2.5.1 椭圆的标准方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． [知识点二]　椭圆的标准方程　 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　　) (3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　　) (4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　 B．5　　　C．8　　　D．10 解析：D　[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.] 3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1　　　 B.eq \f(y2,400)＋eq \f(x2,336)＝1 C.eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,36)＝1 D.eq \f(y2,20)＋eq \f(x2,12)＝1 解析：C　[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,36)＝1.] 求椭圆的标准方程 [例1]　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3eq \r(2))； (3)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))). [解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5， b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－16)＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 法一：由椭圆的定义知2a＝eq \r(4－02＋3\r(2)＋22)＋eq \r(4－02＋3\r(2)－22)＝12， 解得a＝6.又c＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(2). 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. 法二：因为所求椭圆过点(4,3eq \r(2))，所以eq \f(18,a2)＋eq \f(16,b2)＝1. 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32. 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. (3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.)) 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b2＝8，,a2＝4.)) 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入椭圆的一般方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，)) 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1. 1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算． [变式训练] 1．求与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1有相同焦点，且过点(3，eq \r(15))的椭圆的标准方程． 解：法一：因为所求椭圆与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上， 且c2＝25－9＝16. 设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16　①. 又点(3，eq \r(15))在所求椭圆上，所以eq \f(32,a2)＋eq \f(\r(15)2,b2)＝1，即eq \f(9,a2)＋eq \f(15,b2)＝1　②. 由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1. 法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,25＋λ)＋eq \f(y2,9＋λ)＝1. 又椭圆过点(3，eq \r(15))，将x＝3，y＝eq \r(15)代入方程得eq \f(9,25＋λ)＋eq \f(15,9＋λ)＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1. 椭圆中的焦点三角形问题 [例2]　(1)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为　________　. (2)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为　____________　. [思路点拨]　(1)eq \x(求|PF2|)→eq \x(求cos∠F1PF2)→eq \x(求∠F1PF2的大小) (2)eq \x(\a\al(椭圆定义和,余弦定理))→eq \x(\a\al(建立关于|PF1|，,|PF2|的方程))→eq \x(联立求解|PF1|)→eq \x(\a\al(求三角形,的面积)) [解析]　(1)由eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1，知a＝3，b＝eq \r(2)，∴c＝eq \r(7).∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝－eq \f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°. (2)由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，可知a＝2，b＝3，所以c＝eq \r(a2－b2)＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　① 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.　② 由①②联立可得|PF1|＝eq \f(6,5). 所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5). [答案]　(1)120°　(2)eq \f(3\r(3),5) 1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. 2．椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． [变式训练] 2．(1)已知P是椭圆eq \f(y2,5)＋eq \f(x2,4)＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，则△F1PF2的面积是　________　. 解析：由椭圆的标准方程，知a＝eq \r(5)，b＝2，∴c＝eq \r(a2－b2)＝1，∴|F1F2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5). 在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2， 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°， 即4＝20－(2＋eq \r(3))|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－eq \r(3))． ∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×16(2－eq \r(3))×eq \f(1,2)＝8－4eq \r(3). 答案：8－4eq \r(3) (2)设P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠PF1F2＝90°，则△F1PF2的面积是　________　. 解析：由椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°.∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2. 从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，则|PF1|＝eq \f(3,2)， 因此S△PF1F2＝eq \f(1,2)·|F1F2|·|PF1|＝eq \f(3,2). 故所求△PF1F2的面积为eq \f(3,2). 答案：eq \f(3,2) 利用椭圆定义求轨迹方程 [例3]　(1)已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为　________　. (2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程． [思路点拨]　(1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解． [解析]　(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y， 又eq \f(x\o\al(2,0),4)＋eq \f(y\o\al(2,0),8)＝1，所以eq \f(2x2,4)＋eq \f(2y2,8)＝1，即x2＋eq \f(y2,2)＝1. [答案]　x2＋eq \f(y2,2)＝1 (2)[解]　由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|， ∴|CM|＋|MA|＝5. ∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝eq \f(5,2)，c＝1 ， ∴b2＝a2－c2＝eq \f(25,4)－1＝eq \f(21,4). ∴所求点M的轨迹方程为eq \f(x2,\f(25,4))＋eq \f(y2,\f(21,4))＝1，即eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1. 1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法． 2．对定义法求轨迹方程的认识 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法． 3．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)． [变式训练] 3．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程． 解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)． 利用中点坐标公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2x－1，,y0＝2y.)) ∵Q(x0，y0)在椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上，∴eq \f(x\o\al(2,0),4)＋yeq \o\al(2,0)＝1. 将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得eq \f(2x－12,4)＋(2y)2＝1. 故所求AQ的中点M的轨迹方程是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋4y2＝1. [当堂达标] 1．椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．5　　 B．6　　　C．7　　　D．8 解析：D　[根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.] 2．(多选)若椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距是2，则m＝(　　) A．1　　 B．3　　　C．5　　　D．7 解析：BC　[当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4.又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5.当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3.] 3．若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是　________　. 解析：由方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2m－1)＝1表示椭圆，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＞0，,2m－1＞0，,m≠2m－1，))解得m＞eq \f(1,2)且m≠1. 答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(m＞\f(1,2)且m≠1)))) 4．设F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积． 解：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq \r(5).∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×2×4＝4 $$