2.2.1 直线的倾斜角与斜率 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 2．2　直线及其方程 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 课程标准 素养解读 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率 4.掌握直线的方向向量和法向量 1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养 2.通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝eq \f(上升高度,水平距离)＝eq \f(DB,AD).k>0表示上坡，k<0表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的倾斜角　 1．倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按　逆时针　方向旋转到与直线重合时所转的最小　正角　记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． 2．当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为　0°　. 3．倾斜角α的范围为　[0°，180°)　. 1.如图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． [知识点二]　直线的倾斜角与斜率　 　一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝　0°　. (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝　90°　. (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝eq \f(y2－y1,x2－x1). (4)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称　k＝tan θ　为直线l的斜率，当　θ＝90°　时，称直线l的斜率不存在． (5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当　x1≠x2　时，直线l的斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1). 2.运用(5)中公式计算直线AB的斜率时，需要考虑A、B的顺序吗？ [提示]　kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝kBA＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，所以直线AB的斜率与A、B两点的顺序无关． [知识点三]　直线的方向向量　 1．一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l　平行或重合　，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. 2．如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定　共线　. 3．如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝　(x2－x1，y2－y1)　是直线l的一个方向向量． 3.设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？ [提示]　(1,1)． 4．一般地，如果已知a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则： (1)当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当u≠0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝　eq \f(v,u)　，tan θ＝　eq \f(v,u)　. [知识点四]　直线的法向量　 　一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l. 4.如果a＝(－1,2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？ [提示]　(2,1)． [预习自测] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．(　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　) (4)斜率公式与两点的顺序无关．(　　) (5)直线的方向向量与法向量不唯一．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．如图所示，直线l的倾斜角为(　　) A．45°　　 B．135°　　　C．0°　　　D．不存在 解析：B　[有倾斜角的定义知直线l的倾斜角为135°.] 3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于　________　. 解析：∵k＝tan α＝1.∴α＝45°. 答案：45° 4．直线l经过点A(2,1)和B(－5，－2)，则直线l的一个方向向量为　________　. 解析：eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)． 答案：(－7，－3) 直线的倾斜角 [例1]　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ [思路点拨]　画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 [解]　由题意画出如草图．由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＋90°0°<α<90°，,α－90°90°≤α<180°.)) 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [变式训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析：D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.] 斜率的计算 [例2]　(1)已知直线l过点A(－1，eq \r(3))，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是eq \f(2π,3)，则m＝(　　) A．－2eq \r(3)　　 B．0　　　C．2eq \r(3)　　　D．4eq \r(3) (2)一条直线过点A(1.0)和B(－2,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° [思路点拨]　(1)根据条件，由斜率公式得到关于m的方程，再求出m的值． (2)由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角． [解析]　(1)设直线l的斜率为k，则k＝eq \f(m－\r(3),2＋1)＝taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)，故m＝－2eq \r(3). (2)一条直线过点A(1,0)和B(－2,3)，则该直线的斜率为eq \f(3－0,－2－1)＝－1， 故该直线的倾斜角为135°，故选：C. [答案]　(1)A　(2)C 　直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)进行计算． [变式训练] 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)． (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ 解：(1)kMN＝eq \f(m－1－1,m＋1－2m)＝1，解得m＝eq \f(3,2). (2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1. 直线倾斜角与斜率的综合 [例3]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [解]　如图所示，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． 2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在． 3.eq \f(y2－y1,x2－x1)的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题． [变式训练] 3．(1)设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3 ]∪[1，＋∞) B. [－3,1] C．[－1,3] D．以上都不对 解析：如图所示，直线PB，PA的斜率分别为kPB＝1，kPA＝－3， 结合图形可知k≥1或k≤－3.故选A. (2)已知点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上，则2a－b＝　____　. 解析：三点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上， ∴kAB＝kBC，∴eq \f(－1－1,0－1)＝eq \f(－1－b,0－a)，化为：2a－b＝1.故答案为：1. 答案：(1)A　(2)1 求直线的方向向量或法向量 [例4]　已知直线l通过点A(1,2)，B(4,5)，求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角． [解]　eq \o(AB,\s\up16(→))＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直线l的一个方向向量．由法向量与方向向量垂直，∴法向量可以为(－1,1)．因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而可知θ＝45°. 求方向向量和法向量的方法 1．若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为eq \o(AB,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1)，直线的法向量与方向向量垂直． 2．直线的方向向量和法向量不唯一． [变式训练] 4．已知直线l经过点M(3,3)和N(2,3＋eq \r(3))，求直线l的一个方向向量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角． 解：eq \o(MN,\s\up16(→))＝(2－3,3＋eq \r(3)－3)＝(－1，eq \r(3))，∴直线l的一个方向向量为(－1，eq \r(3))，由于法向量与方向向量垂直． ∴法向量v＝(eq \r(3)，1)，斜率k＝eq \f(3＋\r(3)－3,2－3)＝－eq \r(3)，由tan θ＝－eq \r(3)知θ＝120°. [当堂达标] 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180° B．若k是直线l的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有斜率， 但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 解析：BD　[对A，若α是直线的倾斜角，则0°≤α<180°，故A错误；对B，根据k＝tan α，即正切函数的值域为实数，故B正确；对C，因为倾斜角为90°时没有斜率，故C错误；对D，由倾斜角的定义可得任意一条直线都有倾斜角，由直线的斜率定义可得，倾斜角为eq \f(π,2)的直线，没有斜率，故D正确；故选：BD.] 2．过点A(－eq \r(3)，eq \r(2))与点B(－eq \r(2)，eq \r(3))的直线的倾斜角为(　　) A．45°　　　　　 B．135° C．45°或135° D．60° 解析：A　[kAB＝eq \f(\r(3)－\r(2),－\r(2)－－\r(3))＝eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)－\r(2))＝1，故直线的倾斜角为45°.] 3．直线l的一个方向向量d＝(3，eq \r(3))，则直线l的倾斜角是　________________　，直线的斜率是　________________　. 解析：由d＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\r(3)))＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，设c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，则d∥c，由向量d＝(3，eq \r(3))是直线l的一个方向向量，则c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))也为直线l的一个方向向量．由c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))也为直线l的一个方向向量，则直线l的斜率为eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为eq \f(π,6) 答案：eq \f(π,6)　eq \f(\r(3),3) 4．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 解：如图所示． ∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，∴k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°. $$