4.4.2　二项式系数的性质导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4.2　二项式系数的性质 【学习目标】 　　1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用. 　　2.理解和初步掌握赋值法及其应用. 　　3.通过学习,培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养. ◆ 知识点一　二项式系数表 1.从第一项起至中间项,二项式系数逐渐　　　　,随后又逐渐　　　　.   2.表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)二项式系数表中第r行共有r+1项. (　 ) (2)第m行斜列中(从右上到左下)前k个数的和等于第m+1行斜列中第k个数. (　 ) ◆ 知识点二　二项式系数的性质 1.对称性 在(a+b)n的展开式中,与　　　　　　　　　的两个二项式系数相等,即=,=,…,=.   2.增减性与最大值 当k<时,随k的增大而　　　　;由对称性知,二项式系数的后半部分,随k的增大而　　　　.当n是偶数时,中间的一项　　　　取得最大值;当n是奇数时,中间的两项　　　　与　　　　相等,且同时取得最大值.   3.各二项式系数的和 ①+++…+=　　　　;   ②+++…=+++…=　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)二项展开式的二项式系数的和为++…+. (　 ) (2)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项一定相同. (　 ) (3)在(1+2x)9的展开式中二项式系数最大的项是第5项和第6项. (　 ) (4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项. (　 ) ◆ 探究点一　杨辉三角 例1 如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角中,第m(m>15)行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3,则m= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.40 B.50 C.34 D.32 变式 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的杨辉三角,如图,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是 (　 ) A.由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想:= B.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想:=+ C.由“第n行所有数之和为2n”猜想:+++…+=2n D.由“111=11,112=121,113=1331”猜想:115=15 101 051 [素养小结] 研究杨辉三角的性质,实质上是研究二项展开式的二项式系数(即组合数)的性质,求解这类题一般要观察、猜想、归纳杨辉三角横向、竖向、斜向的各个数之间的关系. ◆ 探究点二　二项式系数和、各项系数和 例2 设(1-2x)2022=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022(x∈R). (1)求a0+a1+a2+…+a2022的值; (2)求a1+a3+a5+…+a2021的值; (3)求a2+a4+a6+…+a2022的值; (4)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|的值. 变式 (1)已知(1+2x)n的展开式中二项式系数之和为32,则各项系数之和为　　　　.  (2)(多选题)若x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则 (　 ) A.a0=1 B.a2=a3 C.a1+a2+…+a5=31 D.a1-a2+a3-a4+a5=-1 [素养小结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. ◆ 探究点三　二项式的最值问题 例3 在的展开式中, (1)求二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 变式 已知(2x-1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,求的展开式中: (1)所有二项式系数之和; (2)系数绝对值最大的项. [素养小结] (1)根据二项式系数的性质可知,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的.求展开式中系数最大的项,一般采用列不等式(组),解不等式(组)的方法求解.一般地,如果第r+1项的系数最大,则与之相邻的两项(第r项、第r+2项)的系数均不大于第r+1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N*来确定r的值,即可求出系数最大的项. 4.2　二项式系数的性质 【课前预习】 知识点一 1.增大　减小　2.和 诊断分析 (1)√　(2)√ 知识点二 1.首末两端“等距离”　2.增大　减小　　　 3.①2n　②2n-1 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　(4)× 【课中探究】 例1　C　[解析] ∵次数为m的二项式的展开式中第r+1项的二项式系数为,∴所给杨辉三角形中第m行的第14个数和第15个数分别为与,∴=,整理得=,解得m=34,故选C. 变式　D　[解析] 对于A,由组合数的性质可得=,故A中猜想正确;对于B,由组合数的性质可得+=, 故B中猜想正确;对于C,由二项式系数和的性质可得+++…+=2n,故C中猜想正确;对于D,115=(10+1)5=105+5×104+10×103+10×102+5×10+1=161 051,故D中猜想错误.故选D. 例2　解:令x=1,得a0+a1+a2+…+a2022=(-1)2022=1①. 令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2021+a2022=32022②. (1)a0+a1+a2+…+a2022=1. (2)由①-②得2(a1+a3+a5+…+a2021)=1-32022, ∴a1+a3+a5+…+a2021=. (3)由①+②得2(a0+a2+…+a2022)=32022+1, ∴a0+a2+…+a2022=. 令x=0,得a0=1,∴a2+a4+a6+…+a2022=. (4)∵(1-2x)2022的展开式的通项为=(-2x)r=(-1)r··(2x)r,r∈[0,2022],r∈N, ∴a2k+1<0,a2k>0(k∈N,k<1011),且a2022>0. ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|=a0-a1+a2-a3+…-a2021+a2022=32022. 变式　(1)243　(2)ABC　[解析] (1)∵(1+2x)n的展开式中二项式系数之和为32,∴2n=32,解得n=5.令x=1,代入可得各项系数之和为(1+2)5=243. (2)设t=x-1,则原式转化为(1+t)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5,令t=0,得a0=1,故A正确;(1+t)5展开式的通项为Tr+1=tr,r=0,1,2,3,4,5,则a2==10,a3==10,即a2=a3,故B正确;令t=1,得a0+a1+a2+…+a5=25=32,所以a1+a2+…+a5=31,故C正确;令t=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0,则a1-a2+a3-a4+a5=1,故D错误.故选ABC. 例3　解:的展开式的通项为Tk+1=()8-k=(-1)k·2k· . (1)易知展开式中共9项,则二项式系数最大的项为中间项,即为第5项,该项为T5=(-1)4×24×=1120x-6. (2)设第k+1(k∈N*)项系数的绝对值最大, 则即整理得 于是k=5或k=6. 故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 变式　解:(1)因为(2x-1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,所以=且n≥5,解得n=7, 所以=展开式的二项式系数之和为++…+=210=1024. (2)展开式的通项为Tr+1=x10-r·=(-2)rx10-2r,r∈[0,10],r∈N. 设的展开式中第k+1项的系数的绝对值最大, 则解得≤k≤,又k∈N,所以k=7, 所以的展开式中系数绝对值最大的项为T8=(-2)7x10-14=-. 学科网（北京）股份有限公司 $$