第一章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

章末归纳提升 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 网络构建 归纳提升 01 02 第一章 集合与常用逻辑用语 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 网络构建 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 归纳提升 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　　　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　　　　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 集合的基本概念 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其它集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． [例1]　 (1)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　) A．4　　B．5　　　C．6　　　D．7 (2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1　　B．3　　　C．5　　　D．9 [解析]　(1)C　(2)C　[(1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C. (2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．] [变式训练] 1．(1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0,1,2}的集合B的个数是(　　) A．1　　B．3　　　C．4　　　D．6 (2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为____________． 解析：(1)C　(2)3或1　[(1)易知A＝{1,2}，又A∪B＝(0,1,2}，所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}． (2)当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1,5,13)，符合题意； 当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1，若m＝1，则M＝{1,3,5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1.] 集合的基本关系 集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． [例2] (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 (2)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝____________. (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________． [解析]　(1)D　(2)0或－2　(3) m≤4 [(1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2，但x＝2时，2x＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x2＝2x时，x＝0或x＝2(舍)， 综上所述，x＝－2或x＝0. (3)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1<2m－1，))解得2<m≤4. 综上，m的取值范围为m≤4．] [变式训练] 2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3　 B．2　　C．2或3　　D．0或2或3 解析：D　[当m＝0时，方程mx－6＝0无解，B＝Φ，满足B⊆A；当m≠0时，B＝{eq \f(6,m)}，因为B⊆A，所以eq \f(6,m)＝2或eq \f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2.] 集合的基本运算 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用维恩图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． [例3] (1)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3}　　　　　　 B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} (2)若集合A＝{x|－2<x<1)，B＝{x|x<－1,或x>3)，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} [解析]　(1)由A∩B＝{1}得1∈B， 所以m＝3，则B＝{1,3}． (2)A∩B＝{x|－2<x<－1}． [答案]　(1)C　(2)A (3)已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}． ①求A∪B，(∁RA)∩B； ②若A∩C≠∅，求a的取值范围． [解]　①因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}， 所以A∪B＝{x|2≤x<10}． 因为A＝{x|2≤x<7}， 所以∁RA＝{x|x<2，或x≥7}， 则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}． ②因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2， 所以a的取值范围是{a|a>2}． [变式训练] 3．(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4} 解析：D　[由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．] (2)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B＝(　　) A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5} 解析：A　[由题意知∁UA＝{2,5}，所以(∁UA)∪B＝{2,4,5}，故选A.] 全称量词命题与存在量词命题 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制． [例4] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集． (2)∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2. (3)∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2. (4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． [解]　(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集． (2)该命题是全称量词命题，是假命题． 因为4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 所以当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2. 该命题的否定：∃x∈R,4x2≤2x－1＋3x2. (3)该命题是存在量词命题，是真命题． 因为当x＝1时，|x－2|＝1<2. 该命题的否定：∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2. (4)该命题是全称量词命题，是假命题．当a≠0时，方程ax＋b＝0才恰有一解．该命题的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两解． [变式训练] 4．(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 解析：B　[量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.] (2)(多选题)在下列命题中，真命题有(　　) A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0 B．∀x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x－2y＝10 D．∀x∈R，x2>|x| 解析：BC　[A中，x2＋x＋3＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(11,4)>0，故A是假命题；B中，x∈Q，eq \f(1,3)x2＋eq \f(1,2)x＋1一定是有理数，故B是真命题；C中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故C是真命题；对于D，当x＝0时，左边＝右边＝0，故D为假命题．] 充分条件与必要条件 充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其它知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断． [例5] 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出满足下列条件的式子，用序号填空： (1)使a，b都为0的必要条件是____________； (2)使a，b都不为0的充分条件是____________； (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是__________． [解析]　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正数一负数； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0，b为任意实数； ④ab>0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0，))即a，b同为正数或同为负数． 综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③； (2)使a，b都不为0的充分条件是④； (3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①. [答案]　(1)①②③　(2)④　(3)① [变式训练] 5．已知集合A＝{x∈R|2x＋m<0}，B＝{x∈R|x<－1或x>3}． (1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？ (2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？ [解]　 (1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件， 则只要{x|x<－eq \f(m,2)}⊆{x|x<－1，或x>3}，则只要－eq \f(m,2)≤－1即m≥2， 故存在实数m≥2时使x∈A是x∈B成立的充分条件． (2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件， 则只要{x|x<－eq \f(m,2)}⊇{x|x<－1，或x>3}，则这是不可能的，故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件． 集合的实际应用 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合的实际应用问题中． [例6] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13 7同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有____________人． [解析]　设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36， 解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人． [答案]　8 [变式训练] 6．2024年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为(　　) A．7　　B．8　　　C．10　　　D．12 解析：B　[由题可得参加比赛的学生共有31人，因为card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，所以田赛和径赛都参加的学生人数为16＋23－31＝8.故选B.] $$