第3章 §5 数学探究活动(一)：正方体截面探究-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（北师大版2019）

§ 5 数学探究活动（一）：正方体截面探究 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第三章 空间向量与立体几何 数学（BS）·选择性必修第一册 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 [目的]　结合正方体截面设计的问题，引导学生完成探究、发现、证明新问题的过程，积累数学探究的经验． [情境]　用一个平面截正方体，截面的形状将会是什么样的？启发学生提出逐渐深入的系列问题，引导学生进行逐渐深刻的思考． [实例分析] 用一个平面去截正方体，能否截出直角三角形呢？ 结论：不能． [分析]　用一个平面去截正方体，如果三角形截面的三边在正方体共顶点的三个面上，那么三个顶点在正方体的三条棱上，如图中的△ABC.因为△ABD是直角三角形，由勾股定理有BD2＋AD2＝AB2，又BC＞BD，AC＞AD，所以BC2＋AC2＞AB2，即△ABC不是直角三角形． 因为上述△ABC是任意截得的三角形截面，所以用一个平面去截正方体，不能截出直角三角形． [探究一]　用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类： (1)如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？ (2)如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？ (3)能否截出正五边形？为什么？ (4)是否存在正六边形的截面？为什么？ (5)有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？ [思路点拨]　(1)根据题意，作出截面，并分类即可； (2)假设可以截出，反证法说明即可； (3)过六条棱个中点的截面即为正六边形． (4)结合正方体最多只有6个平面说明即可． [解]　(1)如果截面是三角形，则可以是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形，不能出现直角三角形和钝角三角形，如图是截面情况． (2)若截面是四边形，可以是梯形，平行四边形，菱形，正方形，矩形等，其中梯形可以为等腰梯形，其中梯形：过相对两个平面上平行且不等长的线的截面所截得图形；平行四边形：过正方体的一条体对角线，且不过正方体的棱及棱的中点的截面所截得图形；菱形：过正方体的一条体对角线，和一对棱的中点的截面所截得图形；长方体：过正方体的两条相对的棱或一条棱得的截面所截得图形；正方形：平行于正方体的一个平面的截面所截得图形．具体见图： (3)不能截出正五边形，假设可以截出正五边形，则根据面面平行的性质得EF∥D1H，D1E∥GH，而正五边形不存在对边平行的性质，矛盾，故截面是正五边形不存在． (4)存在正六边形的截面，如图，该截面为过各条棱的中点形成的六边形． (5)不能，因为正方体只有六个面，当界面与六个面都相交时，最多截出六边形，故不能截出边数超过6的多边形． [探究二]　如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，E为棱BC的中点，F为棱A1D1上的一动点，过点A，E，F作该正方体的截面，则该截面不可能是(　　) A．平行四边形　　　　　　 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 [思路点拨]　对A1F分类讨论，分别画出所对应的截面图形，即可判断. [解析]　当A1F＝0，即F与A1重合时，如图1，取B1C1的中点，截面为矩形AEGA1； 当0＜A1F＜1时，如图2，截面为平行四边形AEGF； 当1＜A1F＜2时，如图3，截面为五边形AEGHF， 当A1F＝2，即F与D1重合时，如图4，截面为等腰梯形AEGF. [答案]　D ●[探究建议] (1)成立探究小组，一起讨论研究，集思广益． (2)可以利用计算机作图软件协助，也可以直接做模型，甚至切萝卜块来探究；也可以在透明的正方体盒子中注入有颜色的水，观察不同摆放位置，不同水量时的液体表面的形状． (3)大胆猜想，小心求证． (4)梳理探究的结果，撰写一个报告． ●[思考交流] 发现和提出在截正方体时的其他有意义的问题，并研究解决． $$