝5.] 　　　求空间点的坐标 [例1]　 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． [思路点拨]　将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [解]　(1)显然D(0,0,0)， 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)． 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)． (2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)， 则C1C的中点N为， 即N. 坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x轴上 (x,0,0) xOy平面上 (x，y,0) y轴上 (0，y,0) yOz平面上 (0，y，z) z轴上 (0,0，z) xOz平面上 (x,0，z) 坐标原点 (0,0,0) [变式训练] 1.已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标． 解：因为|PO|＝＝＝12， 所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)， A，B， C，D. 　　　空间向量的坐标表示 [例2]　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系，求向量，，的坐标． [思路点拨]　以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标． [解]　 法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． ∴＝－＝＋－＝－＋，∴的坐标为(1，－1,1)， 而＝－＝－＋， ∴的坐标为(1，－1,2)． 又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)． 法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)， ∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1，1，－2)． 建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜． 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． [变式训练] 2．设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求1、3的坐标． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上．∵|P1P2|＝2，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上， ∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)． 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)， P4(1，－1,0). 又|SP1|＝2，|OP1|＝， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝， ∴S(0,0，)． ∴＝－＝(1,1，－)， ＝－OP2＝(0，－2,0)． 　　　利用空间直角坐标系求夹角与长度 [例3]　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求证EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长． [思路点拨]　根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可． [解]　 (1)证明：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz，易知E(0,0，)，F(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)，H(0，，)． ∵＝－＝， ＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，∴·＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C. (2)由(1)易知＝(0，，0)－(0,1,1)＝(0，－，－1), ＝(，，－)， ∴||＝，||＝， ·＝×0＋×＋×(－1)＝， ∴cos〈，〉＝＝， 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. (3)由(1)知F，H， ∴＝， ∴||＝2＋2＋2)＝. 即FH的长为 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题． [变式训练] 3.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点． (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值． 解：(1)证明：设＝p，＝q，＝r. 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°. ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， ∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. ∴⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD. (2)设向量与的夹角为θ. ∵＝(＋)＝(q＋r), ＝－＝q－p， ∴·＝(q＋r)·＝ ＝ ＝＝. 又∵||＝||＝a， ∴·＝||·||cos θ＝a×a×cos θ＝. ∴cos θ＝.∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为. [当堂达标] 1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　) A．(1,0,0)　　　　 B．(1,0,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0) 解析：C　[点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.] 2. (多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4,5,3) B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 解析：ACD　[根据题意知：点B1的坐标为(4,5,3)，A正确；B的坐标为(4,5,0)，C1坐标为(0,5,3)，故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，B错误；点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，C正确；点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，D正确；故选：ACD.] 3.如图，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则的坐标为　________　. 解析：以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点， 过D的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为的坐标为(4,3,2)，所以A(4,0,0)，C(0,3,2) 所以＝(－4,3,2)． 答案：(－4,3,2) 4．如图，建立空间直角坐标系O－xyz.单位正方体ABCD—A′B′C′D′顶点A位于坐标原点，其中点B(1,0,0)，点D(0,1,0)，点A′(0,0,1)． (1)若点E是棱B′C′的中点，点F是棱B′B的中点，点G是侧面CDD′C′的中心，则分别求出向量，，的坐标； (2)在(1)的条件下，分别求出(＋)·；||的值． 解： (1)因为点E是棱B′C′的中点，点F是棱B′B的中点，点G是侧面CDD′C′的中心， 可得O(0,0,0)，E(1，，1)，F(1,0，), G(，1，)， 所以＝，＝，＝－＝. (2)由(1)可得(＋)·＝·＝×(－)＋×1＋×0＝. 又由＝(－，，－)，所以|| ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$