第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　) A．8　　　　　　 B．16 C．32 D．61 解析：B　[由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2. 代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.∴x1＋x2＝12，弦长l＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.] 2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F的直线交椭圆交于A，B两点，若AB的中点P，且直线AB的倾斜角为，则此椭圆的方程为(　　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：A　[∵＝1，∴c＝，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，∴＋＝0，＋＝0，∴a2＝，b2＝.∴椭圆方程为＋＝1.] 3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A．2 B. C. D. 解析：C　[设椭圆与直线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. 则有x1＋x2＝－t，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝， 当t＝0时，|AB|max＝.] 4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为 ，则 的值是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[由消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝.∴kOP＝＝＝.] 5．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F并与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　) A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2 解析：ABC　[如图所示：作AC垂直准线于C，AM⊥x轴于M，BE垂直准线于E. 直线的斜率为，故tan∠AFM＝，∠AFM＝，|AF|＝4，故|MF|＝2， |AM|＝2. A，代入抛物线得到p＝2；|NF|＝|FM|＝2，故△AMF≌△DNF，故F为AD中点；∠BDE＝，故|DB|＝2|BE|＝2|BF|；|BD|＝2|BF|，|BD|＋|BF|＝|DF|＝|AF|＝4，故|BF|＝.] 6．已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有　________　.(填序号) ①y＝3x－2；②y＝3x＋1；③y＝－3x－2；④y＝－3x＋2；⑤y＝－3x. 解析：椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y＝3x＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y＝3x＋2关于原点对称的直线为y＝3x－2，关于x轴对称的直线为y＝－3x－2，关于y轴对称的直线为y＝－3x＋2，故应填①③④. 答案：①③④ 7．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　________　. 解析：由x－my＋1＝0恒过定点(－1,0)， 又C(1,0)，S△ABC＝×2×|yB|＝， 所以|yB|＝，代入圆的方程得xB＝ 或xB＝－，所以B或B或 B或B代入直线方程解得m＝±2或m＝±.(任写一个即可) 答案：±2或±(任写一个即可) 8.过点C(0,1)的椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，椭圆与x轴交于A(a,0)，B(－a,0)两点，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q. (1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长； (2)当点P异于点B时，求证： · 为定值． 解：(1)由已知得b＝1，＝，解得a＝2，c＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.椭圆的右焦点为(，0)， 此时直线l的方程为y＝－x＋1，代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0， 解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－， 所以点D的坐标为.故|CD|＝＝. (2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符． 设直线l的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0， 解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝， 所以点D的坐标为.又直线AC的方程为＋y＝1， 直线BD的方程为y＝(x＋2)， 联立解得因此点Q的坐标为(－4k,2k＋1)． 又点P的坐标为，所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4. 故·为定值． [能力提升练] 9．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， ·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 解析：B　[设点A的坐标为(a2，a)，点B的坐标为(b2，b)，则ab＜0.设直线AB的方程为x＝ty＋m，与抛物线y2＝x联立得y2－ty－m＝0，故ab＝－m.由·＝2，得a2b2＋ab＝2，故ab＝－2或ab＝1(舍去)，所以m＝2，所以△ABO的面积等于m|a－b|＝|a－b|＝＝|a|＋，△AFO的面积等于×|a|＝，所以△ABO与△AFO的面积之和等于＋≥2＝3.] 10．直线y＝x＋2交椭圆＋＝1于A，B两点，若|AB|＝3，则m的值为　__________　. 解析：解法一：由椭圆＋＝1，则顶点为(0,2)，而直线y＝x＋2也过(0,2)，所以A(0,2)为直线与椭圆的一个交点，设B(xB，yB)， 则|AB|＝＝|xB－xA|＝|xB|＝3，解得：xB＝±3， 所以B(－3，－1)或B(3,5)(不合，舍去)，把B(－3，－1)代入椭圆方程得：＋＝1，故m＝12. 解法二：由得(4＋m)x2＋4mx＝0，所以xA＝0，xB＝， 又|AB|＝＝|xB－xA|＝|xB|, 所以＝3，因为m＞0，所以＝3，故m＝12. 答案：12 11．已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为　________　. 解析：方法一：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：x＝ty＋，则直线l1的斜率为.由消去x， 得y2－2ty－1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1. 所以|AB|＝|y1－y2|＝＝＝2t2＋2. 同理，用－替换t可得|DE|＝＋2. 所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8. 方法二：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－. 由消去y，得k2x2－(k2＋2)x＋＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋. 由抛物线的定义知，|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋.同理，可得|DE|＝2＋2k2. 所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.] 答案：8 12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F( ,0)，长半轴长与短半轴长的比值为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 解：(1)由题意，得c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由消去y， 可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝. ∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴·＝0. ∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，∴5m2－2m－3＝0，解得m＝－或m＝1(舍去)．∴直线l的方程为y＝kx－. 易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．故直线l过定点，且该定点的坐标为. [素养培优练] 13．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 解析：AC　[直线y＝－(x－1)与x轴的交点为(1,0)可知，抛物线的焦点的坐标为(1,0)，所以p＝2，故A正确； 由kMN＝－可知直线MN的倾斜角为120°，所以|MN|＝＝，故B错误；过点M作准线l的垂线，交l于点M′，过点N作准线l的垂线，交l于点N′，并取MN的中点为P，过点P作准线l的垂线，交l于点P′，连接MP′、NP′，由抛物线的定义知MF＝MM′，NF＝NN′，所以|MN|＝|MM′|＋|NN′|，所以由梯形的中位线可知PP′＝(|MM′|＋|NN′|)＝|MN|，所以PP′＝MP＝PN，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确，由图观察可知，△OMN显然不是等腰三角形，故D错误．] 14．(2023·高考上海卷)已知抛物线Γ：y2＝4x上有一点A，A的纵坐标为a(a＞0)． (1)若A到抛物线Γ的准线的距离为3，求a的值； (2)若a＝4，点B在x轴上，AB的中点在抛物线Γ上，求点B坐标和坐标原点O到直线AB的距离； (3)若对于C上第一象限的任一不与A重合的点P，设直线AP与直线l：x＝－3交于点Q，作PH⊥l于H，都有|QH|＞4恒成立，求a的取值范围． 解：(1)准线为x＝－1，∴xA＝2，∴a＝yA＝2. (2)A(4,4)，设B(b,0)，线段AB的中点为，∴4＝2(4＋b)⇒b＝－2，即B(－2,0)，∴直线AB为2x－3y＋4＝0，原点O到直线AB的距离d＝＝. (3)设P，∵A，∴直线AP：4x－(a＋p)y＋ap＝0， ∴Q，H(－3，p)，∴|HQ|＝＝＞4，即(p－2)2＞4(a－2)对p∈(0，a)∪(a，＋∞)恒成立， 当a＝2时，p≠2，(p－2)2＞4(a－2)成立；当a－2＜0时，即a＜2时，(p－2)2＞4(a－2)成立，此时0＜a＜2；∴a的取值范围为(0,2]． 学科网（北京）股份有限公司 $$