第2章 1.2 椭圆的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（北师大版2019）

[基础达标练] 1．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：A　[由题意知解得因此所求椭圆的方程为＋＝1.] 2．椭圆＋＝1与＋＝1(0<k<9)的关系为(　　) A．有相等的长轴 B．有相等的短轴 C．有相同的焦点 D．有相等的焦距 解析：D　[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．] 3．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析：A　[由题意易得，e1＝，e2＝，得＝，解得a＝.] 4．(多选)若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则下列结论中正确的是(　　) A．m＝2 B．C的长轴长为 C．C的短轴长为2 D．C的离心率为 解析：ACD　[由已知可得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1(舍去)，∴椭圆C的方程为＋＝1，∴a2＝3，b2＝2，即a＝，b＝，∴长轴长为2a＝2，短轴长2b＝2，离心率e＝＝＝.] 5．(多选)已知曲线C1： ＋ ＝1与曲线C2： ＋ ＝1(k＜9)，下列说法正确的是(　　) A．两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B．焦距相等 C．有相同的焦点 D．离心率相等 解析：ABC　[可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1焦距为2c1＝2＝8，曲线C2焦距为2c2＝2＝8，故B，C正确；曲线C1的离心率e1＝＝，曲线C2的离心率e2＝＝，故D不正确．] 6．阿基米德(公元前287年－公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为20π，则椭圆C的标准方程为　________________　. 解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，椭圆C的面积为S＝πab＝20π，又e＝＝，解得a2＝，b2＝12，所以椭圆C的方程为＋＝1. 答案：＋＝1 7．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0), 焦点F1(－c,0), F2(c,0)(c> 0)，若过F1的直线和圆2＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是　________　. 解析：由题可知，|AB|＝c，|AF1|＝|OF1|＋|OA|＝c＋＝，故＝，因为过F1的直线和圆2＋y2＝c2相切，所以AB⊥BF1，又PF2⊥x轴，故△ABF1∽△PF2F1，即＝，设|PF2|＝2x，则|PF1|＝3x，|F1F2|＝x，椭圆离心率e＝＝＝ ＝＝ 答案： 8.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程． 解：(1)由∠F1AB＝90°及椭圆的对称性知b＝c， 则e＝＝＝＝. (2)由已知a2－b2＝1，F2(1,0)，A(0，b)，设B(x，y)， 则＝(1，－b)，＝(x－1，y)，由＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)， 解得x＝，y＝－，则＋＝1， 得a2＝3，因此b2＝2，椭圆的方程为＋＝1. [能力提升练] 9．法国数学家加斯帕·蒙日发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的蒙日圆为C：x2＋y2＝a2，则椭圆C的离心率为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：A　[直线x＝a，y＝b与椭圆C分别相切，显然直线x＝a与直线y＝b垂直，且交点为(a，b)， 由题意点(a，b)在圆C：x2＋y2＝a2上，所以a2＋b2＝a2，所以＝， 故椭圆C的离心率e＝＝＝.] 10.(多选)嫦娥四号月球探测器搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是(　　) A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3 988公里 C．两焦点坐标约为(±150,0) D．离心率约为 解析：AD　[设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为×3 476＝1 738，a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138，2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988，c＝2 138－1 988＝150，椭圆的离心率约为e＝＝＝，可得结论A、D项正确，B项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误．综上可知，正确的为AD.] 11．设F1，F2是椭圆E：＋＝1的左右焦点，P是椭圆E上的点，则|PF1|·|PF2|的最小值是　__________　. 解析：由椭圆方程可知a＝5，c＝3，根据椭圆的定义，有＝2a－＝10－，故·＝·(10－)，由于∈[a－c，a＋c]＝[2,8]，注意到二次函数y＝x(10－x)的对称轴为x＝5，故当x＝2，x＝8时，都使函数取得最小值，其最小值为2×8＝16. 答案：16 12．已知椭圆C：＋＝1和直线l：＋＝1，若过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C的离心率为　________　. 解析：直线l的斜率为－，过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，所以＝，又b2＋c2＝a2⇒2＋c2＝a2⇒c2＝a2，所以e＝＝. 答案： [素养培优练] 13．(多选)已知点M(－1,0)和N(1,0)，若某直线上存在点P，使得|PM|＋|PN|＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线，其中是“椭型直线”的是(　　) A．x－2y＋6＝0 B．x－y＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x＋y－3＝0. 解析：BC　[由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为＋＝1.对于A，把x－2y＋6＝0代入＋＝1，整理得2y2－9y＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15<0，知x－2y＋6＝0不是“椭型直线”；对于B，把y＝x代入＋＝1，整理得x2＝，所以x－y＝0是“椭型直线”；对于C，把2x－y＋1＝0代入＋＝1，整理得19x2＋16x－8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)>0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线”；对于D，把x＋y－3＝0代入＋＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24<0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线”，故BC是“椭型直线”] 14．把椭圆C的短轴和焦点连线段中较长者、较短者分别作为椭圆C′的长轴、短轴，使椭圆C变换成椭圆C′，称之为椭圆的一次“压缩”．按上述定义把椭圆Ci(i＝0,1,2，…)“压缩”成椭圆Ci＋1，得到一系列椭圆C1，C2，C3，…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”．经研究发现，某个椭圆C0经过n(n≥3)次“压缩”后能终止，则椭圆Cn－2的离心率可能是①，②，③，④中的　______　.(填写所有正确结论的序号) 解析：依题意，若原椭圆，短轴＞焦距，则压缩数为n时，半长轴为a，半短轴为c，半焦距为c，所以压缩数为n－1时，半长轴为，半短轴为a，半焦距为c； 压缩数为n－2时，半长轴为，半短轴为，半焦距为a， ∵压缩数为n时，a2＝c2＋c2＝2c2， ∴Cn－2的离心率为＝； 同理，若原椭圆，短轴＜焦距，则压缩数为n时，半长轴为a，半短轴为c，半焦距为c 所以压缩数为n－1时，半长轴为，半短轴为c，半焦距为a； 压缩数为n－2时，半长轴为，半短轴为c，半焦距为， ∵压缩数为n时，a2＝c2＋c2＝2c2， ∴Cn－2的离心率＝＝. 答案：①② 学科网（北京）股份有限公司 $$