第3章 §5 数学探究活动(一)：正方体截面探究-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（北师大版2019）

§5　数学探究活动(一)：正方体截面探究 [目的]　结合正方体截面设计的问题，引导学生完成探究、发现、证明新问题的过程，积累数学探究的经验． [情境]　用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的？启发学生提出逐渐深入的系列问题，引导学生进行逐渐深刻的思考． [实例分析] 用一个平面去截正方体，能否截出直角三角形呢？ 结论：不能． [分析]　用一个平面去截正方体，如果三角形截面的三边在正方体共顶点的三个面上，那么三个顶点在正方体的三条棱上，如图中的△ABC.因为△ABD是直角三角形，由勾股定理有BD2＋AD2＝AB2，又BC＞BD，AC＞AD，所以BC2＋AC2＞AB2，即△ABC不是直角三角形． 因为上述△ABC是任意截得的三角形截面，所以用一个平面去截正方体，不能截出直角三角形． [探究一]　用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类： (1)如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？ (2)如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？ (3)能否截出正五边形？为什么？ (4)是否存在正六边形的截面？为什么？ (5)有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？ [思路点拨]　(1)根据题意，作出截面，并分类即可； (2)假设可以截出，反证法说明即可； (3)过六条棱个中点的截面即为正六边形． (4)结合正方体最多只有6个平面说明即可． [解]　(1)如果截面是三角形，则可以是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形，不能出现直角三角形和钝角三角形，如图是截面情况． (2)若截面是四边形，可以是梯形，平行四边形，菱形，正方形，矩形等，其中梯形可以为等腰梯形，其中梯形：过相对两个平面上平行且不等长的线的截面所截得图形；平行四边形：过正方体的一条体对角线，且不过正方体的棱及棱的中点的截面所截得图形；菱形：过正方体的一条体对角线，和一对棱的中点的截面所截得图形；长方体：过正方体的两条相对的棱或一条棱得的截面所截得图形；正方形：平行于正方体的一个平面的截面所截得图形．具体见图： (3)不能截出正五边形，假设可以截出正五边形，则根据面面平行的性质得EF∥D1H，D1E∥GH，而正五边形不存在对边平行的性质，矛盾，故截面是正五边形不存在． (4)存在正六边形的截面，如图，该截面为过各条棱的中点形成的六边形． (5)不能，因为正方体只有六个面，当界面与六个面都相交时，最多截出六边形，故不能截出边数超过6的多边形． [探究二]　如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，E为棱BC的中点，F为棱A1D1上的一动点，过点A，E，F作该正方体的截面，则该截面不可能是(　　) A．平行四边形　　　　　　 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 [思路点拨]　对A1F分类讨论，分别画出所对应的截面图形，即可判断. [解析]　当A1F＝0，即F与A1重合时，如图1，取B1C1的中点，截面为矩形AEGA1； 当0＜A1F＜1时，如图2，截面为平行四边形AEGF； 当1＜A1F＜2时，如图3，截面为五边形AEGHF， 当A1F＝2，即F与D1重合时，如图4，截面为等腰梯形AEGF. [答案]　D ●[探究建议] (1)成立探究小组，一起讨论研究，集思广益． (2)可以利用计算机作图软件协助，也可以直接做模型，甚至切萝卜块来探究；也可以在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同摆放位置，不同水量时的液体表面的形状． (3)大胆猜想，小心求证． (4)梳理探究的结果，撰写一个报告． ●[思考交流] 发现和提出在截正方体时的其他有意义的问题，并研究解决． 学科网（北京）股份有限公司 $$