第2章 3.2 抛物线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　 ) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 解析：C　[设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，依题意得x＝或x＝－，代入y2＝2px或y2＝－2px得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.] 2．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　 ) A．(－m，－n)　　 B．(m，－n) C．(－m，n) D．(－n，－m) 解析：B　[由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上．] 3．在同一坐标系中，方程＋＝1与ax＋by2＝0(a＞b＞0)的曲线大致是(　　) 解析：D　[由a＞b＞0，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，ax＋by2＝0得y2＝－x，－＜0表示焦点在x轴上开口向左的抛物线．] 4．设O为坐标原点，抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|＝5，则△OPF的面积为(　　) A．1　　　 B.　　　 C.　　　 D．2 解析：D　[由题意可得点F的坐标(1,0)，准线方程为x＝－1，因为P为抛物线上一点，|PF|＝5，所以点P的横坐标为4，当x＝4时，y2＝4×4＝16，所以|y|＝4，所以△OPF的面积为×1×4＝2.] 5．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是(　　) A．11.25 cm B．5.625 cm C．20 cm D．10 cm 解析：B　[如图， 以反射镜顶点为原点，以顶点和焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)．∵A(40,30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝，∴光源到反射镜顶点的距离为＝＝＝5.625(cm)．] 6．一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖．那么下列命题中，正确的是　___________　.(填写序号) (1)任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖； (2)与抛物线对称轴不平行、不共线的射线不能被该抛物线覆盖； (3)射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖； (4)任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面． 解析：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以(1)正确；由于过抛物线内部一点的直线(不平行于轴)与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以(2)正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以(3)错误；取一条直线， 使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以(4)正确． 答案：(1)(2)(4) 7．如图1所示，拋物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于焦点上的照射器(馈源，通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为θ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角θ＝，则其焦径比为　________　. 解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则f＝. 设A(x0，y0)，因为θ＝，所以|AF|＝x0＋＝2，所以x0＝， 所以y0＝p，所以d＝2y0＝p， 故其焦径比＝＝. 答案： 8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝ ，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． 解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)， A(x0，y0)，由题知M. ∵|AF|＝3，∴y0＋＝3.∵|AM|＝， ∴x＋2＝17， ∴x＝8，代入方程x＝2py0，得8＝2p，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. [能力提升练] 9．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　 ) A.　 B．3　　 C.　　 D. 解析：A　[由题意，设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F(，0)，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线的准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.] 10．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点(　　) A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米 解析：B　[若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图， 画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程x2＝2py(p>0)，将集光板端点A(1,0.25)代入抛物线方程可得2p＝4，所以抛物线方程x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m．] 11．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为(　　) A．2 B．4 C．6 D．4 解析：D　[据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|， ∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋.又由F(1,0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m2＝12，∴等边三角形的边长为4，其面积为4.] 12．已知抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限内的一点A(3，b)到抛物线焦点F的距离为4，若P为抛物线准线上任意一点，则当△PAF的周长最小时，求点P到直线AF的距离为　________　. 解析：由已知及抛物线的定义得点A到准线的距离为4，因此有3＋＝4，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，从而A(3,2)．当△PAF的周长最小即|PA|＋|PF|的值最小，设F关于准线的对称点为F1，则F1(－3,0)，连接AF1，则AF1与准线的交点即为使得|PA|＋|PF|的值最小的点P，此时可求得P.又因为kAF＝＝，所以直线AF的方程为y－0＝(x－1)，即x－y－＝0，故点P到直线AF的距离d＝＝. 答案： [素养培优练] 13．(2023·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：D　[因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，点M在C上， 所以M到准线x＝－2的距离为|MF|， 又M到直线x＝－3的距离为5， 所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.] 14．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为　_________　， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标　为 　___________　. 解析：设桥拱所在抛物线方程x2＝－2py(p>0)，由题图可知，曲线经过(20，－5)， 代入方程202＝－2p×(－5)，解得：p＝40，所以桥拱所在抛物线方程x2＝－80y； 四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C1：(x－14)2＝－2p′y(p′>0)， 由题图抛物线C1经过点(20，－5)，则(20－14)2＝－2p′×(－5)，解得p′＝， 所以C1：(x－14)2＝－y， 点A即桥拱所在抛物线x2＝－80y与C1：(x－14)2＝－y的交点坐标， 设A(x，y)，7<x<14， 由解得：x＝，所以点A的横坐标为. 答案：(x－14)2＝－y　 学科网（北京）股份有限公司 $$