2.4 曲线与方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识点二]　两条曲线的交点坐标　 　曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Fx，y＝0，,Gx，y＝0))的　实数解　. [知识点三]　求曲线的方程的步骤　 [预习自测] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f(x，y)＝0，即为曲线C的方程．(　　) (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝±x.(　　) (3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样．(　　) (4)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称 解析：C　[将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C.] 3．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，0)，顶点C的轨迹是(　　) A．一条直线 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点 解析：B　[C的轨迹是线段AB的垂直平分线去掉AB的中点．] 4．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是　________　. 解析：由方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,y2－4＝0，))表示四个点． 答案：4个点 曲线与方程的概念 [例1]　分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． [解]　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程． [变式训练] 1．如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，那么以下说法正确的是(　　) A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解 D．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上 解析：D　[由题意可知，曲线C上的所有点构成的集合是方程F(x，y)＝0的解构成的集合的子集，它包含两种情形：①真子集；②相等．据以上可知，选项A，B，C都是不正确的，只有选项D是正确的．] 由方程研究曲线的性质 [例2]　已知曲线C的方程是x4＋y2＝1.关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线y＝x对称； ③曲线C所围成的区域的面积大于π. 其中，所有正确结论的序号是　________　. [思路点拨]　分析关于原点对称的两个点(x，y)，(－x，－y)，是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y＝x对称的两个点(x，y)，点(y，x)，是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③. [解析]　将方程中的x换成－x，y换成－y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确； 将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错误； 在曲线C上任取一点M(x0，y0)，xeq \o\al(4,0)＋yeq \o\al(2,0)＝1， ∵|x0|≤1，∴xeq \o\al(4,0)≤xeq \o\al(2,0)， ∴xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)≥xeq \o\al(4,0)＋yeq \o\al(2,0)＝1，即点M在圆x2＋y2＝1外，故③正确． 故正确的结论的序号是①③. [答案]①③ 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面： 1．研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围； 2．研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点； 3．研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)； 4．研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况； 5．根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线． [变式训练] 2．写出方程y2－4x－4＝0的曲线的主要性质，并画出曲线的图像． 解：(1)曲线变化情况：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，x逐渐增大时，|y|无限增大． ∴曲线在直线x＝－1的右侧，向上向下无限伸展． (2)对称性：用－y代y方程不变，故曲线关于x轴对称． (3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2， ∴曲线的横截距为－1，纵截距为±2. (4)画方程的曲线： 列表： x －1 0 1 2 3 … y 0 ±2 ±2.83 ±3.46 ±4 … 描点作图如图所示． 直接法求曲线方程 [例3]　已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程． [思路点拨]　由条件可知动点满足的关系已确定，只需列出关系式再化简即得方程． [解]　如图所示，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系． 由|AB|＝2a，可设A(－a,0)，B(a,0)，M(x，y)． 因为|MA|∶|MB|＝2∶1， 所以eq \r(x＋a2＋y2)∶eq \r(x－a2＋y2)＝2∶1， 所以eq \r(x＋a2＋y2)＝2eq \r(x－a2＋y2). 化简，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)a))2＋y2＝eq \f(16,9)a2， 所以所求动点M的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)a))2＋y2＝eq \f(16,9)a2. 直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． [变式训练] 3.如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a＞0)，|CD|＝2b(b＞0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程． 解：以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系(图略)，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，设P(x，y)是曲线上的任意一点， 由题意知，|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|， eq \r(x＋a2＋y2)·eq \r(x－a2＋y2)＝eq \r(x2＋y＋b2)·eq \r(x2＋y－b2)， 化简得x2－y2＝eq \f(a2－b2,2). 故动点P的轨迹方程为x2－y2＝eq \f(a2－b2,2). 代入法求曲线的方程 [例4]　动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程． [思路点拨]　所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得． [解]　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，)) 又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1， ∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1. 代入法求解曲线方程的步骤 1．设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)； 2．利用条件求出两动点坐标之间的关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝fx，y，,y0＝gx，y；)) 3．代入相关动点的轨迹方程； 4．化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设二找三代四整理”． [变式训练] 4．已知点A(1,0)，直线l∶y＝2x－4，点R是直线l上的一点，eq \o(RA,\s\up16(→))＝eq \o(AP,\s\up16(→))， 求点P的轨迹方程． 解：由eq \o(RA,\s\up16(→))＝eq \o(AP,\s\up16(→))知，R、A、P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，由eq \o(RA,\s\up16(→))＝eq \o(AP,\s\up16(→))，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)， 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x1＝x－1，,－y1＝y，))即x1＝2－x，y1＝－y，代入直线y＝2x－4中，得y＝2x. 即点P的轨迹方程为y＝2x. [当堂达标] 1．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是(　　) 解析：D　[对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C.] 2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝4　　 B．x2＋y2＝4(x＞0) C．y＝－eq \r(4－x2) D．y＝－eq \r(4－x2)(0＜x＜2) 解析：D　[排除法，第四象限内满足x＞0，y＜0.故选D.] 3．方程eq \r(1－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x)))＝eq \r(1－y)表示的曲线是　________　. 解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0， 1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1.∴曲线表示两条线段． 答案：两条线段 4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是　________　. 解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.∴P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 5．已知曲线C的方程为x＝eq \r(4－y2)，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积． 解：由x＝eq \r(4－y2)，得x2＋y2＝4.又x≥0， ∴方程x＝eq \r(4－y2)表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆． 从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆， 其面积S＝eq \f(1,2)π·4＝2π.所以，所求图形的面积为2π. $$