2.1 坐标法 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识点二]　坐标法　 　通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过　代数运算　等解决问题的方法称为坐标法． [预习自测] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面直角坐标系内的点与实数一一对应．(　　) (2)数轴上起点相同的向量方向相同．(　　) (3)点M(x)位于点N(2x)的左侧．(　　) (4)数轴上等长的向量是相等的向量．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知数轴上A(－3)，B(8)，则A，B两点间的距离为(　　) A．3　 B．8　　 C．11　 　D．5 解析：C　[|AB|＝|8－(－3)|＝11.] 3．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2,1)，B(－2,3)，C(0，－1)，则△ABC重心G的坐标为　________　. 解析：设G(x，y)，则有x＝eq \f(2＋－2＋0,3)＝0，y＝eq \f(1＋3－1,3)＝1. 答案：(0,1) 4．已知A(2,4)，B(－1,3)，则A，B两点间的距离为　________　. 解析：|AB|＝eq \r(2＋12＋4－32)＝eq \r(10). 答案：eq \r(10) 数轴上的点与实数间的关系 [例1]　(1)在数轴上从点A(－3)引一线段到B(4)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为　________　. (2)已知点A(2x)，B(x2)，且点A在点B右侧，则x的取值范围是　________　. [解析]　(1)∵d(A，B)＝4－(－3)＝7＝d(B，C)＝x－4，∴x＝11. (2)∵A在B点的右侧，∴2x>x2，即x2－2x<0，∴0<x<2. [答案](1)11　(2)(0,2) 数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标． [变式训练] 1．不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系： (1)A(－3.2)，B(－2.3)； (2)A(m)，B(m2＋1)； (3)A(|a|)，B(a)． 解：(1)因为－2.3>－3.2，所以A(－3.2)位于B(－2.3)的左侧． (2)因为m2＋1－m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0， 所以m2＋1>m，所以B(m2＋1)位于A(m)的右侧． (3)当a≥0时，|a|＝a，则A(|a|)和B(a)为同一个点． 当a<0时，|a|>a，则A(|a|)位于B(a)的右侧． 数轴上两点间的距离 [例2]　已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1,3，x. 当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x. [思路点拨]　数轴上两点间的距离⇒点与实数的对应关系⇒数轴上的基本公式． [解]　由题意知|PB|＝3|PA|，即|x－3|＝3|x＋1|， 则3(x＋1)＝x－3，①或3(x＋1)＝－(x－3)．② 解①得x＝－3；解②得x＝0. 所以点P的坐标为－3或0. 数轴上的基本公式应用思路与方法 1．已知向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))中的两个的坐标，求另外一个的坐标时，使用eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))求解． 2．已知向量的起点和终点的坐标，求向量坐标，使用eq \o(AB,\s\up16(→))＝xB－xA求解． 3．已知数轴上两点间的距离时，使用d(A，B)＝|AB|＝|xB－xA|求解． [变式训练] 2.如图，eq \o(AB,\s\up16(→))是数轴上的一个向量，O为原点，则下列各式中不成立的是(　　) A．OA＝|eq \o(OA,\s\up16(→))|　　　　 B．OB＝|eq \o(OB,\s\up16(→))| C．AB＝OB－OA D．BA＝OA－OB 解析：B　[由于点A在原点的右侧，点B在原点的左侧，可知点A表示的数x1比点B表示的数x2大，即OA＝x1>0，OB＝x2<0，所以OA＝|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝|x1|＝x1，OB＝x2≠|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|x2|＝－x2，AB＝x2－x1＝OB－OA，BA＝x1－x2＝OA－OB.故B不成立．] 两点间距离公式的应用 [例3]　已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)． (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． [思路点拨]　(1)先根据已知条件，画出草图，判断△ABC的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状．(2)结合三角形形状求解． [解]　(1)∵|AB|＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝2eq \r(13)， |AC|＝eq \r(1＋32＋7－12)＝2eq \r(13)， 又|BC|＝eq \r(1－32＋7＋32)＝2eq \r(26)， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． (2)△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)|AC|·|AB|＝eq \f(1,2)×2eq \r(13)×2eq \r(13)＝26. 判断三角形形状的方法 1．采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． 2．利用两点间的距离公式，分别计算△ABC三边的长度，根据三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理． [变式训练] 3．(1)已知点A(a,3)，B(3,3a＋3)之间的距离为5，求a的值． (2)已知A(1,3)，B(5,2)，点P在x轴上，则|AP|＋|PB|的最小值为？ 解：(1)因为x1＝a，y1＝3，x2＝3，y2＝3a＋3， 所以|AB|＝eq \r(a－32＋3－3a－32)＝eq \r(a－32＋3a2)＝5， 即(a－3)2＋(3a)2＝25，展开得a2－6a＋9＋9a2＝25， 所以10a2－6a－16＝0，即5a2－3a－8＝0， 解得a＝－1或a＝eq \f(8,5)，因此a的值为－1或eq \f(8,5). (2)如图，作点(1,3)关于x轴的对称点A′(1，－3)， 连接A′B交x轴于点P.可知|A′B|即为|AP|＋|PB|的最小值， 而|A′B|＝eq \r(5－12＋2＋32)＝eq \r(41). 故|AP|＋|PB|的最小值为eq \r(41). 坐标法的应用 [例4]　在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 [思路点拨]　几何证明问题⇒坐标法⇒借助代数运算证明 [解析]　A　[如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b＜d＜c)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)， 又因为d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c.所以|OB|＝|OC|. 又AO⊥BC，故△ABC为等腰三角形．] 建立直角坐标系的常见技巧 1．对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化． 2．在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点． [变式训练] 4.如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，利用坐标法证明梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|. [证明]　建立如图坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝eq \r(b－02＋c－02) ＝eq \r(b2＋c2)， |BD|＝eq \r(a－b－a2＋c－02)＝eq \r(b2＋c2)，故|AC|＝|BD|. [当堂达标] 1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是(　　) A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4) C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3) 解析：A　[由数轴上点的坐标可知A正确．] 2.如图所示，eq \o(AB,\s\up16(→))是数轴上的一个向量，O是原点，则下列各式不成立的是(　　) A．|OA|＝|eq \o(OA,\s\up16(→))| B．|OB|＝|eq \o(OB,\s\up16(→))| C．|AB|＝|OB|－|OA| D．|BA|＝|OA|＋|OB| 答案：C 3．(多选题)已知A(2,1)、B(－1，b)，|AB|＝5，则b的可取值为(　　) A．－3　 B．5　 　C．3　　D．－1 解析：AB　[由两点间的距离公式知|AB|＝eq \r(－32＋b－12)＝eq \r(b2－2b＋10) 由5＝eq \r(b2－2b＋10)，解得b＝－3或b＝5.故答案AB.] 4．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(5,2)，B(－4,4)，C(－1，－1)，则△ABC重心G的坐标为　________　. 解析：设G(x，y)，则有x＝eq \f(5＋－4－1,3)＝0，y＝eq \f(2＋4－1,3)＝eq \f(5,3). 答案：(0，eq \f(5,3)) 5．已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线的交点为E(－3,4)，求另外两个顶点C，D的坐标． 解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．因为E为AC的中点， 所以－3＝eq \f(4＋x1,2)，4＝eq \f(2＋y1,2)，解得x1＝－10，y1＝6. 又因为E为BD的中点， 所以－3＝eq \f(5＋x2,2)，4＝eq \f(7＋y2,2)，解得x2＝－11，y2＝1. 所以C的坐标为(－10,6)，D的坐标为(－11,1)． $$