第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为(　　 ) A．16　　 B．8　　 C．2　　 D．1 解析：C　[由题意＝，得m＝1，所以虚轴长为2.] 2．(2023·全国甲卷(理))已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为， 可得c＝a，所以b＝2a， 所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x， 一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，圆的圆心(2,3)，半径为1， 圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝， 所以|AB|＝2 ＝.] 3．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　 ) A. B．2 C. D. 解析：C　[设渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0.由可得P.由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，得＝× ，化简可得3a2＝c2，即e＝.] 4．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 解析：AD 　[双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3， 所以C的方程为－＝1，A正确； 离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．] 5．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C： － ＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：B　[不妨设D位于第一象限．双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b.∴S△ODE＝×2b×a＝ab＝8. ∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．∴c2的最小值为16.∴c的最小值为4，∴C的焦距的最小值为2×4＝8.] 6．(2023·高考北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2,0)和(2,0)，离心率为，则C的方程为　____________________　. 解析：令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2， 由双曲线C的离心率为，得＝，解得a＝，则b＝＝， 所以双曲线C的方程为－＝1. 答案：－＝1 7．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是　______________　. 解析：因为等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，所以双曲线C：－＝1的离心率e>，即>2.所以m>4. 答案：(4，＋∞) 8．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小． 解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1， 所以a＝3，b＝4，c＝5， 所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x. (2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6， cos ∠F1PF2＝ ＝ ＝＝0，则∠F1PF2＝90°. [能力提升练] 9．(多选)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则(　　 ) A．对任意的a，b，e1<e2 B．当a>b时，e1<e2 C．对任意的a，b，e1>e2 D．当a<b时，e1>e2 解析：BD　[e1＝，e2＝ .不妨令e1<e2，化简得<(m>0)，得bm<am，得b<a.所以AC错误；当b>a时，有>，即e1>e2；当b<a时，有<，即e1<e2，所以BD正确．] 10．(多选)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F1(2，0)，点A坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为(　　 ) A.　 B．2　　 C.　　 D．3 解析：ABC　[由右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0,1)，|AF1|＝＝5， △APF1的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得|PA|＋|PF1|的最小值不小于 9，又F2为双曲线的左焦点，可得|PF1|＝|PF2|＋2a，|PA|＋|PF1|＝|PA|＋|PF2|＋2a， 当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值5＋2a，所以5＋2a≥9，即a≥2，因为c＝2，可得e＝≤.] 11．设双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为　________　. 解析：不妨设点B在第一象限，则A1(－a,0)， B，A2(a,0)，C，所以＝，＝.因为⊥，所以·＝0，所以c2－a2－＝0，整理得＝1，即＝1，所以渐近线的斜率为±1.] 答案：±1 12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)， (1)求双曲线的方程； (2)若点M(a,0)为x轴上一定点，P为双曲线右支上一点，求线段PM长的最小值． 解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等， 所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6， 所以双曲线方程为x2－y2＝6. (2)设P(x，y)(x≥)，|PM|＝＝(x≥)， 令f(x)＝2x2－2ax＋a2－6＝2(x－)2＋－6(x≥)， ①当≤，即a≤2时，当x＝时，f(x)min＝(－a)2，|PM|min＝|－a| ②当>，即a>2时，当x＝时，f(x)min＝－6，|PM|min＝ [素养培优练] 13．(多选)把方程＋y|y|＝1表示的曲线作为函数y＝f(x)的图象，则下列结论正确的有(　　 ) A．函数f(x)的图象不经过第三象限 B．函数f(x)在R上单调递增 C．函数f(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1 D．函数g(x)＝2f(x)＋x不存在零点 解析：ACD　[由题意，方程＋y|y|＝1， 当x≥0，y≥0时，＋y2＝1，表示椭圆在第一象限的部分； 当x>0，y<0时，－y2＝1，表示双曲线在第四象限的部分； 当x<0，y>0时，＋y2＝1，表示双曲线在第二象限的部分； 当x<0，y<0时，－－y2＝1，此时不成立，舍去，其图象如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；由函数的图象可得，该函数在R为单调递减函数，所以B不正确； 由图象可得，函数f(x)的图象上的点P到原点的距离的最小的点在x≥0，y≥0的图象上，设点P(x，y)，则点P满足x≥0，y≥0时，＋y2＝1，即y2＝1－ 则|PO|＝＝＝，当x＝0时，|PO|min＝1，所以C正确； 令g(x)＝0，可得2f(x)＋x＝0，即f(x)＝－x， 则函数g(x)＝2f(x)＋x的零点，即为函数y＝f(x)与y＝－x的交点， 又由直线y＝－x为双曲线－y2＝1和＋y2＝1渐近线， 所以直线y＝－x与函数y＝f(x)没有交点，即函数g(x)＝2f(x)＋x不存在零点， 所以D是正确的．] 14．已知双曲线－＝1的右焦点为(2,0)． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积． 解：(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为－＝1， ∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1， ∴双曲线的方程为－y2＝1. (2)∵a＝，b＝1， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x， 令x＝－2，则y＝±. 设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B， 则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S， 则S＝××2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$