第二章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

　[网络构建]　对应学生课时P54 　　　　　　　[归纳提升] 　　　不等式的性质及应用 不等关系与不等式的解法是高考重点考查的内容之一，在试题中多以选择题或填空题的形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用． [例1] (1)如果a，b，c满足c<b<a且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　) A．ab>ac　　　　　　 B．c(b－a)>0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<0 (2)不等式x2＋6x＋10<0的解集是(　　) A．∅ B．R C．{x|x>5} D．{x|x<2} (3)已知2<a<3，－2<b<－1，求ab，的取值范围． [解析]　(1)C　(2)A　[(1)因为c<a.且ac<0，所以c<0，a>0. A成立，因为c<b，所以ac<ab，即ab>ac. B成立，因为b<a，b－a<0， 所以c(b－a)>0. C不一定成立，当b＝0时，cb2<ab2不成立． D成立，因为c<a，所以a－c>0， 所以ac(a－c)<0. (2)∵x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1>0， ∴原不等式的解集为∅.] (3)因为－2<b<－1，所以1<－b<2. 又因为2<a<3，所以2<－ab<6， 所以－6<ab<－2. 因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以<<， 所以<<2. 所以ab的取值范围为－6<ab<－2，的取值范围为<<2. [变式训练] 1．(1)(多选)下列命题正确的有(　　) A．若a>1，则<1 B．若a＋c>b，则< C．对任意实数a，都有a2≥a D．若ac2>bc2，则a>b (2)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小． (1)解析：AD　[因为a>1，所以<1，所以A正确；若a＋c>b，可令a＝1，c＝1，b＝－1，则有>，故B错误；对于C，可取a＝，则a2<a，故C错误；因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故D正确．] (2)(＋)－(a＋b)＝－b＋－a＝＋ ＝(a2－b2)(－) ＝(a2－b2)＝， 因为a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0， 所以(＋)－(a＋b)>0， 即＋>a＋b. 　　　解一元二次不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系，虽在高考中不直接考查，但它是解决某些数学问题的基础，常在解题过程中用到，主要涉及到一元二次方程的解法及其根与系数的关系的应用． [例2] 解下列关于x的不等式： (1)－1<x2＋2x－1≤2； (2)m2x2＋2mx－3<0. [解]　(1)原不等式等价于 即 由①得x(x＋2)>0， 所以x<－2或x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0， 所以－3≤x≤1. 将①②的解集在数轴上表示出来，如图． 求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2，或0<x≤1}． (2)当m＝0时，－3<0恒成立，解集为R. 当m≠0时，二次项系数m2>0，Δ＝16m2>0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0. 当m>0时，解集为{x|－<x<}； 当m<0时，解集为{x|<x<－}． [变式训练] 2．解下列不等式(组)： (1) (2)6－2x≤x2－3x<18. 解：(1)原不等式组可化为，即0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}． (2)原不等式等价于 即 因式分解，得 所以 所以－3<x≤－2或3≤x<6. 所以不等式的解集为{x|－3<x≤－2，或3≤x<6}． 　　　利用基本不等式求最值 　基本不等式：≤(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． [例3] (1)设a>0，b>0,2a＋b＝1，则＋的最小值为____________． (2)已知a，b都是正数，且a2＋＝1，则y＝a的最大值为____________． [解析]　(1)∵a>0，b>0，且2a＋b＝1， ∴＋＝(＋)(2a＋b) ＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当，即时等号成立．∴＋的最小值为8. (2)∵a2＋＝1，∴2a2＋b2＝2. 又∵a是正数，b也是正数， ∴y＝a＝ ＝·≤· ＝， 当且仅当即时， y＝a有最大值. [答案](1)8　(2) [变式训练] 3．若x>0，y>0，且x＋2y＝5，求＋的最小值，并求出取得最小值时x，y的值． 解：因为x>0，y>0，且x＋2y＝5， 所以＋＝(x＋2y)(＋) ＝(13＋＋) ≥(13＋2)＝5， 当且仅当 即时等号成立． 所以＋的最小值为5，此时x＝3，y＝1. 　　　恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元． (2)分离参数法 若m<y恒成立，则m<y的最小值． 若m>y恒成立，则m>y的最大值． (3)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． [例4] 设函数y＝mx2－mx－1，(1≤x≤3)，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围． [解]　y<－m＋5恒成立． 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝(x－)2＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<. ∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，∴只需m<即可． ∴m的取值范围为{m|m<}． [变式训练] 4．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围． 解：不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)>0， 设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的一次函数，则0≤p≤4时y>0恒成立， 即 解得x>3或x<－1. ∴x的取值范围是{x|x>3，或x<－1}． 　　　构建不等式模型解决实际问题 数学建模是应用数学实际问题的基本手段，在本章中体现在：(1)基本不等式的实际应用；(2)一元二次不等式的实际应用． [例5] 某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． [解]　y＝112(2x＋×2)＋96(x＋×3)＋100×160＝320×(x＋)＋16 000≥26 240. 此时，x＝，即x＝16时，取得最小值． 最小值为26 240元． [变式训练] 5．某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元，求x的取值范围． 解：(1)依题意y＝100(1－)·100(1＋x)； 又售价不能低于成本价， 所以100(1－)－80≥0，解得x≤2， 所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2)． (2)20(10－x)(50＋8x)≥10 260， 化简得：8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤. 又x∈{x|0≤x≤2}，所以x的取值范围为{x|≤x≤2}. 学科网（北京）股份有限公司 $$