1.1.2 空间向量基本定理 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

1．1.2　空间向量基本定理 课程标准 素养解读 1.掌握空间向量基本定理 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念 3.会用空间向量基本定理解决有关问题 1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养 2.借助基底的判断及应用提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养 [情境引入] 我们所在的教室即是一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量．这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ [知识梳理] [知识点一]　空间中的共线向量基本定理　 　两个空间向量a，b，如果a≠0，且b∥a，则　存在唯一　的实数λ，难得　b＝λa　. [知识点二]　共面向量定理　 　如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在　唯一　的实数对(x，y)，使　c＝xa＋yb　. 1.　平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？ [提示]　平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立． [知识点三]　空间向量基本定理　 1．如果空间中的三个向量a，b，c　不共面　，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝　xa＋yb＋zc　. 特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0. 2．相关概念 (1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的　线性组合　或　线性表达式　. (2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底． (3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量． (4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 2.平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ [提示]　空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示． 3．基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？ [提示]　基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量． 3．推广：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量的基底是唯一的．(　　) (2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．(　　) (3)已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．(　　) 答案： (1)×　(2)√　(3)√　 2．给出的下列几个命题： ①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb； ②零向量的方向是任意的； ③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. 其中真命题的个数为(　　) A．0　　 B．1　　　C．2　　　D．3 解析：B　[只有②为真命题．] 3．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x}　　　　　 B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}. 解析： BCD　[如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝. 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选BCD.] 4．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是　________　. 解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 答案：x＝y＝z＝0 　　　共线问题 [例1]　 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝　________　. (2)如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． [思路点拨]　(1)根据向量共线的充要条件求解．(2)用向量，，分别表示和. (1)[解析]　＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. 设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)， 所以，解得k＝1. [答案]　1 (2)[证明]　设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝＋＝(＋)＋(＋) ＝＋＋(＋＋)＝＋－－＋ ＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＋＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c， ∴＝3，又直线MC1与直线MO有公共点M， ∴C1，O，M三点共线． 1．判断向量共线的策略 (1)熟记共线向量的充要条件：①若a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使a＝λb； ②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b. (2)判断向量共线的关键：找到实数λ. 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． [变式训练] 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝. 求证：E，F，B三点共线． [证明]　设＝a，＝b，＝c， 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝，又与有公共点E，所以E，F，B三点共线． 　　　向量共面问题 [例2]　在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　) A.＝－－ B．OM＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 [思路点拨]　M与A，B，C一定共面的充要条件＝x＋y＋z，x＋y＋z＝1. [解析]　C　[对于A选项，由于1－1－1＝－1≠1，所以不能得出M，A，B，C共面． 对于B选项，由于＋＋≠1，所以不能得出M，A，B，C共面． 对于C选项，由于＝－－，则，，为共面向量， 所以M，A，B，C共面． 对于D选项，由＋＋＋＝0得＝－－－，而－1－1－1＝－3≠1，所以不能得出M，A，B，C共面．故选：C] 1．利用四点共面求参数 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值． 2．证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． (3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行． [变式训练] 2．(1)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝　________　. 解析：P，A，B，C四点共面，且＝＋＋t，＋＋t＝1，解得t＝. 答案： (2)已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O作向量．使＝k，＝k，＝k，＝k.求证：四点E，F，G，H共面 解：∵＝k，＝k；∴＝＝|k|； EF//AB，且EF＝|k|AB；同理HG//DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC； ∴EF//HG，且EF＝HG；∴四边形EFGH为平行四边形； ∴四点E，F，G，H共面． 　　　用基底表示向量 [例3]　如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C1的中点，＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．－a＋b＋c　　 B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c [思路点拨]　借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来． [解析]　B　[∵O为A1C1的中点， ∴＝＋＝＋＝＋＝＋＝c＋＝c＋a＋b.] 用基底表示向量的步骤 1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． 2．找目标：用确定的基底或已知基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． 3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来． [变式训练] 3.如图，在三棱锥P－ABC中，点D，E，F分别是AB，PA，CD的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.a－b－c B.a－b＋c C.a＋b－c D．－a＋b＋c 解析： D　[连接DE ∵D，E分别为AB，PA中点，∴＝＝－b ∴＝－＝－＝－－ ＝－－＝－－DE ＝c－a－b＋a＋b＝－a＋b＋c] 　　　基本定理的运用 [例4]　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． [思路点拨]　选择一个空间基底，将，，用基向量表示．(1)证明·＝0即可；(2)求与夹角的余弦值即可． [解]　(1)证明：设＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底． 所以＝＋＝－k＋(＋)＝i＋j－k，＝＋＝－i－k， 所以·＝(i＋j－k)·(－i－k)＝－|i|2＋|k|2＝0，所以EF⊥B1C. (2)＝i＋j－k，＝＋＝－k－j， ||2＝2＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3， ||＝，||2＝2＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝， ∴cos〈，〉＝ ＝＝＝. ∴EF与C1G所成角的余弦值为. 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等． 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． (1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0； (2)若证明线线平行，只需证明两向量共线； (3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)． [变式训练] 4.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°. (1)求AC′的长； (2)求与的夹角的余弦值． 解：(1)∵ ＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.∴||＝ ，即AC′＝. (2)设与的夹角为θ，设＝a，＝b，＝c，依题意得·＝(a＋b＋c)·(a＋b) ＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c ＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60° ＝16＋9＋10＋＝， ||＝＝＝5∴cos θ＝＝＝， 即与的夹角的余弦值为. [当堂达标] 1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　 ) A．a　　 B．b　　　C．c　　　D．a＋b 解析：C　[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D.] 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等 解析：AC　[A正确 ; B项，空间基底有无数个，错； D项中因为基底不唯一，所以D错； C正确．] 3．已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　) A．不共面　　　　 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 解析：B　[因为＋＋＝1，所以点P，A，B，C四点共面．] 4．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝　________　. 解析：＝＋＝(－e1－3e2)＋(2e1－e2)＝e1－4e2， 又A，B，D三点共线，所以＝λ， 即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，所以所以k＝－8. 答案：－8 5.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. 解：连接AN，则＝＋. 由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得 ＝＋＝a＋b, ＝－＝－(a＋b)，又＝－＝b－c，故＝＋＝－＝－＝b－(b－c)，所以＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)＝(－a＋b＋c)． 学科网（北京）股份有限公司 $$