1.1.1 第2课时 空间向量的数量积 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　空间向量的数量积 课程标准 素养解读 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律 3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度 1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养 2.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养 [情境引入] 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F×S＝|F||S|cos θ，为了在数学中体现“功”的这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念． [知识梳理] [知识点一]　空间向量数量积的概念　 1．空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b　互相垂直　，记作a⊥b. 　1.等边△ABC中，与的夹角是多少？ [提示]　120° 2．空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b. (3)数量积的几何意义 ①向量的投影 如图所示，过向量a的始点和终点分别向向量b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. [知识点二]　空间向量数量积的性质　 1．a⊥b⇔a·b＝0； 2．a·a＝|a|2＝a2； 3．|a·b|≤|a||b|； 4．(λa)·b＝λ(a·b)； 5．a·b＝b·a(交换律)； 6．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2.(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？ (2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？ [提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. (2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a，b〉不一定是锐角． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　　) (2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(　　) (4)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析：B　[对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．] 3．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝， 则cos〈a，b〉＝　________　.　　 解析：将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝， 再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求得cos〈a，b〉＝. 答案： 　　　数量积的计算 [例1]　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·；　(2)·；　 (3)·；　 (4)·. [思路点拨]　计算两向量的数量积首先确定两向量的夹角，要注意向量的方向及夹角的范围． 解：(1)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝cos 120°＝－. (4)·＝·(－)＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模． (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． [变式训练] 1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝　________　. 解析：·＝· ＝(·＋·) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2. 答案：a2 (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝　________　. 解析：＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋.，∴·(＋＋) ＝·(＋＋)＝2＋2＋2＝×22＋×32＋×12＝. 答案： 　　　利用数量积证明空间的垂直关系 [例2]　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. [思路点拨]　证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． [解]　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋)＝ ＝(a＋b＋c)，＝c－b. ∴·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴⊥，即OG⊥BC. 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题． (2)用已知向量表示所证向量． (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0. (4)将向量问题回归到几何问题． [变式训练] 2.如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC. 证明：不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝. ·＝(－)·＝·－·， 由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos 60° ＝××＝1.∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A， ∴BD⊥平面ADC. 　　　用数量积求角度 [例3]　 如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值． [思路点拨]　求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化． [解]　∵＝－，∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16. ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为. 利用向量数量积求夹角问题的思路 1．求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 2．我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小； ④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小． [变式训练] 3.如图，已知直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． 解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0. ∴＝b＋c，＝－c＋b－a. ∴·＝－c2＋b2＝0， ∴⊥，即CE⊥A′D. (2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|， ∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝. ∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 　　　利用数量积求距离 [例4]　如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为　__________　. [思路点拨]　求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，利用公式|a|＝求解即可． [解析]　∵＝＋＋， ∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49.∴PC＝7. [答案]　7 1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算． 2．用数量积求两点间距离的步骤： (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|； (4)|a|即为所求距离． [变式训练] 4.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 解：因为＝＋＋， 所以＝(＋＋)2 ＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)． 因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为＝||2，所以||2＝23， 则||＝，即AC1＝. [当堂达标] 1.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 解析：A　[A，B，C，D四个选项中各对向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°.] 2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　) A.　　 B.　　　C．－　　　D．0 解析：D　[·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－||||＝0， ∴⊥，∴cos〈，〉＝0.] 3．在△ABC中，∠B＝90°，＝(1，－2)，＝(3，λ)，则λ＝　________　. 解析：在△ABC中，＝(1，－2)，＝(3，λ)，＝－＝(2，λ＋2) 又∠B＝90°，∴⊥，∴·＝0， 即2－2(λ＋2)＝0，解得λ＝－1 答案：－1 4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解：(1)＝＋＋ ＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c. (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5， ∴|a＋b＋c|＝，∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$