第2章 3.1 抛物线及其标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．在平面直角坐标系中，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是(　　 ) A．直线　　　　　 B．抛物线 C．圆 D．双曲线 解析：A　[因为点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．] 2．焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝20x B．x2＝20y C．y2＝ x D．x2＝ y 解析：B　[由5＝得p＝10.又焦点在y轴正半轴上，即方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.] 3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　 ) A. B．1 C．2 D．4 解析：C　[由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.因为准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，所以3＋＝4，所以p＝2.] 4．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　) A. B. C．(1,2) D．(1，－2) 解析：A　[点Q(2，－1)在抛物线内部，如图所示． 由抛物线的定义知，抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x＝－1的距离，过点Q作x＝－1的垂线，与抛物线交于点K，则点K为所求，当y＝－1时，x＝，∴P为.] 5．(多选)如图，正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是(　　 ) A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线 解析：B　[如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，垂足为Q， 则PQ⊥平面ADD1A1，过Q作QR⊥A1D1，则A1D1⊥平面PQR，则PR为点P到直线A1D1的距离，由题意得|PR|2－|PQ|2＝|RQ|2＝1，由已知得|PR|2－|PM|2＝1，所以|PQ|＝|PM|，即P到点M的距离等于P到AD的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线．] 6．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为　________　. 解析：圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故其焦点坐标为(1,0)． 答案：(1,0) 7．抛物线y＝－ x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为　________　. 解析：抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则MF的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4. 答案：4 8．根据下列条件求出抛物线的标准方程： (1)准线方程是y＝3； (2)过点P(－2 ,4)； (3)焦点到准线的距离为 . 解：(1)由准线方程为y＝3知，抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3，则p＝6，故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y. (2)∵点P(－2，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由42＝－2p×(－2)，解得p＝2；若抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则由(－2)2＝2p×4，解得p＝1. ∴所求抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝2y. (3)由焦点到准线的距离为，得p＝，故所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－2x或x2＝2y或x2＝－2y. [能力提升练] 9．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 解析：A　[如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为|PF|，由图可知， 距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝ ＝2.] 10．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝16x 解析：AD　[由已知得抛物线的焦点F，设点M(x0，y0)，则＝， ＝. 由已知得·＝0，即y－8y0＋16＝0， 因而y0＝4，M.由|MF|＝5，得＝5.又p>0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.] 11．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线 － ＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　__________　. 解析：由x2＝2py(p>0)得焦点F，准线l为y＝－，所以可求得抛物线的准线与双曲线－＝1的交点A，B，所以|AB|＝，则|AF|＝|AB|＝，所以＝sin ，即＝，解得p＝6. 答案：6 12．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解：(1)如图， 易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为. (2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x，得y＝±2. 因为2＞2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F. 此时，由抛物线定义知，|P1Q|＝|P1F|. 所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，当且仅当B，P，Q三点共线时，等号成立．即|PB|＋|PF|的最小值为4. [素养培优练] 13．(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　　) A．C的准线方程为x＝－4 B．F点的坐标为(0,4) C．|FN|＝12 D．三角形ONF的面积为16(O为坐标原点) 解析：ACD　[如图，不妨设点M位于第一象限， 设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为(4,0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8，在直角梯形ANFF′中，中位线|BM|＝＝6，由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|FM|＋|NM|＝6＋6＝12，|ON|＝＝8，S△QNF＝×8×4＝16.] 14．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．(1)在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为　______　 cm； (2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为　________　(单位：cm)． 解析：(1)因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，所以球的半径为3 cm， 又因为杯口宽4 cm， 所以如图1所示，有AB＝4，C1A＝C1B＝3，C1D⊥AB，所以AD＝BD＝2， 所以|C1D|＝＝＝1， 所以DE＝2，又因为杯深8 cm，即OD＝8， 故最小距离为OD－DE＝6， (2)如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为y＝mx2， 所以将B(2，8)代入得m＝1，故抛物线方程为y＝x2， 当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2， 设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r， 则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，解得1－2r≥0，可得0＜r≤. 所以玻璃球的半径的取值范围为. 答案：6　 学科网（北京）股份有限公司 $$