2.2.1 第1课时 倾斜角与斜率-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

根据“切比雪夫距离”定义可得d(C,A),d(C, B),d(A,B)为AN,BM,AK或CN,CM,BK,则 d(C,A)+d(C,B)=d(A,B); 若B,C或A,C对调， 可得d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B). 当A,B,C三点不共线时， 若∠C=90°，则d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)成立. 若△ABC中C为锐角或钝角，如图2. 6810x 图2 例题答图 由矩形CMNK, 有d(C,A)+d(C,B) =max CK,AK)+max [CM,BM] ≥CK+CM≥d(A,B)=max{AN,BWM: 由矩形BMNK, 有d(C,A)+d(C,B) =max(CN,AN)+max[BK,CK} ≥KC+CN=KN=BM=d(A,B) 则对任意的三点A,B,C,都有d(C,A)+d(C,B) ≥d(A,B). 故①正确。 ②设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q(x,2x-1). 可得d(P,Q)=max{lx-3引，12-2. -3别≥2x-21,解得-1≤≤号， 即有dP,Q)=k-3引，当x=时，取得最小值号 x-32x-21.解得>号或xKl1, 即有d(P,Q)=2x-24 3 a,Q)的取值范围是学+ 综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小 值为号，故②正确， ③由题知，到原点0的“切比雪夫距离”为1的点 P(x,y)满足d(O,P)=max(lxl,l州=l, 即≥1，或d1, l=1 y=1, 参考答案。 显然点P的轨迹为正方形，故③正确.故选D。 一m2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率 第1课时倾斜角与斜率 要点精析 例1解：由y=x的图象是一条倾斜角为45°的直线，由 图可知，直线1的倾斜角0=30°+45°=75°. 例1答图 变式训练1解：如图，直线1的两个临界情形是与x 轴垂直的直线和过原点的直线。 变式训练1答图 当直线1位于这两条直线所夹的阴影范围时， 直线1不经过第二象限. 当直线1垂直于x轴时，倾斜角为90°， 当直线1过原点时，倾斜角为45°，.倾斜角0的取 值范围是{45°≤0≤90. 1-(-2)=-1, 何2解：由题意得kc2-0,a5品 由B,C两点的横坐标相等，知直线BC的斜率不 存在， 变式训练2解：由题知，1与的倾斜角互补，直线 1的斜率为1，故倾斜角为45°.设1与x轴的交点为(x, 0,由1是，-5因面1与x轴交点坐标为(-5， 0) 例3解：由已知条件得2分3-2-2-2 解得a=10. 变式训练3(-2,1)【解析】，过点P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，∴.直线的斜率小于 35 高中数学选择性必修第一册人教B版 0,即20-<0，即(a-1)(a+2)<0,-2<<1. 3-1+a 例4D【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不一定 有斜率，当倾斜角为90°时，斜率不存在：直线的倾斜 角为锐角时，斜率大于0，直线的倾斜角为钝角时，斜 率小于0，所以倾斜角越大，斜率不一定越大：根据倾 斜角的定义，平行于x轴的直线的倾斜角是O°：根据斜 率和倾斜角的正切关系可知斜率的取值范围是(-∞， +∞).故选D. 例5解：根据题意作出如图所示 的图形.直线PA的斜率为km= 2》-,直线阳的斜率为 1B(3,2) 0-2 P(0.-2) 1A(2,-3) k如号号，过点P的直线1 与线段AB有公共点时，直线1的 例5答图 斜率的取值范围是分专】 变式训练4解：根据题意作出如 Yy 图所示的图形.直线PA的斜率为 k4=-2=-3-2, 1B(3,2) 2 0 直线PB的斜率为。3 2-28, m32 2 ,1(2,-3) ∴.过点P的直线1与线段AB 变式训练4答图 有公共点时， 直线1的斜率的取值范围是(-∞，2]U[8,+∞). 例6据：由题可知品。kc治-1,1，BC 三点共线，ekc,名。-l,解得一 变式训练51+V2【解析】若A,B,C三点共线，则 ku-ke.-g,得2c+o)-in由a0,放上 式化简为d-2a-1=0,解得a=1+V2 例7解：设M(a,0),Q(b,4b),a,b>0,:kokm .446、4 6-b6-a ,可得：a+5h=ab≥2V5ab,b≥20， 取等号”时0-，0，又5r7Xx46=2ab≥ ab-20,b=-2, 40,取最小值时Q(2,8). 数学文化 解：如图所示，设动点P(2cos2x,sinx),点A(-1, 4),B(0,1),C(2,0), 36 A(-1.4)N B(0,1) C(2,0) 01 例题答图 则fx)=,-4表示直线PA的斜率。 2c0s2x+1 =l,0≤cox≤l,点P在y=l-7 (0≤x≤2)所表示的线段BC上运动. 故当点P与点B重合时，直线AB的斜率为k=-3; 当点P与点C重合时，直线AC的斜率为专， x)的值域为3-专 第2课时方向向量与法向量 要点精析 例1解：直线AB的一个方向向量为 AB=(-5+2,3-0)=(-3,3), 直线AC的一个方向向量为 AC=(3+2,-5-0)=(5,-5), (-3)x(-5)=3x5,.AB∥AC 又AB与AC有公共点A,A,B,C三点共线。 例2解：A,B,C三点共线，AB∥AC AB=(m+3,4),AC=(8,m+7), .(m+3)(m+7)=4x8=32, 即m2+10m-11=0,解得m=1或m=-11(舍). .直线1的一个方向向量为AB=(4,4), 斜率k=41,倾斜角=45. 变式训练12V3-3(1,-V3)(答案不唯一) 【解析】设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾 斜角为2a,an=Y3-0=V万，且0°≤a<180,a 2-1 60,2a-l2,kc2l20-V了，得m2v万 -3,直线AC的一个方向向量为(1，-V3). 例3解：方法一：由题可知，直线的一个方向向量坐 标为PQ=(1,√3)，此直线的一个法向量的坐标为 (V√3，-1).此时直线的斜率k=V3,.倾斜角为60°.第二章平面解析八何。 2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率 第1课时倾斜角与斜率 :90°. 学习目标 (3)当x1≠2且y1≠y2时，可以构造以 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，明：AB为斜边且两直角边分别平行于坐标轴或 确直线的倾斜角和斜率的关系， 在坐标轴上的直角三角形，此时，tan0= 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式并 2,而且，这个式子在x≠x且y=y时 能解决相关问题. X2一X1 也成立。 3.会利用斜率概念判断给定的三点是否 共线。 思考直线的倾斜角可以用三角函数 中的正弦来表示吗？为什么？ 要点精析 例1已知y=x的图象绕原点逆时针旋 转30°得直线1，求直线1的倾斜角. 川要点1倾斜角的概念 1.倾斜角的概念：一般地，给定平面直 角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x 轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方 向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为 0,则称0为这条直线的倾斜角；如果这条 变式训练1 直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的 倾斜角为0° 过A(1,1)的直线l不经过第二象限， 思考你能说出直线的倾斜角的取值 求直线1的倾斜角0的取值范围. 范围吗？两向量的夹角的取值范围呢？ 2.直线的倾斜角公式：一般地，如果 A(x1,),B(x2,y2)是直线l上两个不同的 点，直线1的倾斜角为0，则： (1)当y=y2时（此时必有x1≠x2),0=0°， (2)当x1=x2时（此时必有y1≠y2),0= 学(33 高中数学选择性必修第一册人教B版 分析利用两点的斜率公式即可求解， 川要点2直线的斜率及斜率公式 但要注意判断使用公式时两，点的横坐标是 1.直线的斜率的概念 否相同. 一般地，如果直线1的倾斜角为0，则 当0≠90°时，称k=tan0为直线l的斜率；当 0=90时，称直线1的斜率不存在， 思考已知一条直线的倾斜角或斜率， 能确定这条直线吗？如不能，还需要知道 什么条件呢？ 2.倾斜角与斜率的关系 倾斜角0 斜率k=tan0 倾斜角0 斜率k=tan0 0° 0 90° 不存在 B变式训练② 30° V3 120° -1/3 已知直线1过点P(-1,4),且与直线1： 45° 1 135 -1 y=3-x以及x轴围成一个底边在x轴上的等 腰三角形，求直线1的倾斜角及1与x轴的 60° V3 150 /3 3 交点坐标 思考 直线的斜率会随着倾斜角的增 大而增大吗？ 3.两点的斜率公式 如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线1上 两个不同的点，那么当x1≠x2时，斜率k= Y2-Y1 x2-x1 思考斜率公式与两点的顺序有关吗？ 反思感悟 在以前学过的知识中你遇到过直线的斜 根据直线斜率和倾斜角的关系，解题 率吗？ 时求倾斜角的值或范围，可以通过求直线 例2已知坐标平面内△ABC的三个顶 的斜率的值或范围来解决，反之也一样 点坐标分别为A(2,1),B(-1,1),C(-1, 例3已知经过A(2a,3),B(2,a-1) -2),求直线AB,BC,CA的斜率. 的直线的斜率为-3，求实数α的值。 34)学 第二章平面解析几何。 分析利用两点的斜率公式列出关于 反思感悟 实数a的方程，即可求解. 解决这类问题的思路一般是先求出定 点和线段两个端点连线的斜率，判断这两 个边界线倾斜角的变化情况，然后写出直 线斜率的取值范围 变式训练4 变式训练③ 将本例中点P的坐标改为多，-2，其 若过点P(1-a,1+a)与点Q(3,2a)的 他条件不变，求直线1的斜率的取值范围. 直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围 是 例4下列关于直线倾斜角与斜率的说 法，正确的是() A.任何一条直线都有倾斜角，也都有 斜率 B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C.平行于x轴的直线的倾斜角是0°或 180° D.直线斜率的取值范围是(-∞，+∞) 例6若三点A(2,2),B(a,0),C(0 例5已知两点A(2,-3),B(3,2), 4)共线，求实数a的值. 直线1经过点P(0,-2).若直线l与线段AB 分析当这三点中任意两点所得直线 有公共点，求直线1的斜率的取值范围. 的斜率相等时，这三点即共线」 分析根据题意作出图形，求出直线 PA,PB的斜率，通过数形结合即可求出 结果 学35 高中数学选择性必修第一册人教B版 反思感悟 数学文化 判断三点共线的方法： (1)向量法：转化为判断任意两点连 例解析几何是17世纪法国数学家笛 成的向量是否共线！ 卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法 (2)公式法： 是：通过坐标系，把几何的基本元素一点 ①判断过任意两点的直线的斜率是否 和代数的基本对象—数（有序数对或数 相等； 组)对应起来，在此基础上建立曲线（点的 ②利用两点的距离公式，判断最长线 轨迹)的方程，从而把几何问题转化为代数 段的长度是否等于两条较短线段长度之和 问题，再通过代数方法研究几何图形的性 质.解析几何的创立是数学发展史上的一个 官变式训练 里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微 已知a心0，若平面内三点A(1,-a),B(2, 积分的创建奠定了基础.解析几何很好地将数 a2),C(3,)共线，则a= 和形结合在了一起，例如，与V(x-a)+(y-b) 例7如图2-2-1，已知 相关的代数问题，可以转化为点A(x,y) 定点P(6,4)及定直线1： P(6 与点B(a,b)之间的距离的几何问题.请 y=4x,点Q在直线1上(Q 0 你用解析几何的知识求函数f(x)=sint-4 在第一象限)，直线PQ交x 2cosx+1 图2-2-1 轴正半轴于点M,要使 的值域. △OMQ的面积最小，求Q点坐标 分析f(x)可看作是动点P(2cosx, 分析由题知，△OMQ的面积和M点 sinx)与定，点A(-1,4)所连成的直线的斜 的横坐标，Q点的纵坐标有关.P点为已知 率，从而将求函数的值域这个代数问题转 点，且M,P,Q三，点共线，可以利用斜率 化为求直线的倾斜程度这个几何问题.由于 相等得到M,Q两点坐标之间的关系. cos2x+sinx=1,可以分析出动点P在线段y= 1-(0≤≤2)上运动，选而求出直线 PA的斜率的取值范围，这个范围即为函 数的值域。 36)学