1.4.2 充要条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生课时P337 1．若a∈R，则“a2＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 2．两个三角形全等的一个充要条件是(　　) A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 答案：C 3．设 a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 4．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(　　) A．x＋y＝2　　　 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1 答案：B 5．(多选)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列结论正确的是(　　) A．r是q的充要条件 B．p是q的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 解析：AB　[由已知得p⇒r，q⇒r，r⇒s，s⇒q，由此得r⇒q且q⇒r，A正确，C不正确；p⇒q，B正确；r⇒s且s⇒r，D不正确．] 6．(多选)下列选项中，能够成为“关于x的方程x2－|x|＋a－1＝0有四个不等实数根”的必要不充分条件的是(　　) A. B. C．{a|1＜a＜2} D. 解析：BC　[关于x的方程x2－|x|＋a－1＝0有四个不等实数根， ①若x＞0，则方程x2－x＋a－1＝0有两正根，分别设为x1，x2， 则有 即解得1＜a＜； ②若x＜0，则方程x2＋x＋a－1＝0有两负根，分别设为x3，x4，则有解得1＜a＜，综上，实数a的取值范围是.] 7．(一题两空)下列不等式： ①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1；⑤x>－1.其中，可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为____________；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为____________． 解析：由x2<1，得－1<x<1，而{x|0<x<1}{x|－1<x<1}，{x|－1<x<0}{x|－1<x<1}，所以0<x<1和－1<x<0都可作为x2<1的一个充分不必要条件．因为{x|－1<x<1}{x|x<1}，{x|－1<x<1}{x|x>－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件． 答案：②③　①⑤ 8．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是____________． 解析：由题意知|2x－3|＞a恒成立，∵|2x－3|≥0，∴a＜0. 答案：a＜0 9．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________________________． 解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2. 答案：0≤a≤2 10．已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件． 解：设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1，x2， 由题意知⇔ ⇔⇔ ⇔m≥6. 即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6. 11．设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明：充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy＞0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立． 当xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0时． 又当x＞0，y＞0时， |x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立． 当x＜0，y＜0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立． 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件． 12．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　) A．m＞－1，n＜5　 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 解析：A　[要求P∈A∩(∁UB)的充要条件，应从充分性、必要性两方面入手． (1)∁UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}， A∩(∁UB)＝{(x，y)|x＋y－n＞0，且2x－y＋m＞0}， 由P∈A∩(∁UB)知，即m＞－1，n＜5. 所以m＞－1，n＜5是P(2,3)∈A∩(∁UB)的必要条件． (2)当m＞－1，n＜5时，解得 即P(2,3)∈A∩(∁UB)，所以m＞－1，n＜5是P(2,3)∈A∩(∁UB)的充分条件，选A.] 13．设a，b，c为△ABC三边长，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0，有公共根的充要条件是∠A＝90°. 证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2xc－b2＝0 有公共根x0，则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0且a≠c 两式相减，得x0＝，将此式代入x＋2ax0＋b2＝0 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90° 充分性：∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0可得x2＋2ax＋a2－c2＝0 而(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得 x2＋2cx＋c2－a2＝0即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0 故两方程有公共根x＝－(a＋c) 学科网（北京）股份有限公司 $$