第3章 §5 数学探究活动(一)：正方体截面探究-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[能力提升练] 1.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1D1，A1B1，BB1的中点，过E，F，G三点的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面面积为(　　) A．4　　　B．4　　　C.　　　D．3 解析： D　[如图，分别取BC的中点H，CD的中点I，DD1的中点K，连接GH，HI，IK，KE， 因为该几何体为正方体，所以EF∥HI，FG∥IK，GH∥KE，且EF＝HI＝FG＝IK＝GH＝KE＝ 所以E，F，G三点的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1所得的截面为正六边形EFGHIK, 所以该正六边形的面积为6××()2＝3.] 2.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD－A1B1CD1D1的截面周长为(　　) A．4＋6 B．12 C．8＋8 D．8 解析：A　[如图，取AD的中点M，AB的中点N，连结PD，MD1，MN，NB1，B1D1， 则∵D1M⊥PD，D1M⊥CD，PD∩CD＝D D1M⊥平面PCD，∵CP⊥D1M，又MN⊥面ACC1A1，∴PC⊥MN， ∴PC⊥面MNB1D1，即平面α为面MNB1D1， ∵AB＝4，∴MN＝2，BD＝4， B1N＝D1M＝2，∴截面的周长为4＋6.] 3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的一个截面经过顶点A，C及棱A1D1上一点K，且将正方体分成体积之比为13∶41的两部分，则的值为(　　) A．1 B. C. D. 解析：C　[如图，过K作KE∥AC，交C1D1于点E，连接CE， 设正方体棱长为a，设＝(λ>0)，则D1K＝D1E＝. ∵截面将正方体分成体积之比为13∶41的两部分， ∵VKED1－ACD＝a ＝a3， 解得λ＝2(负值舍去)，∴＝.] 4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则与平面A1C1B平行的平面α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[如图所示，分别取边AB，AA1，A1D1，D1C1，C1C，CB的中点M，N，E，F，G，H， 显然平面MNEFGH∥平面A1C1B， 易知当截面为平面MNEFGH时，截面面积最大， 此时，平面MNEFGH为正六边形，边长为， 故正六边形面积为S＝6××××＝.] 5．(多选)如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN∥平面ABC的是(　　) 解析：ABC　[选项A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN∥EF∥AC， ∵MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC，即选项A正确； 选项B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC∥MD，BC∥ND， ∵AC∩BC＝C，MD∩ND＝D，AC、BC⊂平面ABC，MD、ND⊂平面DMN， ∴平面ABC∥平面DMN，又MN⊂平面DMN， ∴MN∥平面ABC，即选项B正确； 选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC∥平面GMN， ∵MN⊂平面GMN，∴MN∥平面ABC，即选项C正确； 选项D，连接CN，则AB∥CN，∴A，B，C，N四点共面， ∴MN∩平面ABC＝N，与MN∥平面ABC相矛盾，即选项D错误．] 6.(多选)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D的棱长为2，设点P，Q分别为A1B1，DD1的中点，则过点P，Q的平面α与正方体的截面形状可能为(　　) A．三角形 B．矩形 C．五边形 D．六边形 解析：BCD　[P、Q在正方体的内部，由平面的延展性，截面不可能是三角形，故A错误； 取CC1的中点M，连接A1Q，MQ、B1M，因为A1B1∥MQ，A1B1＝MQ，所以四边形A1B1MQ是平行四边形，又A1B1⊥B1M，所以四边形A1B1MQ是矩形，此时过P、Q的平面α即为平面A1B1MQ，B正确； 取A1N＝2ND1，CE＝3ED，连接PN、NQ、QE、BE、BP，分别取AB、CD的中点S、T，取AH＝3HD，连接SH、D1T，可得SH∥PN∥BE，BP∥TD1∥QE，所以PN、BE在 同一平面内，BP、QE在同一平面内，又过B、P、E的平面只有一个，所以PNQEP是五边形，此时过P、Q的平面α即为五边形PNQEP，故C正确； 分别取A1D1、CD、CB、B1B的中点A′、B′、D′、C′， 连接A′Q、QB′、B′D′、D′C′、C′P, 由正方体的性质A′P∥B′D∥C′Q，A′D′、PB′、C′Q交于一点，所以C′Q的中点在平面A′PD′B′内，即C′Q也在平面A′PD′B内，所以A′QB′D′C′P是六边形，此时过P、Q的平面α即为六边形A′QB′D′C′P，故D正确．] 7．如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是　________　. 解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D，平面A1C1B.∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，∴四边形ACC1A1是平行四边形；∴AC∥A1C1，又AC⊄平面A1C1D，A1C1⊂平面A1C1D，∴AC∥平面A1C1D；同理AC∥平面A1C1B. 答案：平面A1C1D，平面A1C1B. 8．已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为　__________　. 解析：在正方体中，共有3组互相平行的棱，每条棱与平面α所成的角都相等，如图所示的正六边形对应的截面面积最大． 此时正六边形的边长为，其面积为6××()2＝3 答案：3 [素养培优练] 9.如图，正方体ABCD ­A1B1C1D1为棱长为2，动点P，Q分别在棱BC，CC1上，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设BP＝x，CQ＝y，其中x，y∈[0,2]，下列命题正确的是　________　.(写出所有正确命题的编号) ①当x＝0时，S为矩形，其面积最大为4；②当x＝y＝1时，S的面积为；③当x＝1，y∈(1,2)，时，设S与棱C1D1的交点为R，则RD1＝4－；④当y＝2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值. 解析：当x＝0时，点P与点B重合，∴AB⊥PQ，此时S为矩形，当点Q与点C1重合时，S的面积最大，S＝2×2＝4.故①错误； 当x＝1，y＝1时，PQ为△BCC1的中位线，PQ∥BC1， ∵BC1∥AD1，∴AD1∥PQ，∴S为等腰梯形APQD1的面积， 过P作PE⊥AD1于E，PQ＝，AD1＝2， ∴AE＝，AP＝，∴PE＝， ∴S梯形APQD1＝×3×＝，故②正确； 当x＝1，y∈(1,2)时，如图 由图可设S与DD1交于点F，可得D1F∥CC1，△C1QR∽△D1FR，＝，∵CQ＝y，则C1Q＝2－y， ∴RD1＝4－，故③正确； 当y＝2时，以B1为定点，S为底面的棱锥为B1­APC1H，VB1－APC1H＝2VP－B1C1H＝2×××2×2×2＝，故④正确． 答案：②③④ 10．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝，点E在线段CC1上，＝λ(0≤λ≤1)平面α过线段AA1的中点以及点B1、E，现有如下说法： ①∃λ∈[0,1]，使得BE⊥B1E； ②若λ∈，则平面α截长方体ABCD­A1B1C1D1所得截面为平行四边形； ③若λ＝0，AB＝2，则平面α截长方体ABCD­A1B1C1D1所得截面的面积为3 以上说法正确的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：D　[①以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分 别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝a，则B(a，a,0)、B1(a，a,2a)、E(0，a,2λa)， ＝(－a,0,2λa)，＝(－a,0,2λa－2a)， 若BE⊥B1E，则·＝a2＋2λ(2λ－2)a2＝(2λ－1)2a2＝0，解得λ＝，①正确； 对于②，在棱DD1找点Q，由面面平行的性质可知PQ∥B1E， 设点Q(0,0，t)， ＝(－a,0,2λa－2a)，＝(－a,0，t－a)， 因为B1E∥PQ，可设＝k，若k＝1，则t－a＝2λa－2a，则t＝(2λ－1)a， 当λ∈时，0≤2λ－1≤，此时点Q在棱DD1上，且有＝， 故四边形B1EQP为平行四边形，②正确； 对于③，设截面交棱AD于点M，连接PM、CM， 因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，平面B1PE∩平面BB1C1C＝B1C，平面B1PE∩平面AA1D1D＝PM，所以PM∥B1C， 由图可知，∠AMP＝∠BCB1，则tan∠AMP＝＝＝2，故AM＝AP＝AD， 所以，点M为AD的中点，则M(1,0,0)、P(2,0,2)、C(0,2，0)、B1(2,2,4)， 可求得CM＝PM＝，PC＝2，PB1＝2，B1C＝2， 取PC的中点N，连接MN，则MN⊥PC，且MN＝＝， S△PCM＝PC·MN＝， ∵PC2＋PB＝B1C2，故PC⊥PB1，故S△PB1C＝PB1·PC＝2， 所以，截面面积为＋2＝3，③正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $$