第二章 章末归纳提升 -【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

[网络构建] [归纳提升] 　　　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到．主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用． [例1] 已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根． (1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (2)求使＋＝2的值为整数的实数k的整数值． [解]　(1)假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立． ∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根． ∴ 解得k<0. 又x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，∴. ∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x＋x)－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－＝－.∴k＝. 又k<0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立． (2)∵＋－2＝－2＝－4＝－4＝－， ∴要使其值是整数，只需k＋1能被4整除，即k＋1＝±1. ±2，±4，又k<0， ∴使＋－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5. [变式训练] 1．已知关于x的一元二次方程是kx2－(k－1)x－1＝0， (1)求证：方程有两个实数根； (2)当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数； (3)我们定义：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个正实数根x1，x2(x1>x2)，满足2<<3，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”．如果关于x的一元二次方程是kx2－(k－1)x－1＝0有两个“梦想根”，求k的取值范围． (1)证明　∵关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0，a＝k，b＝－(k－1)，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝[－(k－1)]2－4k×(－1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2≥0， ∴关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个实数根． (2)解：由根与系数的关系知x1＋x2＝， 由题意知x1＋x2＝0，∴k＝1. (3)解：当k>0时，x1＝1，x2＝－<0不符合题意； 当－1≤k<0时，x1＝－，x2＝1,2<<3， 得 解得－<k<－； 当k<－1时，x1＝1，x2＝－， 由2<<3，得2<－k<3. 解得－3<k<－2. 综上所述，关于x的一元二次方程kx2－(k－1)x－1＝0有两个“梦想根”时，k的取值范围为∪(－3，－2)． 　　不等关系与不等式的解法 不等关系与不等式的解法是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用． [例2] (1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0.那么下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab>ac　　　　 B．c(b－a)>0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0 (2)不等式x2＋6x＋10<0的解集是(　　) A．∅ B．R C．(5，＋∞) D．(－∞，2) (3)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，的取值范围． [解析]　(1)因为c<a，且ac<0，所以c<0，a>0.A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac.B成立，因为b<a，b－a<0，所以c(b－a)>0.C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立．D成立，因为c<a，所以a－c>0，所以ac(a－c)<0. (2)∵x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1>0，∴原不等式的解集为∅. [答案]　(1)C　(2)A (3)[解]　因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1， 所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以<<， 所以<<2. 所以ab的取值范围为(－6，－2)，的取值范围为 [变式训练] 2．(1)已知不等式ax2＋5x＋b>0的解集为(，)，则a＝________，b＝________. (2)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小． (1)解析：由已知可得a<0且，为方程ax2＋5x＋b＝0的两根，由根与系数的关系得， ∴ 答案：－6　－1 (2)解：(＋)－(a＋b)＝－b＋－a ＝＋＝(a2－b2) ＝(a2－b2)＝， 因为a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0. 所以－(a＋b)>0，即＋>a＋b. 　　　均值不等式的应用 均值不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合．同时在均值不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，均值不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． [例3] (1)设a>0，b>0,2a＋b＝1，则＋的最小值为________． (2)已知a，b都是正数，且a2＋＝1，则y＝a的最大值为________． [解析]　(1)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1， ∴＋＝(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当即时等号成立． ∴＋的最小值为8. (2)∵a2＋＝1，∴2a2＋b2＝2. 又∵a是正数，b也是正数， ∴y＝a＝ ＝·≤·＝， 当且仅当即时，y＝a有最大值. [答案](1)8　(2) [变式训练] 3．y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 解析：y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)， 当且仅当4x＝，即x＝时等号成立． 此时y取得最小值4. 又由已知x＝3时，y取得最小值， ∴＝3，即a＝36. 答案：36 　　　恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法： 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (2)分离参数法： 若m<y恒成立，则m<y的最小值． 若m>y恒成立，则m>y的最大值． (3)数形结合法： 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化． [例4] 已知y＝mx2－mx－6＋m，若对于∀m∈[1,3]，y<0恒成立，求实数x的取值范围． [解]　法一　y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0. ∵m∈[1,3]， ∴x2－x＋1<⇔x2－x＋1<⇔x2－x－1<0⇔<x<. ∴x的取值范围为. 法二　y＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6. 由题意知y<0对∀m∈[1,3]恒成立． ∵x2－x＋1>0，∴y是关于m的一次函数，且在[1,3]上y随m的增大而增大， ∴y<0对∀m∈[1,3]恒成立等价于y的最大值<0， 即当m＝3时，3(x2－x＋1)－6<0. 又3(x2－x＋1)－6<0⇔x2－x－1<0⇔<x<， ∴x的取值范围为. [变式训练] 4．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0. 设关于a的函数为y＝(x－3)a＋x2－6x＋9. 因为y>0在|a|≤1时恒成立，所以 (1)若x＝3，则y＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x≠3，则由一次函数的图像， 可得当a＝－1时，y>0且当a＝1时，y>0， 即解得x<2或x>4. 所以x的取值范围是{x|x<2或x>4}． 学科网（北京）股份有限公司 $$